Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе /-критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется гипотеза (Н0) о равенстве коэффициента корреляции нулю [Н г= 0 . При проверке этой гипотезы используется /-статистика [c.124]
Рассмотрим процедуру и примеры проверки нулевой гипотезы для коэффициента корреляции на конкретном примере. Этот пример поможет показать логику и процедуру проверки статистических гипотез вообще. Взяты 10 наблюдений показателей инфляции и безработицы в США за 1931-1940 годы, для них рассчитан выборочный коэффициент корреляции, составивший -0,227. Связь отрицательная, что соответствует теории (кривая Филлипса), но значима ли она Проверим гипотезу Я0 р=0 о равенстве нулю истинного значения коэффициента корреляции. Для проверки гипотезы Я0, как уже говорилось, следует использовать /-статистику с л-2 степенями свободы. [c.291]
Предположим, что имеется набор экспериментальных данных — значения x1,x2. xN временного ряда в равноотстоящие моменты времени t1,t2. tN. С помощью специальных программ (см. выше) по этим данным можно вычислить приближение г к точному значению г коэффициента корреляции (это приближение называют оценкой). Назовем это значение г экспериментальным. Общая идея метода статистической проверки гипотез такова. Выдвигается некоторая гипотеза, в нашем случае это гипотеза о равенстве нулю коэффициенте корреляции. Далее, задается некоторый уровень вероятности а. Смысл этой величины заключается в том, что она является вероятностной мерой допустимой ошибки. А именно, мы допускаем, что сделанный нами вывод о справедливости или несправедливости гипотезы на основании заданного массива экспериментальных данных может оказаться ошибочным, ибо абсолютно точного вывода на основании лишь частичной информации ожидать, конечно, не стоит. Однако мы можем потребовать, чтобы вероятность этой ошибки не превосходилв некоторой заранее выбранной величины а (уровня вероятности). Обычно берут ее значение равным 0.05 (т.е. 5%) или 0.10, иногда берут и 0.01. Событие, вероятность которого меньше, чем а, считается настолько редким, что мы берем на себя смелость им пренебрегать. Для временных рядов разной природы эту величину выбирают по-разному. Если речь идет о ряде цен на акции какой-то небольшой фирмы, то риск ошибиться не несет катастрофических последствий (для независимых от этой фирмы участников торгов) и потому а можно взять не очень маленьким. Если же речь идет о крупной сделке, то последствия ошибки могут быть очень тяжелыми и значение а берут поменьше. [c.32]
Используемая статистика Fq+l формально совпадает со статистикой для проверки значимости соответствующего регрессионного коэффициента в обычной задаче регрессии. Поэтому в качестве значения для Ръкп, как правило, выбирают классические уровни йачимости (5, 10, 15%), соответствующие F-распределению с 1 и (я — q — 2) степенями свободы. Однако величина Fq+i в пошаговой процедуре на самом деле не подчиняется -распределению с соответствующим числом степеней свободы, поскольку проверяется гипотеза о равенстве нулю максимального по абсолютной величине коэффициента частной корреляции из р-—.q коэффициентов частной корреляции для переменных, не входящих в X (q). Неизвестно поэтому, какому уровню значимости соответствует выбранное значение [c.288]
В социологических исследованиях довольно часто возникает ситуация, когда исследователь не знает, как следует интерпретировать коэффициент корреляции, рассчитанный для измерения связи между двумя интервальными. Скажем, равен этот коэффициент0,3. Какой вывод должен сделать исследователь — имеется связь между переменными или нет? И снова, как и выше, на помощь приходит проверка статистической гипотезы [1] .
Рассмотрим способ проверки нуль-гипотезы — Н0: р = 0. Для этого используется критерий
(напомним, что греческие буквы используются для обозначения генеральных параметров, а латинские — для отвечающих им выборочных статистик; в соответствии с этим гозначает выборочный коэффициент корреляции). Эта статистика при справедливости нуль- гипотезы имеет распределение Стьюдента с df= (п — 2) степенями свободы.
Альтернативная гипотеза Я, в данном случае может быть ненаправленной и направленной (это естественно, если вспомнить, что коэффициент корреляции может быть и положительным, и отрицательным), а рассмотренный критерий, соответственно, двусторонним и односторонним.
Направленный вариант альтернативной гипотезы — Я,: р > О (или — Я,: р
Подчеркнем, что при ненаправленной альтернативной гипотезе (и, соответственно, при использовании двустороннего критерия) гипотеза принимается, если —г ,
Коэффициента ранговой корреляции Спирмена и Кендала
Требуется при заданном уровне значимости α проверить нулевую гипотезу о равенстве нулю генерального коэффициента ранговой корреляции Спирмена ρг при конкурирующей гипотезе Н1: ρг ≠ 0. Для этого найдем критическую точку:
, (13)
где п – объем выборки, ρВ – выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена, tкр (α, k) – критическая точка двусторонней критической области, найденная по таблице критических точек распределения Стьюдента, число степеней свободы k = n – 2. Тогда, если | ρB | Tкр, то нулевая гипотеза отвергается, и между признаками существует значимая ранговая корреляционная связь.
Для проверки нулевой гипотезы Н0: τг = 0 (генеральный коэффициент ранговой корреляции Кендалла равен нулю) при альтернативной гипотезе Н1: τг ≠ 0 необходимо найти критическую точку:
, (14)
где п – объем выборки, а zкр – критическая точка двусторонней критической области, определяемая из условия 
по таблицам для функции Лапласа. Если | τB | Tкр , то нулевая гипотеза отвергается (между признаками существует значимая ранговая корреляционная связь).
Вопросы для самопроверки
1. Что такое критерий согласия?
2. Какие критерии согласия Вы знаете?
3. Опишите схему применения критерия Пирсона.
4. Запишите плотность распределения закона 
с 
степенью свободы.
5. Могут ли опытные данные одновременно согласовываться с несколькими гипотезами о законе распределения?
ПРИМЕНЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ
ПРОГРАММЫ EXCEL
а). Структура данных, преобразование данных. Ячейки, диапазон ячеек. Ячейки нумеруются одновременным заданием имени столбца и номером элемента в этом столбце. Например, A3 –это третья сверху ячейка, находящаяся в первом столбце.
Нужные данные для обработки задаются указанием их верхней правой и нижней левой границ в массиве всех данных. Например, оператор (A1:C8) выделит первые восемь элементов в столбцах A,B,C.
Формулы, способы их задания.Для задания формул, по которых будут проводиться вычисления с элементами массивов, имеется специальная строка (в верхней половине окна, она начинается сразу после символа fx). В EXCEL существуют различные группы формул, для наших целей наиболее важны такие: МАТЕМАТИЧЕСКИЕ, МАТ. и ТРИГОНОМЕТРИЯ, ССЫЛКИ И МАССИВЫ, а также СТАТИСТИЧЕСКИЕ, о которых подробнее будет сказано ниже. Результат вычислений функции помещается в заранее выбранную ячейку.
Статистические формулы. Список реализованных в EXCEL статистических команд можно получить, нажав значок fxи выбрав там пункт СТАТИСТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Выделив нужную статистическую функцию, можно получить по ней справку (для этого – имеется предложение в нижней левой части появившегося окна — СПРАВКА ПО ЭТОЙ ФУНКЦИИ).
б). Основные распределения.Команды НОРМРАСП и НОРМОБР вычисляют значения для нормального распределения и для обратной ему функции. Например, команда НОРМОБР(0.12,2,0.5) дает значение, соответствующее значению вероятности 0.12 для нормального закона распределения со средним значением (математическим ожиданием), равным 2 и среднеквадратичным отклонением, равным 0.5. Некоторые другие распределения – это ПУАССОН, СТЬЮРАСП, БИНОМРАСП.
в). Вычисление оценок. Перечислим некоторые нужные нам основные команды:
СРЗНАЧ– вычисление среднего арифметического заданного массива данных (строки, столбца, матрицы и др.). Дает оценку для математического ожидания.
ДИСП (несмещенная оценка дисперсии, ее допустимо применять только для больших наборов данных – не менее 30, в противном случае нужно применять команду ДИСПР).
Пример: ДИСП(А1:А30) – вычисление несмещенной оценки дисперсии для 30 чисел из столбца A.
СТАНДОТКЛ, СРОТКЛ (несмещенная оценка) – это фактически корни квадратные 
и 
из соответствующих оценок дисперсии.
г). Построение гистограммы.Гистограмма дает возможность приближенно определить вид графика плотности распределения изучаемой случайной величины. Например, если гистограмма напоминает собой гауссову кривую (хоть и состоит из горизонтальных отрезков), то можно предполагать, что изучаемая случайная величина распределена нормально (для более точного исследования на нормальность имеются специальные методы).
Для построения гистограммы можно использовать специальную кнопку в основном меню: «Мастер диаграмм» (гистограмма тут рассматривается как одна из многих диаграмм в EXCEL). Шаг за шагом, отвечая на задаваемые «Мастером диаграмм» вопросы, получим гистограмму.
д). Корреляция. Простая регрессия. Основные команды:
ПИРСОН– вычисляет коэффициент корреляции (здесь он фигурирует как коэффициент Пирсона). Например, команда ПИРСОН(A1:A10;B1:B10) дает коэффициент корреляции для двух столбцов A и B.
КВПИРСОН — дает квадрат коэффициента корреляции.
КОРРЕЛ – дает тот же коэффициент корреляции.
НАКЛОН, ОТРЕЗОК, ЛИНЕЙН– команды для построения прямой регрессии и анализа ее точности.
Для уравнения линейной регрессии y=ax+b команда НАКЛОН дает коэффициент a, ОТРЕЗОК дает коэффициент b. Формат этих команд одинаков, например, НАКЛОН(A1:A10;B1:B10) дает наклон прямой регрессии столбца A зависимых значений на столбец независимых значений B.
Команда ЛИНЕЙН позволяет не только находить линейную регрессию, но и вычислять различные дополнительные параметры для ее анализа, а также проводить и кратную регрессию.
е). Кратная регрессия – производится с помощью команды ЛИНЕЙН. Например, ЛИНЕЙН(Y,X) решает задачу для массивов Y — зависимых данных (столбец) и X — независимых данных (один или несколько столбцов), выделяемых стандартным для EXCEL методом. Дополнительно можно задавать некоторые специальные опции.
Приложение.
Таблица 1. Значения функции Лапласа
| X | Ф(х) | X | Ф(х) | X | Ф(х) | X | Ф(х) |
| 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 0.30 0.31 | 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.0359 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.0753 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.1141 0.1179 0.1217 | 0.32 0.33 0.34 0.35 0.36 0.37 0.38 0.39 0.40 0.41 0.42 0.43 0.44 0.45 0.46 0.47 0.48 0.49 0.50 0.51 0.52 0.53 0.54 0.55 0.56 0.57 0.58 0.59 0.60 0.61 0.62 0.63 | 0.1255 0.1293 0.1331 0 1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517 0.1554 0.1591 0.1628 0.1664 0.1700 0.1736 0.1772 0.1808 0.1844 0.1879 0.1915 0.1950 0.1985 0.2019 0.2054 0.2088 0.2123 0.2157 0.2190 0.2224 0.2257 0.2291 0.2324 0.2357 | 0.64 0.65 0.66 0.67 0.69 0.70 0.71 0.72 0.73 0.74 0.75 0.76 0.77 0.78 0.79 0.80 0.81 0.82 0.83 0.84 0.85 0.86 0.87 0.88 0.89 0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 | 0.2389 0.2422 0.2454 0.2486 0.2517 0.2549 0.2580 0.2611 0.2642 0.2673 0.2703 0.2734 0.2764 0.2794 0.2823 0.2852 0.2881 0.2910 0.2939 0.2967 0.2995 0 3023 0.3051 0.3078 0.3106 0.3133 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 | 0.96 0.97 0.98 0.99 1.00 1,01 1.02 1.03 1.04 1.05 1.06 1.07 1.08 1.09 1.10 1.11 1.12 1.13 1.14 1.15 1.16 1.17 1.18 1.19 1.20 1.21 1.22 1.23 1.24 1.25 | 0.3340 0.3365 0.3389 0.3461 0.3485 0.3508 0.3554 0.3577 0.3621 0.3643 0.3708. 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.3830 0.3849 0.3869 0/3883 0.3907 0.3925 0.3944 |
Продолжение таблицы 1.
| X | Ф(х) | X | Ф(х) | X | Ф(Х) | X | Ф(х) |
| 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 1.31 1 32 1.33 1.34 1.35 1.36 1.37 1.38 1.39 1.40 1.41 1.42 1.43 1.44 1 45 1.46 1.47 1.48 1.49 1.50 1.51 1.52 1.53 1.54 1.55 1 56 1.57 1.58 | 0.3962 0.3980 0.4015 0.4032 0.4049 0.4066 0.4082 0.4099 0.4115 0.4131 0.4147 0.4162 0.4177 0.4192 0.4207 0.4222 0.4236 0.4251 0.4265 0.4279 0.4292 0.4306 0.4319 0,4332 0.4345 0.4357 0.4370 0.4382 0.4394 0.4406 0 4418 0.4429 | 1.59 1 60 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 1.71 1.72 1.73 1.74 1.75 1.76 1.77 1.78 1.79 1.80 1.81 1.82 1.83 1.84 1.85 1.86 1.87 1.88 1.89 1.90 1.91 | 0.4441 0.4452 0.4463 0.4474 0.4484 0.4495 0.4505 0.4515 0.4525 0.4535 0.4545 0.4554 0.4564 0.4573 0.4582 0.4591 0.4599 0.4608 0.4616 0.4625 0.4633 0.4641 0.4649 0.4656 0.4664 0.4671 0.4678 0.4686 0.4693 0.4699 0.4706 0.4713 0.4719 | 1.92 1.93 1.94 1.95 1.96 1.97 1.98 1.99 2.00 2.02 2.04 2.06 2.08 2.10 2.12 2.14 2.16 2.18 2.20 2.22 2.24 2.26 2.28 2.30 2.32 2.34 2.36 2.38 2.40 2.42 2.44 2.46 2.48 | 0.4726 0.4732 0.4738 0.4744 0.4750 0.4756 0.4761 0.4767 0.4772 0.4783 0.4793 0.4803 0.4812 0.4821 0.4830 0.4838 0.4846 0.4854 0.4861 0.4868 0.4875 0.4881 0.4887 0.4893 0.4898 0.4904 0.4909 0.4913 0.4918 0.4922 0.4927 0.4931 0.4934 | 2.50 2.52 2.54 2.56 2.58 2.60 2.62 2.64 2.66 2.68 2.70 2.72 2.74 2.76 2.78 2.80 2.82 2.84 2.86 2.88 2.90 2.92 2.94 2.96 2.98 3.00 3.20 3.40 3 60 3.80 4.00 4.50 5.00 | 0.4938 0.4941 0.4945 0.4948 0,4951 0.4953 0.4956 0.4959 0.4961 0.4963 0.4965 0.4967 0.4969 0.4971 0.4973 0.4974 0.4976 0.4977 0.4979 0.4980 0.4981 0.4982 0.4984 0.4985 0.4986 0.49865 0.49931 0.49966 0.49984 0.49992 0.49996 0.49999 0.49999 |
Таблица 2. Критические точки распределения 
| Число степеней свободы k | Уровень значимости  | ||||
| 0.01 | 0.025 | 0.05 | 0.95 | 0.975 | 0.99 |
| 6.6 9.2 11.3 13.3 15.1 16.8 18.5 20.1 21.7 23.2 24.7 26.2 27.7 29.1 30.6 32.0 33.4 34.8 36.2 37.6 38.9 40.3 41.6 43.0 44.3 45.6 47.0 48.3 49.6 50.9 | 5.0 7.4 9.4 11.1 12.8 14.4 16.0 17.5 19.0 20.5 21.9 23.3 24.7 26.1 27.5 28.8 30.2 31.5 32.9 34.2 35.5 36.8 38.1 39.4 40.6 41.9 43.2 44.5 45.7 47.0 | 3.8 6.0 7.8 9.5 11.1 12.6 14 1 15.5 16.9 18.3 19.7 21.0 22.4 23.7 25.0 26.3 27.6 28.9 30.1 31.4 32.7 33.9 35.2 36.4 37.7 38.9 40.1 41.3 42.6 43.8 | 0.0039 0.103 0.352 0.711 1.15 1.64 2.17 2.73 3.33 3.94 4.57 5.23 5.89 6.57 7.26 7.96 8.67 9.39 10.1 10.9 11.6 12.3 13.1 13.8 14.6 15.4 16.2 16.9 17.7 18.5 | 0.00098 0.051 0.216 0.484 0.831 1.24 1.69 2.18 2.70 3.25 3.82 4.40 5.01 5.63 6.26 6.91 7.56 8.23 8.91 9.59 10.3 11.0 11.7 12.4 13.1 13.8 14.6 15.3 16.0 16.8 | 0.00016 0.020 0.115 0.297 0.554 0.872 1.24 1.65 2.09 2.56 3.05 3.57 4.11 4.66 5.23 5.81 6.41 7.01 7.63 8.26 8.90 9.54 10.2 10.9 11.5 12.2 12.9 13.6 14.3 15.0 |
Таблица 3. Критические точки распределения Стьюдента
| Число степеней свободы k | Уровень значимости (двусторонняя критическая область) | |||||
| 0.10 | 0.05 | 0.02 | 0.01 | 0.002 | 0.001 | |
| ∞ | 6.31 2.92 2.35 2.13 2.01 1.89 1.86 1.83 1.81 1.80 1.78 1.77 1.76 1.75 1.75 1.74 1.73 1.73 1.73 1.72 1.72 1.71 1.71 1.71 1.71 1.71 1.70 1.70 1.70 1.68 1.67 1.66 1.64 | 12.7 4.30 3.18 2.78 2.57 2.45′ 2.36 2.31 2.26 2.23 2.20 2.18 2.16 2.14 2.13 2.12 2.11 2.10 2.09 2.09 2.08 2.07 2.07 2.06 2.06 2.06 2.05 2.05 2.05 2.04 2.02 2.00 1.98 1.96 | 31.82 6.97 4.54 3.75 3.37 3.14 3.00 2.90 2.82 2.76 2.72 2.68 2.65 2.62 2.60 2.58 2.57 2.55 2.54 2.53 2.52 2.51 2.50 2.49 2.49 2.48 2.47 2.46 2.46 2.46 2.42 2.39 2.36 2.33 | 63.7 9.92 5.84 4.60 4.03 3.71 3.50 3.36 3.25 3.17 3.11 3.05 3.01 2.98 2.95 2.92 2.90 2.88 2.86 2.85 2.83 2.82 2.81 2.80 2.79 2.78 2.77 2.76 2.76 2.75 2.70 2.66 2.62 2.58 | 318.3 22.33 10.22 7.17 5.89 5.21 4.79 4.50 4.30 4.14 4.03 3.93 3.85 3.79 3.73 3.69 3.65 3.61 3.58 3.55 3.53 3.51 3.59 3.47 3.45 3.44 3.42 3.40 3.40 3.39 3.31 3.23 3.17 3.09 | 637.0 31.6 12.9 8.61 6.86 5.96 5.40 5.04 4.78 4.59 4.44 4.32 4.22 4.14 4.07 4.01 3.95 3.92 3.88 3.85 3.82 3.79 3.77 3.74 3.72 3.71 3.69 3.66 3.65 3.55 3.46 3.37 3.29 |
| 0.05 | 0.025 | 0.01 | 0.005 | 0.001 | 0.0005 | |
| Уровень значимости (односторонняя критическая область) |
Таблица 4. Критические точки распределения Фишера
( 
– число степеней свободы большей дисперсии, 
– число степеней свободы меньшей дисперсии)