Иногда студенты при решении задач аналитической геометрии сталкиваются с вопросом: «Как найти угол между векторами?». Чтобы решить такую задачу нужно сначала найти косинус угла между ними, а затем и сам угол. Для этого применяется такая формула: $$ phi = arccos(cos phi) $$
Если воспользоваться данной формулой, то сначала нужно найти угол между векторами $ cos phi $. Затем находим арккосинус от косинуса угла $ phi $. А чему равен $ cos phi $? Для его нахождения необходимо воспользоваться следующими формулами.
Формула
Если векторы расположены на плоскости и координаты их заданы в виде: $ overline = (a_x; a_y) $ и $ overline = (b_x; b_y) $, то найти угол между ними можно так:
Если вектора находятся в пространстве и координаты каждого из них заданы в виде: $ overline = (a_x; a_y; a_z) $ и $ overline = (b_x; b_y; b_z) $, то вычислить косинус угла следует по формуле:
Примеры решений
Пример 1 |
Найти угол между векторами $ overline = (2;4) $ и $ overline = (3;1) $ |
Решение |
Ответ |
Угол между двумя векторами равен $ phi = 45^0 $ |
Пример 2 |
Найти угол $ phi $ между двумя векторами $ overline = (8;-11;7) $ и $ overline = (-2;-7;8) $ |
Решение |
Этой операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта
операция зачастую рассматривается как коммутативная и линейная по каждому из сомножителей.
Скалярное произведение векторов ,, обозначается так: (порядок записи сомножителей не имеет
значения, т.е. ).
Еще используются такие обозначения: , , .
В основном имеется ввиду, что скалярное произведение определено положительно, т.е.
при каждом . Если этого не иметь ввиду, то произведение зовется индефинитным
(неопределенным).
Если хотя бы один из 2 векторов или равен нулевому вектору (равен нулю), то .
Свойства скалярного произведения векторов.
1. — симметричность.
2. обозначается и зовется скалярный квадрат.
3. Если , то
4. Если и и и , то . Обратное утверждение тоже соответствует
5.
6.
7.
Если же векторы и заданы своими координатами: , , то: скалярное
произведение векторов, формула:
Формула для определения длины вектора:
Длина (модуль) вектора, с известными координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов
Длина вектора , заданного своими координатами, равна:
Как определить угол между 2 векторами:
Как найти угол между двумя векторами , , формула:
Ежели угол меж двумя векторами острый, то их скалярное произведение имеет положительный знак; если
же угол между двумя векторами тупой, то их скалярное произведение имеет отрицательный знак.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы
ортогональны.
Альтернативное определение скалярного произведения векторов (вычисление скалярного
произведения двух векторов, заданных своими координатами).
Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто. Давайте
рассмотрим этот вопрос:
Пусть есть вектор AB, точка А – это начало вектора, а В — конец, и координаты этих точек приведены ниже:
Исходя из этого, координаты вектора АВ:
Точно так же и в двухмерном пространстве – разница в отсутствии третьих координат.
Итак, предположим, даны два вектора, которые заданы набором координат своих точек:
а) В двухмерном пространстве (плоскость):
Значит, скалярное произведение этих векторов вычислим по формуле:
б) В трехмерном пространстве:
Как и в двухмерном случае, скалярное произведение двух векторов вычисляем по формуле: