Подынтегральное выражение можно преобразовать из произведения тригонометрических функций в сумму
Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть интегралы вида
(1)
Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами
(2)
(3)
(4)
можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам
(5)
(6)
Решение. По формуле (2) при
Применяя далее формулу (5), получим
Решение. По формуле (3) при 
получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:
Применяя далее формулу (6), получим
Решение. По формуле (4) при 
получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:
Применяя формулу (6), получим
Интеграл произведения степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента
Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т.е.
(7)
В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю.
При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен cos x dx (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен — sin x dx ) .
Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и n нечётный; 2) оба показателя чётные.
Пусть имеет место первый случай, а именно показатель n = 2k + 1 — нечётный. Тогда, учитывая, что
Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной t = sin x решение сводится к интегрированию многочлена относительно t. Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sinx, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и полагая t = cos x . Этот приём можно использовать и при интегрировании частного степеней синуса и косинуса, когда хотя бы один из показателей — нечётный. Всё дело в том, что частное степеней синуса и косинуса — это частный случай их произведения: когда тригонометрическая функция находится в знаменателе подынтегрального выражения, её степень — отрицательная. Но бывают и случаи частного тригонометрических функций, когда их степени — только чётные. О них — следующем абзаце.
Если же оба показателя m и n – чётные, то, используя тригонометрические формулы
понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше. Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме. Если же один из чётных показателей — отрицательный, то есть рассматривается частное чётных степеней синуса и косинуса, то данная схема не годится. Тогда используется замена переменной в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральное выражение. Такой случай будет рассмотрен в следующем параграфе.
Пример 4. Найти интеграл от тригонометрической функции
Решение. Показатель степени косинуса – нечётный. Поэтому представим 
и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx ). Тогда получим
Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём
Пример 5. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Показатель степени косинуса, как и в предыдущем примере – нечётный, но больше. Представим 
и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos x dx ). Тогда получим
и получим
Возвращаясь к старой переменной, получаем решение
Пример 6. Найти интеграл от тригонометрической функции
Решение. Показатели степени синуса и косинуса – чётные. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию так:
Во втором интеграле произведём замену переменной, полагая t = sin2x . Тогда (1/2)dt = cos2x dx . Следовательно,
Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 7. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Использование метода замены переменой
Метод замены переменной при интегировании тригонометрических функций можно применять в случаях, когда в подынтегральном выражении присутствует только синус или только косинус, произведение синуса и косинуса, в котором или синус или косинус — в первой степени, тангенс или котангенс, а также частное чётных степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента. При этом можно производить перестановки не только sinx = t и sinx = t , но и tgx = t и ctgx = t .
Пример 8. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной: 
, тогда 
. Получившееся подынтегральное выражение легко интегрируется по таблице интегралов:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
Пример 9. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Преобразуем тангенс в отношение синуса и косинуса:
.
Произведём замену переменной: 
, тогда 
. Получившееся подынтегральное выражение представляет собой табличный интеграл со знаком минус:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Пример 10. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной: 
, тогда 
.
Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить тригонометрическое тождество 
:
Производим замену переменной, не забывая перед интегралом поставить знак минус (смотрите выше, чему равно dt ). Далее раскладываем подынтегральное выражение на множители и интегрируем по таблице:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 11. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Универсальную тригонометрическую подстановку можно применять в случаях, когда подынтегральное выражение не подпадает под случаи, разобранные в предыдущих параграфах. В основном, когда синус или косинус (или и то, и другое) находятся в знаменателе дроби. Доказано, что синус и косинус можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла следующим образом:
где 
.
Тогда 
.
Но заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка часто влечёт за собой довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому её лучше применять, когда никакой другой метод не работает. Разберём примеры, когда вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются подведение под знак дифференциала и метод неопределённых коэффициентов.
Пример 12. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда 
.
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на 
, а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда
Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 2. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим
К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 13. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда 
.
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда
.
Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 3. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим
К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 14. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
Используем метод неопределённых коэффициентов. Получим следующее подынтегральное выражение:
Чтобы найти коэффициенты, решим систему уравнений:
Используем подведение под знак дифференциала:
К последнему слагаемому применяем замену переменной 
, тогда 
. Получаем:
Преобразуем и вернём на место первоначальную переменную и окончательно получим решение:
Решение
Перепишите подынтегральное выражение:
Перепишите подынтегральное выражение:
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Перепишите подынтегральное выражение:
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Тогда пусть и подставим :
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл от косинуса есть синус:
Таким образом, результат будет:
Если сейчас заменить ещё в:
Таким образом, результат будет:
Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
Таким образом, результат будет:
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Тогда пусть и подставим :
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Интеграл от косинуса есть синус:
Таким образом, результат будет:
Если сейчас заменить ещё в:
Таким образом, результат будет:
Интеграл от константы есть эта константа, умноженная на переменную интегрирования:
В данном разделе мы рассмотрим (8) специальных классов интегралов от тригонометрических функций. Для каждого класса применяются определенные преобразования и подстановки, позволяющие получить аналитическое решение.
Если степень косинуса (n) — нечетная (при этом степень синуса (m) может быть любой), то используется подстановка (u = sin x;)
Если степень синуса (m) — нечетная, то используется подстановка (u = cos x;)
Если степени (m) и (n) — четные, то сначала применяются формулы двойного угла [ <sin 2x = 2sin xcos x,>;; <cos 2x = <cos^2>x — <sin ^2>x > = <1 — 2,<sin ^2>x > = <2,<cos ^2>x — 1,> ] чтобы понизить степень синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).
Если степень секанса (n) — четная, то c помощью соотношения (1 + < an ^2>x = <sec ^2>x) секанс выражается через тангенс. При этом множитель (<sec ^2>x) отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию ( an x.)
Если обе степени (n) и (m) — нечетные, то отделяется множитель (sec x an x,) необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через (sec x.)
Если степень секанса (n) — нечетная, а степень тангенса (m) — четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы (1 + < an ^2>x = <sec ^2>x.) Затем вычисляются интегралы от секанса.
Если степень косеканса (n) — четная, то c помощью соотношения (1 + <cot^2>x = <csc ^2>x) косеканс выражается через котангенс. При этом множитель (<csc^2>x) отделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через (cot x.)
Если обе степени (n) и (m) — нечетные, то отделяется множитель (cot x csc x,) необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через (csc x.)
Если степень косеканса (n) — нечетная, а степень котангенса (m) — четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы (1 + <cot^2>x = <csc ^2>x.) Затем вычисляются интегралы от косеканса.