Даны координаты вершин треугольника .
1) Вычислить длину стороны .
2) Составить уравнение линии .
3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.
4) Найти точку пересечения медиан.
5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.
6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.
А
1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .
;
.
2. Уравнение прямой ВС: ;
;
.
3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору
:
. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС:
.
4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:
;
;
.
Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .
Используем формулы деления отрезка в данном отношении :
.
5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и
;
.
6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:
.
Точка К является серединой отрезка АМ.
.
Контрольные варианты к задаче 2
Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:
1) вычислить длину стороны ВС;
2) составить уравнение линии ВС;
3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;
4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;
5) найти точку пересечения медиан;
6) вычислить внутренний угол при вершине В;
7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.
1. | | 2. | |
3. | | 4. | |
5. | | 6. | |
7. | | 8. | |
9. | | 10. | |
11. | | 12. | |
13. | | 14. | |
15. | | 16. | |
17. | | 18. | |
19. | | 20. | |
21. | | 22. | |
23. | | 24. | |
25. | | 26. | |
27. | | 28. | |
29. | | 30. | |
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10072 — | 7513 —
или читать все.
Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?
Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.
Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:
- Найти уравнение стороны треугольника.
- Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.
Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).
Написать уравнения высот треугольника.
1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.
Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:
Таким образом, уравнение прямой BC —
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,
Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид
Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:
Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:
2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):
Уравнение прямой AB:
Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой
Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):
Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,
Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид
Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:
Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:
Дан треугольник ABC, где
длину стороны AB;
внутренний угол A с точностью до градуса;
уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C;
точку пересечения высот;
уравнение медианы, проведенной через вершину C;
систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC;
треугольник угол высота медиана
Расстояние d между двумя точками
Расстояние d между двумя точками и определяется по формуле
Применяя (1), находим длину стороны АВ:
Внутренний угол A с точностью до градуса
Найдем координаты векторов .
AB= ( x b — x a, y b — y a) = ( 2 — 5, 0 — (-4) ) = ( -3, 4).
AC= ( x c — x a, y c — y a) = ( 8 — 5, -3 — (-4) ) = ( 3, 1).
Находим длину AC
Тогда искомый угол находим по его косинусу:
A = arccos (-0,3165) = 108,4 o
Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C
Находим уравнение стороны АВ по формуле прямой проходящей через две точки:
Уравнение прямой проходящей через точки A (x a, y a) и B (x b, y b) в общем виде:
x b — x a y b — y a
Подставим координаты точек A (5, -4) и B (2, 0) в уравнение прямой (1).
- 2 — 5 0 — (-4)
- 4 ( x — 5 ) = -3 ( y + 4 )
- 4 x — 20 = — 3 y — 12
- 4 x + 3 y — 8 = 0 — уравнение прямой AB.
Отсюда следует, что уравнение АВ можно записать в виде: Её угловой коэффициент Тогда угловой коэффициент высоты, опущенной из вершины C а уравнение высоты то есть, 3 x — 4 y — 36 = 0 — уравнение высоты CH.
Длина высоты есть расстояние от точки С до прямой АВ: 4 x + 3 y — 8 = 0; A=4; B=3:
Точка пересечения высот
Аналогично найдем уравнение высоты АМ.
Находим уравнение стороны АВ по формуле прямой проходящей через две точки:
Уравнение прямой проходящей через точки C (x c, y c) и B (x b, y b) в общем виде:
Подставим координаты точек C (8, -3) и B (2, 0) в уравнение прямой (1)
Отсюда 2 x — y — 14 = 0 — уравнение высоты AM
Точку пересечения высот К находим, решая систему уравнений:
Решая системы методом исключения, получаем K(4;-6).
Уравнение медианы, проведенной через вершину C
Находим середину стороны АВ,
применяя формулы деления отрезка на две равные части:
Подставив в (1) координаты точек С и Е, находим уравнение медианы:
- 2 ( x — 8 ) = -9 ( y + 3 )
- 2 x — 16 = — 9 y — 27
- 2 x + 9 y + 11 = 0 — уравнение медианы CN.
Cистема линейных неравенств, определяющих треугольник ABC
Выпишем уравнения сторон треугольника:
4 x + 3 y — 8 = 0 — уравнение прямой AB.
x — 3 y — 17 = 0 — уравнение прямой AC.
x + 2 y — 2 = 0 — уравнение прямой BС.
Тогда система линейных неравенств, определяющих треугольник ABC, имеет вид: