Деление многочленов уголком примеры с решением

Теорема

Пусть P_k ( x ) , Q_n ( x ) – многочлены от переменной x степеней k и n , соответственно, причем k ≥ n . Тогда многочлен P_k ( x ) можно представить единственным способом в следующем виде:
(1) P_k ( x ) = S_k–n ( x ) Q_n ( x ) + U_{n– 1} ( x ) ,
где S_k–n ( x ) – многочлен степени k–n , U_{n– 1} ( x ) – многочлен степени не выше n– 1 , или нуль.

Доказательство

По определению многочлена:
;
;
;
,
где p_i , q_i – известные коэффициенты, s_i , u_i – неизвестные коэффициенты.

Введем обозначение:
.
Подставим в (1) :
;
(2) .
Первый член в правой части – это многочлен степени k . Сумма второго и третьего членов – это многочлен степени не выше k – 1 . Приравняем коэффициенты при x k :
p_k = s_k-n q_n .
Отсюда s_k-n = p_k / q_n .

Преобразуем уравнение (2):
.
Введем обозначение: .
Поскольку s_k-n = p_k / q_n , то коэффициент при x k равен нулю. Поэтому – это многочлен степени не выше k – 1 , . Тогда предыдущее уравнение можно переписать в виде:
(3) .

Это уравнение имеет тот же вид, что и уравнение (1), только значение k стало на 1 меньше. Повторяя эту процедуру k–n раз, получаем уравнение:
,
из которого определяем коэффициенты многочлена U_{n– 1} ( x ) .

Итак, мы определили все неизвестные коэффициенты s_i , u_l . Причем s_k–n ≠ 0 . Лемма доказана.

Деление многочленов

Разделив обе части уравнения (1) на Q_n ( x ) , получим:
(4) .
По аналогии с десятичными числами, S_k–n ( x ) называется целой частью дроби или частным, U_{n– 1} ( x ) – остатком от деления. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе называется правильной дробью. Дробь многочленов, у которой степень многочлена в числителе больше или равна степени многочлена в знаменателе называется неправильной дробью.

Уравнение (4) показывает, что любую неправильную дробь многочленов можно упростить, представив ее в виде суммы целой части и правильной дроби.

Деление многочленов уголком

По своей сути, целые десятичные числа являются многочленами, у которых переменная равна числу 10 . Например, возьмем число 265847. Его можно представить в виде:
.
То есть это многочлен пятой степени от 10 . Цифры 2, 6, 5, 8, 4, 7 являются коэффициентами разложения числа по степеням числа 10.

Поэтому к многочленам можно применить правило деления уголком (иногда его называют делением в столбик), применяемое к делению чисел. Единственное отличие заключается в том, что, при делении многочленов, не нужно переводить числа больше девяти в старшие разряды. Рассмотрим процесс деления многочленов уголком на конкретных примерах.

Пример деления многочленов уголком

Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.

Здесь в числителе стоит многочлен четвертой степени. В знаменателе – многочлен второй степени. Поскольку 4 ≥ 2 , то дробь неправильная. Выделим целую часть, разделив многочлены уголком (в столбик):

Приведем подробное описание процесса деления. Исходные многочлены записываем в левый и правый столбики. Под многочленом знаменателя, в правом столбике, проводим горизонтальную черту (уголок). Ниже этой черты, под уголком, будет целая часть дроби.

1.1 Находим первый член целой части (под уголком). Для этого разделим старший член числителя на старший член знаменателя: .

1.2 Умножаем 2 x 2 на x 2 – 3 x + 5 :
. Результат записываем в левый столбик:

1.3 Берем разность многочленов в левом столбике:

.

Итак, мы получили промежуточный результат:
.

Дробь в правой части неправильная, поскольку степень многочлена в числителе ( 3 ) больше или равна степени многочлена в знаменателе ( 2 ). Повторяем вычисления. Только теперь числитель дроби находится в последней строке левого столбика.
2.1 Разделим старший член числителя на старший член знаменателя: ;

2.2 Умножаем на знаменатель: ;

2.3 И вычитаем из последней строки левого столбика: ;

Промежуточный результат:
.

Снова повторяем вычисления, поскольку в правой части стоит неправильная дробь.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;

Итак, мы получили:
.
Степень многочлена в числителе правой дроби меньше степени многочлена знаменателя, 1 . Поэтому дробь – правильная.

;
2 x 2 – 4 x + 1 – это целая часть;
x – 8 – остаток от деления.

Пример 2

Выделить целую часть дроби и найти остаток от деления:
.

Выполняем те же действия, что и в предыдущем примере:

Здесь остаток от деления равен нулю:
.

Умножение многочленов столбиком

Также можно умножать многочлены столбиком, аналогично умножению целых чисел. Рассмотрим конкретные примеры.

Пример умножения многочленов столбиком

Найти произведение многочленов:
.

Умножаем многочлены столбиком.

1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.

2.1 Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.

2.2 Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .

2.3 Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .

3 После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x :
;
;
;
.

Заметим, что можно было записывать только коэффициенты, а степени переменной x можно было опустить. Тогда умножение столбиком многочленов будет выглядеть так:

Пример 2

Найти произведение многочленов столбиком:
.

При умножении многочленов столбиком важно записывать одинаковые степени переменной x друг под другом. Если некоторые степени x пропущены, то их следует записывать явно, умножив на нуль, либо оставлять пробелы.

В этом примере некоторые степени пропущены. Поэтому запишем их явно, умноженными на нуль:
.
Умножаем многочлены столбиком.

1 Записываем исходные многочлены друг под другом в столбик и проводим черту.

2.1 Умножаем младший член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик.

2.2 Следующий член второго многочлена равен нулю. Поэтому его произведение на первый многочлен также равно нулю. Нулевую строку можно не записывать.

2.3 Умножаем следующий член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .

2.3 Умножаем следующий (старший) член второго многочлена на первый многочлен:
.
Результат записываем в столбик, выравнивая степени x .

3 После того, как все члены второго многочлена умножили на первый, проводим черту и складываем члены с одинаковыми степенями x :
.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 21-05-2015

kor.giorgio@gmail.com Выход

С помощью данной математической программы вы можете поделить многочлены столбиком.
Программа деления многочлена на многочлен не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс решения для того чтобы проконтролировать знания по математике и/или алгебре.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Если вам нужно или упростить многочлен или умножить многочлены, то для этого у нас есть отдельная программа Упрощение (умножение) многочлена

В решении ошибка
Если вы считаете, что задача решена не правильно, то нажмите на эту кнопку.

Деление многочлена на многочлен (двучлен) столбиком (уголком)

В алгебре деление многочленов столбиком (уголком) — алгоритм деления многочлена f(x) на многочлен (двучлен) g(x), степень которого меньше или равна степени многочлена f(x).

Алгоритм деления многочлена на многочлен представляет собой обобщенную форму деления чисел столбиком, легко реализуемую вручную.

Для любых многочленов ( f(x) ) и ( g(x) ), ( g(x)
eq 0 ), существуют единственные полиномы ( q(x) ) и ( r(x) ), такие что
( frac = q(x)+frac )
причем ( r(x) ) имеет более низкую степень, чем ( g(x) ).

Целью алгоритма деления многочленов в столбик (уголком) является нахождение частного ( q(x) ) и остатка ( r(x) ) для заданных делимого ( f(x) ) и ненулевого делителя ( g(x) )

Пример

Разделим один многочлен на другой многочлен (двучлен) столбиком (уголком):
( large frac )

Частное и остаток от деления данных многочленов могут быть найдены в ходе выполнения следующих шагов:
1. Делим первый элемент делимого на старший элемент делителя, помещаем результат под чертой ( (x^3/x = x^2) )

( x )( -3 )( x^2 )

2. Умножаем делитель на полученный выше результат деления (на первый элемент частного). Записываем результат под первыми двумя элементами делимого ( (x^2 cdot (x-3) = x^3-3x^2) )

( x )( -3 )( x^2 )

3. Вычитаем полученный после умножения многочлен из делимого, записываем результат под чертой ( (x^3-12x^2+0x-42-(x^3-3x^2)=-9x^2+0x-42) )

( x )( -3 )( x^2 )

4. Повторяем предыдущие 3 шага, используя в качестве делимого многочлен, записанный под чертой.

( x )( -3 )( x^2 )( -9x )

5. Повторяем шаг 4.

( x )( -3 )( x^2 )( -9x )( -27 )

6. Конец алгоритма.
Таким образом, многочлен ( q(x)=x^2-9x-27 ) — частное деления многочленов, а ( r(x)=-123 ) — остаток от деления многочленов.

Результат деления многочленов можно записать в виде двух равенств:
( x^3-12x^2-42 = (x-3)(x^2-9x-27)-123 )
или
( large<frac> = x^2-9x-27 + large<frac<-123>> )

В данной статье будут рассмотрены рациональные дроби, ее выделения целых частей. Дроби бывают правильными и неправильными. Когда в дроби числитель меньше знаменателя – это правильная дробь, а неправильная наоборот.

Рассмотрим примеры правильных дробей: 1 2 , 9 29 , 8 17 , неправильных: 16 3 , 21 20 , 301 24 .

Будем вычислять дроби, которые могут сократиться, то есть 12 16 — это 3 4 , 21 14 — это 3 2 .

При выделении целой части производится процесс деления числителя на знаменатель. Тогда такая дробь может быть представлена как сумма целой и дробной части, где дробная считается отношением остатка от деления и знаменателя.

Найти остаток при делении 27 на 4 .

Необходимо произвести деление столбиком, тогда получим, что

Значит, 27 4 = ц е л а я ч а с т ь + о с т а т о к з н а м е н а т е л ь = 6 + 3 4

Ответ: остаток 3 .

Произвести выделение целых частей 331 12 и 41 57 .

Производим деление знаменателя на числитель при помощи уголка:

Производим деление далее и получаем, что

Поэтому имеем, что 331 12 = 27 + 7 12 .

Вторая дробь является правильной, значит, целая часть равняется нулю.

Ответ: целые части 27 и 0 .

Рассмотрим классификацию многочленов, иначе говоря, дробно-рациональную функцию. Ее считают правильной, когда степень числителя меньше степени знаменателя, иначе ее считают неправильной.

Деление многочлена на многочлен происходит по принципу деления углом, а представление функции как сумма целой и дробной частей.

Чтобы разделить многочлен на линейный двучлен, используется схема Горнера.

Произвести деление x 9 + 7 x 7 — 3 2 x 3 — 2 на одночлен 2 x 2 .

Воспользовавшись свойством деления, запишем, что

x 9 + 7 x 7 — 3 2 x 3 — 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 — 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 — 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 — 3 4 x + 1 2 — 2 2 x — 2 .

Зачастую такого вида преобразования выполняются при взятии интегралов.

Произвести деление многочлена на многочлен: 2 x 3 + 3 на x 3 + x .

Знак деления можно записать в виде дроби вида 2 x 3 + 3 x 3 + x . Теперь необходимо выделить целую часть. Производим это при помощи деления столбиком. Получаем, что

Значит, получаем, что целая часть имеет значение — 2 x + 3 , тогда все выражение записывается как 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + — 2 x + 3 x 3 + x

Разделить и найти остаток от деления 2 x 6 — x 5 + 12 x 3 — 72 x 2 + 3 на x 3 + 2 x 2 — 1 .

Зафиксируем дробь вида 2 x 6 — x 5 + 12 x 3 — 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 — 1 .

Степень числителя больше, чем у знаменателя, значит, что у нас имеется неправильная дробь. При помощи деления столбиком выдели целую часть. Получаем, что

Произведем деление еще раз и получим:

Отсюда имеем, что остаток равняется — 65 x 2 + 10 x — 3 , отсюда следует:

2 x 6 — x 5 + 12 x 3 — 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 — 1 = 2 x 3 — 5 x 2 + 10 x — 6 + — 65 x 2 + 10 x — 3 x 3 + 2 x 2 — 1

Существуют случаи, где необходимо дополнительно выполнять преобразование дроби для того, чтобы можно было выявить остаток при делении. Это выглядит следующим образом:

3 x 5 + 2 x 4 — 12 x 2 — 4 x 3 — 3 = 3 x 2 x 3 — 3 — 3 x 2 x 3 — 3 + 3 x 5 + 2 x 4 — 12 x 2 — 4 x 3 — 3 = = 3 x 2 x 3 — 3 + 2 x 4 — 3 x 2 — 4 x 3 — 3 = 3 x 2 + 2 x 4 — 3 x 2 — 4 x 3 — 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 — 3 — 2 x x 3 — 3 + 2 x 4 — 3 x 2 — 4 x 3 — 3 = = 3 x 2 + 2 x ( x 3 — 3 ) — 3 x 2 + 6 x — 4 x 3 — 3 = 3 x 2 + 2 x + — 3 x 2 + 6 x — 4 x 3 — 3

Значит, что остаток при делении 3 x 5 + 2 x 4 — 12 x 2 — 4 на x 3 — 3 дает значение — 3 x 2 + 6 x — 4 . Для быстрого нахождения результата применяют формулы сокращенного умножения.

Произвести деление 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 на 2 x + 3 .

Запишем деление в виде дроби. Получим, что 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Заметим, что в числителе выражение можно сложить по формуле куба суммы. Имеем, что

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = ( 2 x + 3 ) 3 2 x + 3 = ( 2 x + 3 ) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Заданный многочлен делится без остатка.

Для решения используется более удобный метод решения, причем деление многочлена на многочлен считается максимально универсальным, поэтому часто используемым при выделении целой части. Итоговая запись должна содержать полученный многочлен от деления.