Дискретная математика диаграммы эйлера венна

Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.

Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):

Рис. 1.1. Диаграмма Эйлера-Венна для объединения

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):

Рис. 1.2. Диаграмма Эйлера-Венна для пересечения

Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):

Рис. 1.3. Диаграмма Эйлера-Венна для разности

Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):

Рис. 1.4. Диаграмма Эйлера-Венна для симметрической разности

Определение. Абсолютным дополнением множества А называется множество всех тех элементов, которые не принадлежат множеству А (рис. 5):

Рис. 1.5. Диаграмма Эйлера-Венна для абсолютного дополнения

Пример 5. С помощью диаграмм Эйлера – Венна проиллюстрируем справедливость соотношения (рис. 6).

Рис. 1.6. Доказательство справедливости соотношения для примера 5

Убедились, что в обоих случаях получаем равные множества. Следовательно, исходное соотношение справедливо.

Срочно?
Закажи у профессионала, через форму заявки
8 (800) 100-77-13 с 7.00 до 22.00

Читайте также:

1. Вторая нормальная форма ER-диаграммы
2. Диаграммы потоков данных
3. Диаграммы Пурбе
4. Диаграммы функциональных зависимостей
5. Изменение диапазона ячеек, используемого для создания диаграммы
6. Изменение местоположения диаграммы
7. Изменение типа диаграммы
8. Кривые и диаграммы титрования
9. П.4 Диаграммы функциональных блоков FBD
10. Первая нормальная форма ER-диаграммы
11. Получение реляционной схемы из ER-диаграммы. Базовые приемы

Чтобы наглядно изображать множества, английский математик Джон Венн (1834-1923) предложил использовать замкнутые фигуры на плоскости. Намного раньше Эйлер (1707-1783) для изображения отношений между множествами использовал круги. Позднее такие изображения получили названия диаграмм Эйлера-Венна.

Диаграммы – очень удобный инструмент, позволяющий изображать множества и иллюстрировать операции над ними. Это геометрические представления множеств.

Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри него – кругов или каких-либо других замкнутых фигур, представляющих множества, входящие в универсальное. Фигуры находятся в определенном положении по отношению друг к другу. В наиболее общем случае они пересекаются. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, обозначают элементы соответствующих множеств.

Все множества на диаграммах обозначаются, как обычно, заглавными буквами латинского алфавита. Построив диаграмму, обычно штрихуют определенные области для обозначения вновь образованных множеств, или выделяют это множество каким-либо другим способом.

В таблице 1 приведены иллюстрации операций объединения, пересечения, разности, дополнения и симметрической разности двух множеств А и В, входящих в универсальное множество U.

Примеры построения более сложных диаграмм приведены ниже.

Пример 3. Представить множество диаграммой Эйлера-Венна.

Решение: 1) Обозначим множества А, В, С и универсальное множество U (см. рис. 1а).

2) Заштрихуем множество В диагональными линиями в одном направлении, а — в другом. Площадь с двойной штриховкой представляет собой их пересечение, т.е. множество . Выделим это вновь полученное множество жирной линией (рис. 1б).

3) Сделаем копию диаграммы, на которой заштрихуем областьлиниями одного направления, а А – другого. Вся заштрихованная область представляет объединение множеств А и , т.е. то, что требовалось по заданию. Обведем искомую область жирной линией. (рис. 1в)

Название операции	Обозначение	Изображение	Определение	Символическая запись	Лог. операции
Пересечение множеств			Те и только те элементы, которые принадлежат одновременно А и В		Λ
Объединение множеств			Те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из множествА или В		V
Разность множеств			Те и только те элементы, которые не принадлежат В
Дополнение к множеству А			Те и только те элементы, которые не принадлежат А (т.е. дополняют его до универсального U)
Симметрическая разность			Те и только те элементы, которые принадлежат одному из множеств: А либо В, но не являются общими элементами

Диаграммы Эйлера-Венна также могут использоваться для решения задач, связанных с пересеченными множествами.

При этом для двухпеременных пересеченных множеств используется формула:

где |А| — число элементов множества А;

|В| — число элементов множества В;

|АÇВ| — число элементов, входящих одновременно и в множество А, и в множество В.

Для трехпеременных пересеченных множеств используется формула:

|АÈВÈС|= |А|+ |В|+ |С| — |АÇВ| — |АÇС| — |ВÇС| + |АÇВÇС|.

Пример 4. Из 100 студентов английский язык изучают 28, немецкий – 30 , французский – 42, английский и немецкий – 8, английский и французский – 10, немецкий и французский – 5, немецкий, английский и французский – 3:

а) сколько студентов не изучают ни одного языка?

б) сколько студентов изучают один английский?

в) один французский?

г) один немецкий?

д) менее двух языков?

Решение. Обозначим: Е – множество всех студентов, А – множество студентов, изучающих английский язык, В – немецкий, С – французский.

|А| = 28, |В| = 30, |С| = 42, |АÇВ| = 8, |АÇС| = 10, |ВÇС| = 5, |АÇВÇС| = 3.

б) один английский изучают:

|А| — |АÇВ| — |АÇС| + |АÇВÇС| = 28 – 8 – 10 + 3 = 13.

в) один французский:

|С| — | ВÇС | — |АÇС| + |АÇВÇС| = 42 – 5 – 10 + 3= 30.

г) один немецкий: |В| — |ВÇС| — |АÇВ| + |АÇВÇС| = 30 – 5 – 8 + 3 = 20.

а) ни одного языка не изучают: , но

|АÈВÈС|= |А|+ |В|+ |С| — |АÇВ| — |ВÇС| — |АÇС| + |АÇВÇС|=

=100 – 8 – 10 – 5 + 3=80.

Тогда = 100 – 80 = 20.

д) |АÇВ| + |АÇС| + |ВÇС| — 2|АÇВÇС| = 8 + 10 + 5 — 2·3 = 23 – 6 = 17.

Решение данной задачи можно произвести с помощью диаграммы Эйлера-Венна.

Дата добавления: 2014-01-03 ; Просмотров: 50260 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Диаграмма Венна (также используется название диаграмма Эйлера — Венна) — схематичное изображение всех возможных отношений (объединение, пересечение, разность, симметрическая разность) нескольких (часто — трёх) подмножеств универсального множества. На диаграммах Венна универсальное множество U <displaystyle U> изображается множеством точек некоторого прямоугольника, в котором располагаются в виде кругов или других простых фигур все остальные рассматриваемые множества [1] [2] .

Диаграммы Венна применяются при решении задач вывода логических следствий из посылок, выразимых на языке формул классического исчисления высказываний и классического исчисления одноместных предикатов [3] , для :

• описания функционирования формальных нейронов Мак-Каллока и сетей из них [4]
• синтеза надежных сетей из не вполне надежных элементов [5] ,
• построения управляющих и самоуправляющихся систем и блочного анализа и синтеза сложных устройств [6] ,
• получения логических следствий из заданной информации, минимизации формул исчислений [7][8] .

Диаграммы Венна при помощи n <displaystyle n> фигур изображают все 2 n <displaystyle 2^> комбинаций n <displaystyle n> свойств, то есть конечную булеву алгебру [9] . При n = 3 <displaystyle n=3> диаграмма Эйлера — Венна обычно изображается в виде трёх кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.

Дальнейшим развитием аппарата диаграмм Венна в классическом исчислении высказываний является аппарат вероятностных диаграмм [10] , понятие сети диаграмм, использующей диаграммы Венна как операторы [11] .

Они появились в сочинениях английского логика Джона Венна (1834—1923), подробно изложившего их в книге «Символическая логика», изданной в Лондоне в 1881 году.

Содержание

Связь диаграмм Эйлера и Венна [ править | править код ]

Диаграммы Эйлера в отличие от диаграмм Эйлера — Венна изображают отношения между множествами: непересекающиеся множества изображены непересекающимися кругами, а подмножества изображены вложенными кругами.

Диаграммы Венна основаны на существенно иной идее, чем круги Эйлера [12] . Круги Эйлера возникли на основе идей силлогистики Аристотеля. Диаграммы Венна были созданы для решения задач математической логики. Их основная идея разложения на конституенты возникла на основе алгебры логики [12] .

На рис. ниже даны диаграммы Венна и Эйлера для 3 множеств однозначных натуральных чисел: