Отделение корней

Постановка задачи

Решение уравнений с одной переменной

Рассмотрим уравнение вида F(x)=0, где F(x) – определенная и непрерывная на отрезке [a,b] функция.

Корнем уравнения F(x)=0 называется такое значение x * , которое обращает уравнение в верное равенство.

x * — корень уравнения F(x)=0 • x * — нуль функции y=F(x).

Решить уравнение – значит установить, имеет ли оно корни, сколько корней, и найти их значения с заданной степенью точности.

Нахождение корней уравнения состоит из двух этапов:

I. Отделение корней – выделение промежутков, содержащих ровно 1 корень.

II. Уточнение корней – нахождение корней с заданной степенью точности.

Отделение корней может осуществляться графически или программным путем.

Если на отрезке [a,b] функция y=F(x) определена и непрерывна, и на его концах принимает значения разных знаков (т.е. F(a)F(b) 2 -x-1=0. Построим график функции y=x 2 -x-1 и укажем отрезки, содержащие точки пересечения графика функции с осью абсцисс.

Искомые промежутки: [-1; 0] [1; 2].

б) Иногда проще рассмотреть вместо уравнения y=F(x) равносильное ему уравнение f1(x)=f2(x). В этом случае требуется указать отрезок, содержащий абсциссу точки пересечения графиков функций y=f1(x) и y=f2(x).

Например, пусть требуется отделить корни уравнения x 2 -x-1=0. Рассмотрим равносильное ему уравнение x 2 =x+1. Тогда вместо отрезков, содержащих точки пересечения графика функции y=x 2 -x-1 с осью абсцисс, можно указать отрезки, содержащие точки пересечения графиков функций f1(x)=x 2 и f2(x)=x+1.

Искомые промежутки: [-2; 0] [1; 3].

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Студент — человек, постоянно откладывающий неизбежность. 10577 — | 7333 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

По этому методу производят построение и последующий визуальный анализ графиков y = P(x) и y = Q(x) или графика в области существования корней. Абсциссы точек пересечения и точек касания графиков функций P(x) и Q(x) являются действительными корнями уравнения (рис.1, а), а абсциссы точек пересечения и касания графика с осью ОX — действительными корнями уравнения (рис.1,б).

Точки пересечения графиков y = P(x) и y = Q(x) или графика с осью ОX определяют простые (однократные) корни уравнения (см. ξ1 на рис. 1), точки касания графиков — корни с четной кратностью (например, двукратные ξ2 = ξ3), а точки одновременного пересечения и касания графиков — корни нечетной кратности (см. ξ4 = ξ5 = ξ6 на рис.1).

Учет кратности корня имеет большое значение не только для определения общего числа корней уравнения, но и для последующего процесса уточнения корня. В частности, некоторые методы уточнения эффективны только для простых корней, а при уточнении корней четной кратности приходится решать вспомогательное уравнение , где — производная функции .

После построения графиков функций P(x) и Q(x) или и визуального их анализа указываются числа a и b — границы отрезков, содержащих единственный (простой или кратный) корень.

Аналитический метод отделения корней

Применяется для отделения корней нечетной кратности уравнения вида . Основу метода составляет анализ условия существования и единственности корня на отрезке [α, β] выраженного в следующей теореме.

Границы действительных корней алгебраических уравнений. Если функция непрерывна на отрезке [α, β] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, т.е. , то внутри отрезка существует, по крайней мере, один корень уравнения , т.е. найдется хотя бы одно число такое, что (рис. 2). Корень ξ заведомо будет единственным, если производная существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (α, β).

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции в граничных точках x = a и x = b области существования корней уравнения .

Затем определяются знаки функции в промежуточных точках x = α1, α2, …, выбор которых учитывает особенности функции . Если окажется, что , то в силу теоремы существования корней, в интервале (αk, αk+1) имеется корень уравнения . Далее необходимо, исследуя поведение внутри интервала (αk, αk+1), убедиться, является ли этот корень единственным.

Наиболее просто отделение корней производится с помощью ЭВМ. Алгоритм отделения корня уравнения сочетает в себе элементы графического и аналитического методов решения данной задачи. Рассмотрим пример алгоритма отделения наименьшего корня.

Пусть из физических представлений известен интервал [a, b] в котором находится искомый корень. В общем случае в этом интервале может быть несколько корней. Необходимо отделить наименьший корень уравнения.

Алгоритм отделения наименьшего корня предполагает выполнение следующих этапов (рис. 3):

1. Задается шаг Δx отделения корня (блок 2).

2. Переменной x задается значение нижней границы отрезка [a, b], и вычисляется значение y1 функции в этой точке (блок 4).

3. Вычисляется значение переменной x в следующей точке, отстоящей от предыдущей точки на шаг Δx отделения корня. Определяется значение y2 функции в этой точке (блок 5).

4. Проверяется условие существования корня в текущем интервале длиной, равной шагу Δx отделения корня (блок 6).

5. Если знак функции не изменился ( ), т. е. корень уравнения не обнаружен, то величине y1 присваивается значение y2 (блок 7). Это исключает повторное вычисление функции в одной и той же точке x, являющейся одновременно правой границей проверяемого текущего интервала и левой границей следующего текущего интервала (рис. 4). Далее осуществляется переход к повторению вычислений, начиная с п.3 (блока 5).

6. Если знак функции изменился (условие соблюдается[2]), что указывает на наличие в данном текущем интервале корня, то производится вычисление границ этого текущего интервала [α, β] и ввод их значений (блоки 8, 9).

7. Если на исследуемом интервале [a, b] требуется отделить все корни уравнения то процесс вычисления функций продолжают в следующих точках исходного интервала до его полного прохождения с шагом Δx. Условием окончания процесса отделения корней в данном случае будет выполнение условия x > b.

Контрольные вопросы и упражнения для приобретения

Умений и навыков по теме 2

1. В каком виде могут быть записаны уравнения с одним неизвестным? На какие классы разделяются нелинейные уравнения с одним неизвестным?

2. Что значит термин «решить уравнение»? Что называют решением уравнения, а что — корнем уравнения?

3. Сколько корней имеет алгебраическое уравнение вида ? Какими они могут быть?

4. Привести к виду уравнения

.

5. Что означает утверждение "корень вычислен с заданной степенью точности»?

6. Как определяется область существования корней алгебраического уравнения? Определите области существования положительных и отрицательных корней алгебраического уравнения .

7. Какова методика определения области корней трансцендентного уравнения? Определите область существования корней уравнения

8. Какие подзадачи содержит в себе общая задача нахождения приближенного значения корня уравнения? Что значит «отделить корни уравнения»? Какие методы применяют для отделения корней уравнения?

9. Используя два способа, т. е. записывая нижеприведенное уравнение в виде в первом способе и как — во втором, графическим методом выполните отделение корней уравнения . Длину отрезка расположения каждого корня задать равной 0,5.

10. Какая теорема лежит в основе аналитического метода отделения корней уравнения? При каком условии отделенный на интервале (α, β) корень ξ является единственным?

11. Напишите в вербальной (словесной) форме последовательность отделения наибольшего корня уравнения , расположенного на интервале [0,25; 3,45].

[1] Дробно-рациональная функция содержит выражение, где переменная x является делителем или входит в состав делителя.

[2] Выполнение условия указывает, что искомый корень находится на границе текущего интервала.

Дата добавления: 2019-01-14 ; просмотров: 161 ; ЗАКАЗАТЬ РАБОТУ

Пусть дано уравнение вида (2.1), или (2.2),

Процесс численного решения уравнения разбивается на два этапа: отделение корней и уточнение корней.

Определение 2.2. Говорят, что корень Е, уравнения вида (2.1) или (2.2) отделен на данном промежутке, если он содержится в этом промежутке и других корней на том же промежутке нет.

Определение 2.3. Произвести полное отделение всех корней уравнения — значит разбить всю область допустимых значений на промежутки, в каждом из которых содержится только один корень или не содержится ни одного корня.

Для проверки существования корня уравнения на данном интервале применяют некоторые теоремы о свойствах непрерывных функций. Приведем некоторые из них.

Теорема 2.3 (первая теорема Больцано — Коши). Если функция/(х) непрерывна на отрезке [а; Ь] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [а; Ъ] существует, по крайней мере, один корень уравнения Дх) = 0.

Рис. 2.5. К теореме 2.3

Заметим, что при выполнении условий теоремы 2.3 на отрезке [а; Ь] не следует, что на данном отрезке существует один или несколько корней (рис. 2.5). Важно иметь признак, по которому можно судить о наличии на отрезке [а; b] только одного корня. Этот признак выражается следующей теоремой (рис. 2.6).

Теорема 2.4. Если функция /(х) непрерывна и монотонна на отрезке [а; Ь] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то внутри отрезка [а; Ь] существует корень уравнения /(х) = 0, и притом единственный.

Рис. 2.6. К теореме 2.4

Вопрос о том, является ли функция монотонной, можно решить как элементарными методами, так и с помощью понятия производной, а именно: если функция Дх) непрерывна на отрезке [а; ?>] и имеет производную fix) внутри отрезка, то при fix) > 0 функция Дх) возрастает, а при/'(х) h(b), тогда внутри отрезка [а; Ь] существует корень уравнения g(x) = hix), и притом единственный.

Рис. 2.7. К теореме 2.6

Отделение корней лучше всего произвести графически. Для этого необходимо построить либо графики функций g(x) и h(x) для уравнения вида(2.1), либо график функцииДх) для уравнения вида (2.2). Построив соответствующие графики, можно сделать предположение о том, в каких интервалах находятся корни уравнения. Это предположение затем следует проверить аналитически, применяя одну из теорем 2.3—2.6.

Отделите корни уравнения х 3 — бх 2 + 20 = 0.

Построим график функцииу(х) = х 3 — бх 2 -I- 20 (рис. 2.8).

Рис. 2.8. Г рафик функции у(х) =х 3 — бх 2 + 20

На основе рис. 2.8 можно сделать предположение, что в каждом из отрезков [-2; -1], [2; 3], [5; 6] имеется по одному корню данного уравнения. Проверим это предположение для отрезка [2; 3]. На концах отрезка функция принимает значения

т.е. значения разных знаков. Производная

для всех х из интервала (2; 3), т.е. имеет постоянный знак. Следовательно, в силу теоремы 2.4 внутри отрезка [2; 3] уравнение х 3 — бх 2 + 20 = 0 имеет единственный корень.

Подобными рассуждениями можно доказать, что внутри каждого отрезка [-2; -1] и [5; 6] имеется по одному корню, в чем предлагаем убедиться читателю самостоятельно.