Даны вершины треугольника найти длину высоты

Даны координаты вершин треугольника .

1) Вычислить длину стороны .

2) Составить уравнение линии .

3) Составить уравнение высоты, проведенной из вершины А, и найти ее длину.

4) Найти точку пересечения медиан.

5) Найти косинус внутреннего угла при вершине В.

6) Найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А, относительно прямой ВС.

1. Длина стороны ВС равна модулю вектора .

; .

2. Уравнение прямой ВС: ; ; .

3. Уравнение высоты АК запишем как уравнение прямой, проходящей через точку перпендикулярно вектору :

. Длину высоты АК можно найти как расстояние от точки А до прямой ВС: .

4. Найдем координаты точки N – середины стороны ВС:

; ; .

Точка пересечения медиан О делит каждую медиану на отрезки в отношении .

Используем формулы деления отрезка в данном отношении :

5. Косинус угла при вершине В найдем как косинус угла между векторами и ;

6. Точка М, симметричная точке А относительно прямой ВС, расположена на прямой АК, перпендикулярной к прямой ВС, на таком же расстоянии от прямой, как и точка А. Координаты точки К найдем как решения системы Систему решим по формулам Крамера:

Точка К является серединой отрезка АМ.

Контрольные варианты к задаче 2

Даны координаты вершин треугольника АВС. Требуется:

1) вычислить длину стороны ВС;

2) составить уравнение линии ВС;

3) составить уравнение высоты, проведенной из вершины А;

4) вычислить длину высоты, проведенной из вершины А;

5) найти точку пересечения медиан;

6) вычислить внутренний угол при вершине В;

7) найти координаты точки М, расположенной симметрично точке А относительно прямой ВС.

1.	.	2.	.
3.	.	4.	.
5.	.	6.	.
7.	.	8.	.
9.	.	10.	.
11.	.	12.	.
13.	.	14.	.
15.	.	16.	.
17.	.	18.	.
19.	.	20.	.
21.	.	22.	.
23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10072 — | 7513 — или читать все.

Как составить уравнение высоты треугольника по координатам его вершин?

Высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противолежащую сторону.

Следовательно, для составления уравнения высоты треугольника нужно:

Найти уравнение стороны треугольника.
Составить уравнение прямой, перпендикулярной этой стороне и проходящей через противолежащую вершину треугольника.

Дано: ΔABC, A(-7;2), B(5;-3), C(1;8).

Написать уравнения высот треугольника.

1) Составим уравнение стороны BC треугольника ABC.

Прямая y=kx+b проходит через точки B(5;-3), C(1;8), значит, координаты этих точек удовлетворяют уравнению прямой. Подставив координаты B и C в уравнение прямой, составляем систему уравнений и решаем её:

Таким образом, уравнение прямой BC —

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной BC,

Значит, уравнение высоты, проведённой к стороне BC, имеет вид

Поскольку эта прямая проходит через точку A(-7;2), подставляем координаты точки в уравнение и находим b:

Итак, уравнение высоты, проведённой к стороне BC:

2) Составим уравнение стороны AB треугольника ABC. A(-7;2), B(5;-3):

Уравнение прямой AB:

Угловой коэффициент перпендикулярной ей прямой

Значит уравнение перпендикулярной AB прямой имеет вид y=2,5x+b. Подставляем в это уравнение координаты точки C(1;8): 8=2,5·1+b, откуда b=5,5.
Получили уравнение высоты, проведённой из точки C к стороне BC: y=2,5x+5,5.
3) Составим уравнение стороны AC треугольника ABC. A(-7;2), C(1;8):

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной AC,

Таким образом, уравнение перпендикулярной AC прямой имеет вид

Подставив в него координаты точки B(5;-3), найдём b:

Итак, уравнение высоты треугольника ABC, опущенной из вершины B:

Дан треугольник ABC, где

длину стороны AB;

внутренний угол A с точностью до градуса;

уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C;

точку пересечения высот;

уравнение медианы, проведенной через вершину C;

систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC;

треугольник угол высота медиана

Расстояние d между двумя точками

Расстояние d между двумя точками и определяется по формуле

Применяя (1), находим длину стороны АВ:

Внутренний угол A с точностью до градуса

Найдем координаты векторов .

AB= ( x b — x a, y b — y a) = ( 2 — 5, 0 — (-4) ) = ( -3, 4).

AC= ( x c — x a, y c — y a) = ( 8 — 5, -3 — (-4) ) = ( 3, 1).

Находим длину AC

Тогда искомый угол находим по его косинусу:

A = arccos (-0,3165) = 108,4 o

Уравнение и длину высоты, опущенной из вершины C

Находим уравнение стороны АВ по формуле прямой проходящей через две точки:

Уравнение прямой проходящей через точки A (x a, y a) и B (x b, y b) в общем виде:

x b — x a y b — y a

Подставим координаты точек A (5, -4) и B (2, 0) в уравнение прямой (1).

2 — 5 0 — (-4)
4 ( x — 5 ) = -3 ( y + 4 )
4 x — 20 = — 3 y — 12
4 x + 3 y — 8 = 0 — уравнение прямой AB.

Отсюда следует, что уравнение АВ можно записать в виде: Её угловой коэффициент Тогда угловой коэффициент высоты, опущенной из вершины C а уравнение высоты то есть, 3 x — 4 y — 36 = 0 — уравнение высоты CH.

Длина высоты есть расстояние от точки С до прямой АВ: 4 x + 3 y — 8 = 0; A=4; B=3: