Введите функцию, для которой необходимо вычислить интеграл
После вычисления неопределённого интеграла, вы сможете получить бесплатно ПОДРОБНОЕ решение введённого вами интеграла.
Найдем решение неопределенного интеграла от функции f(x)
(первообразную функции).
Примеры
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
С применением синуса и косинуса
Гиберболические синус и косинус
Гиберболические тангенс и котангенс
Гиберболические арксинус и арккосинус
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
Правила ввода выражений и функций
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Производная неопределенного интеграла. Первая основная теорема математического анализа
Сейчас мы обсудим удивительную взаимосвязь, которая существует между интегрированием и дифференцированием. Связь между этими двумя действиями аналогична в какой-то мере связи между операциями возведения в квадрат и извлечения квадратного корня. Если мы возведем положительное число в квадрат и затем возьмем положительное значение квадратного корня, то в результате опять получим исходное число. Аналогичным образом, если мы возьмем неопределенный интеграл от некоторой непрерывной функции f, мы получим новую функцию, производная которой даст нам опять исходную функцию f. Например, если f(x) = x 2 , то неопределенный интеграл A(x) определяется следующим образом
$A(x)=intlimits_c^x f(t) dt = intlimits_c^x t^2 dt = frac <3>- frac<3>,$
где c — константа интегрирования. Дифференцируя эту функцию, мы получаем A'(x) = x 2 = f(x). Этот пример — хорошая иллюстрация важной теоремы, лежащей в основе математического анализа. Она формулируется следующим образом:
Теорема о производной интеграла по верхнему пределу
Пусть функция f интегрируема на [a, x] для любого x на промежутке [a, b]. Пусть c удовлетворяет условию a ≤ c ≤ b . Определим новую функцию A следующим образом:
$A(x)=intlimits_c^x f(t) dt, qquad qquad a leq x leq b$
Тогда A'(x) существует в каждой точке x из открытого интервала (a, b), где f непрерывна, и для таких x мы имеем
(5.1) A'(x) = f(x).
Сначала приведем геометрическую иллюстрацию истинности этой теоремы, а затем проведем строгое аналитическое доказательство.
Геометрическая иллюстрация. На рисунке 5.1 изображен график функции f на промежутке [a, b]. Здесь h положительно, и
$intlimits_x^ f(t) dt = intlimits_c^ f(t) dt — intlimits_c^x f(t) dt = A(x+h) — A(x)$
Здесь функция непрерывна на интервале [x, x + h]. Следовательно, по теореме о среднем значении для интегралов, получим
A(x + h) — A(x) = hf(Z), где x ≤ z ≤ x + h.
Следовательно,
(5.2) [A(x + h) — A(x)]/h = f(z),
Поскольку x ≤ z ≤ x + h, получаем, что f(z) → f(x) когда h → 0 для всех положительных значений. Аналогичные рассуждения справедливы, если h → 0 для всех отрицательных значений. Следовательно, A'(x) существует и равно f (x).
Эти рассуждения предполагали, что функция f непрерывна в некоторой окрестности точки x. Однако формулировка теоремы требует непрерывности только в точке x. Следовательно, для доказательства теоремы при этом, более слабом, условии, мы должны использовать иной метод.
Аналитическое доказательство. Пусть функция непрерывна в точке x. В этой точке определим следующее выражение
[A(x + h) — A(x)]/h
Для доказательства теоремы необходимо доказать, что это выражение стремится к пределу f(x), когда h → 0. Числитель этого выражения имеет вид:
$A(x+h) — A(x) = intlimits_c^ f(t) dt — intlimits_c^x f(t) dt = intlimits_x^ f(t) dt.$
Если в последний интеграл подставить выражение f(t) =f(x) + [f(t) -f(x)] , получаем
откуда находим
(5.3) $frac
Следовательно, для завершения доказательства (5.1) нужно доказать, что
$limlimits_ frac<1>
Эта часть доказательства использует условие непрерывности в точке x.
Обозначим второе слагаемое в правой части (5.3) через G(h). Необходимо доказать, что G(h) -f 0 когда h —f 0. Используя определение предела, мы должны показать, что для дюбого ε > 0 существует δ > 0 такое, что
(5.4) |G(h)| n + 1 )/(n + 1)
имеет производную P'(x) = x n , если n — любое неотрицательное целое число. Поскольку это справедливо для всех действительных x, используем (5.8), чтобы записать
$int limits_a^b x^n dx = P(b) — P(a) = frac-a^>$
для всех интервалов [a, b]. Эта формула, доказанная для всех целых n ≥ 0, также справедлива для всех отрицательных целых значений, кроме n = -1. Это значение исключается, поскольку n + 1 расположено в знаменателе. Чтобы доказать (5.9) для отрицательных n, достаточно показать, что из (5.10) следует P'(x) = xn, когда n отрицательно и не равно — 1. Это легко подтверждается дифференцированием P как степенной функции. Безусловно, когда n отрицательно, и P(x), и P'(x) не определены при x = 0, и когда мы используем (5.9) для отрицательных n, важно исключить те интервалы [a, b], которые содержат точку x = 0.
Результат из примера 3 в главе 4.5 позволяет распространить (5.9) на все рациональные показатели степени (кроме -l) с условием, что подынтегральная функция определена везде на рассматриваемом интервале [a, b]. Например, если 0 c для любого действительного показателя c. Мы покажем, что эта функция имеет производную f'(x) = cx c — 1 и первообразную P(x) = x c + 1 /(с + 1)б если c ≠ — 1. Это позволит нам распространить (5.9) на все действительные показатели, кроме — 1.
Отметим, что мы не можем получить P'(x) = 1/x дифференцированием функции вида P(x) = x n . Тем не менее, существует функция P, производная которой P'(x) = 1/x. Чтобы найти такую функцию, мы должны записать соответствующий неопределенный интеграл, например
$P(x) = int limits_x^c frac<1>
Этот интеграл существует, поскольку подынтегральная функция монотонна. Функция, определенная таким образом, называется логарифмом или, точнее, натуральным логарифмом. Ее свойства подробно рассмотрены в главе 6.
ПРИМЕР 2. Интегрирование функций синуса и косинуса. Поскольку производной синуса является косинус, а производной косинуса — синус со знаком "-", вторая теорема дает нам следующее:
$int limits_a^b cos x dx = sin x |_a^b = sin b — sin a \ int limits_a^b sin x dx = (-cos x) |_a^b = cos a — cos b$
Эти формулы также были доказаны непосредственно из определения интеграла. Примеры формул интегрирования можно также получить из примеров 1 и 2 определением конечных сумм членов вида Ax’“, B sin x, C COS x, где A, B, C — константы.
5.4 Свойства функций, выведенные из свойств их производных
Если функция f имеет непрерывную производную f’ на открытом интервале Z, формула Ньютона-Лейбница говорит, что
(5.11) $f(x) = f(c) + int limits_c^x f'(t) dt$
для любых точек x и c в Z. Эта формула, выражающая f через ее производную f’, позволяет нам вывести свойства функции из свойств ее производной. Хотя следующие свойства и обсуждались ранее в главе 4, интересно видеть, что их можно получить как простое следствие уравнения (5.11).
Пусть функция f’ непрерывна и неотрицательна на I. Если x > c, то $int limits_c^x f'(t) dt geq 0$ и, следовательно, f(x) ≥ f(c). Другими словами, если производная непрерывна и неотрицательна на Z, то функция возрастает на Z.
В теореме 2.9 мы доказали, что неопределенный интеграл от возрастающей функции является выпуклым. Следовательно, если f’ непрерывна и возрастает на I, уравнение (5.11) доказывает, что f — выпуклая на Z. Аналогично, f будет вогнутой на тех интервалах, где f’ непрерывна и убывает.
Упражнения
В каждом из упражнений 1-10 найдите первообразную для f; то есть, найдите функцию P такую, что P'(x) = f(x), и используйте формулу Ньютона-Лейбница, чтобы оценить $int limits_a^b f'(x) dx$
1. f(x) = 5x 3 . 6. f(x) = √ 2x + √ x/2 , x > 0.
2. f(x) = 4x 4 — 12x. 7. f(x) = [2x 2 — 6x + 7]/2√ 2x , x > 0.
3. f(x) = (x + 1)(x 3 — 2). 8. f(x) = 2x 1/3 — x -1/3 , x > 0.
4. f(x) =[x 4 +x — 3]/x 3 , x ≠ 0. 9. f(x) = 3sinx + 2x 5 .
5. f(x) = (1 + √ x ) 2 , x > 0. 10. f(x) = x 4/3 — 5cosx.
11. Докажите, что не существует полинома f, производная которого дается формулой f'(x) = 1/x.
12. Покажите, что $int limits_0^x |t| dt = frac<1> <2>x |x|$ для всех действительных х.
13. Покажите, что
$int limits_0^x (t + |t|)^2 dt = frac<2x^2> <3>(x + |x|)$ для всех действительных x.
14. Функция f непрерывна везде и удовлетворяет уравнению
$int limits_0^x f(t) dt = -frac<1> <2>+ x^2 + xsin 2x + frac<1> <2>cos 2x$
для всех x. Вычислите f(π/4) и f'(π/4).
15. Найдите функцию f и значение константы c такие, что
$int limits_c^x f(t) dt = cos x — frac<1><2>$ для всех действительных x.
16. Найдите функцию f и значение константы c такие, что
$int limits_c^x tf(t) dt = sin x — xcos x — frac<1><2>x^2$ для всех действительных x.
17. Пусть функция f непрерывна, определена на всех действительных x, и удовлетворяет уравнению
$int limits_0^x f(t) dt = int limits_x^1 t^2f(t) dt + frac<16>> <8>+ frac<18>> <9>+c$
где c — константа. Найдите явную формулу для f (x) и значение константы c.
18. Функция f определена для всех действительных x по формуле
$f(x) = 3 + int limits_0^1 frac<1 + sin t> <2 + t^2>dt$
Без вычисления интеграла найдите квадратичный полином p(x) = a + bx + cx 2 такой, что p(0) = f(0), p'(0) =f'(0), и p»(0) =f»(0).
19. Дана функция g непрерывная везде и такая, что g( 1) = 5 и $int limits_0^1 g(t) dt = 2$. Пусть f(x) = $frac<1> <2>int limits_0^x (x-t)^2 g(t) dt$. Докажите,что
$f'(x) = x int limits_0^x g(t) dt — int limits_0^x tg(t) dt$
и вычислите f»( 1) и f»'( 1).
20. Без вычисления следующих неопределенных интегралов найдите производную f'(x), если f(x) равна
$int limits_0^ (1+t^2)^ <-3> dt$.
21. Без вычисления интеграла найдите f'(x), если f задана формулой
$f(X) = int limits_^ frac <1+t^4>dt$
22. Вычислите f(2), если f непрерывна и удовлетворяет следующему условию для всех x ≥ 0:
$int limits_0^ t^2 dt = x^2 (1+x)$
23. Основание твердого тела — множество ординат неотрицательной функции f’ на интервале [0, a]. Все поперечные сечения, перпендикулярные этому интервалу — квадраты. Объем этого тела равен
a 3 — 2acosa + (2 — a 2 )sina
для любого a ≥ 0. Предположите, что f непрерывна на [0, a], и вычислите f(a).
24. Механизм толкает частицу вдоль прямой линии. Он устроен так, что смещение частицы в момент времени t относительно начальной точки 0 на линии выражается формулой f(t) = t 2 /2 + 2tsint. Механизм работал идеально до момента времени t = π , когда случилась поломка. После этого частица движется с постоянной скоростью (ее скоростью в момент времени t = π). Вычислите следующее: (a) ее скорость в момент времени t = π; (b) ее ускорение в момент времени t = π/2; (c) ее ускорение в момент времени t = 3π/2; (d) ее перемещение от 0 до t = 5π/2. (e) Найдите то время t > π, когда частица вернется в начальную точку 0, или докажите, что она никогда не вернется в 0.
25. Частица движется вдоль прямой линии. Ее координата задается функцией f(t). Когда 0 ≤ t ≤ 1, ее координата дается интегралом
$f(t) = int limits_0^t frac<1+2sin XX cos pi x> <1+x^2>dx$
(не пытайтесь вычислить этот интеграл.) Когда t ≤ 1,частица движется с постоянным ускорением (ее ускорением на момент времени t = 1). Вычислите следующее: (a) ее ускорение в момент времени t = 2; (b) ее скорость в момент времени t = 1; (c) ее скорость для t > 1; (d) разность f(t) -f(l), когда t > 1.
26. Для каждого варианта найдите функцию f с непрерывной второй производной f», которая удовлетворяет всем заданным условиям, или покажите, почему такая функция не существует:
(a) f»(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f'(1) = 0.
(b) f»(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f'( 1) = 3.
(c) f»(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f(x) ≤ 100 для всех x > 0.
(d) f»(x) > 0 для любого x, f'(0) = 1, f(x) ≤ 100 для всех x
За 4 минуты вы узнаете, что такое интегрирование. Как интеграл связан с производными. Чем отличается определенный интеграл от неопределенного. 5 примеров вычисления интегралов
Почему вы не знаете, как решать интегралы
А для чего нужны интегралы? Попробуйте сами себе ответить на этот вопрос.
Объясняя тему интегралов, учителя перечисляют малополезные школьным умам области применения. Среди них:
- вычисление площади фигуры.
- вычисление массы тела с неравномерной плотностью.
- определение пройденного пути при движении с непостоянной скоростью.
- и др.
Связать все эти процессы не всегда получается, поэтому многие ученики путаются, даже при наличии всех базовых знаний для понимания интеграла.
Главная причина незнания – отсутствие понимания практической значимости интегралов.
Интеграл – что это?
Предпосылки. Потребность в интегрировании возникла в Древней Греции. В то время Архимед начал применять для нахождения площади окружности методы, похожие по сути на современные интегральные исчисления. Основным подходом для определения площади неровных фигур тогда был «Метод исчерпывания», который достаточно лёгок для понимания.
Суть метода. В данную фигуру вписывается монотонная последовательность других фигур, а затем вычисляется предел последовательности их площадей. Этот предел и принимался за площадь данной фигуры.
Метод исчерпывания для определения площади круга
В этом методе легко прослеживается идея интегрального исчисления, которая заключается в нахождении предела бесконечной суммы. В дальнейшем эта идея применялась учёными для решения прикладных задач астронавтики, экономики, механики и др.
Современный интеграл. Классическая теория интегрирования была сформулирована в общем виде Ньютоном и Лейбницем. Она опиралась на существовавшие тогда законы дифференциального исчисления. Для её понимания, необходимо иметь некоторые базовые знания, которые помогут математическим языком описать визуальные и интуитивные представления об интегралах.
Объясняем понятие «Интеграл»
Процесс нахождения производной называется дифференцированием, а нахождение первообразной – интегрированием.
Интеграл математическим языком – это первообразная функции (то, что было до производной) + константа «C».
Интеграл простыми словами – это площадь криволинейной фигуры. Неопределенный интеграл – вся площадь. Определенный интеграл – площадь в заданном участке.
Интеграл записывается так:
Каждая подынтегральная функция умножается на компонент «dx». Он показывает, по какой переменной осуществляется интегрирование. «dx» – это приращение аргумента. Вместо X может быть любой другой аргумент, например t (время).
Неопределённый интеграл
Неопределенный интеграл не имеет границ интегрирования.
Для решения неопределённых интегралов достаточно найти первообразную подынтегральной функции и прибавить к ней «C».
Определённый интеграл
В определенном интеграле на знаке интегрирования пишут ограничения «a» и «b». Они указаны на оси X в графике ниже.
Точки A и B на оси X – есть ограничение зоны определения интеграла
Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную, подставить в неё значения «a» и «b» и найти разность. В математике это называется формулой Ньютона-Лейбница:
Таблица интегралов для студентов (основные формулы)
Скачайте формулы интегралов, они вам еще пригодятся
Как вычислять интеграл правильно
Существует несколько простейших операций для преобразования интегралов. Вот основные из них:
Вынесение константы из-под знака интеграла
Разложение интеграла суммы на сумму интегралов
Если поменять местами a и b, знак изменится
Можно разбить интеграл на промежутки следующим образом
Это простейшие свойства, на основе которых потом будут формулироваться более сложные теоремы и методы исчисления.
Примеры вычисления интегралов
Решение неопределенного интеграла
Решение определенного интеграла
Базовые понятия для понимания темы
Чтобы вы поняли суть интегрирования и не закрыли страницу от непонимания, мы объясним ряд базовых понятий. Что такое функция, производная, предел и первообразная.
Функция – правило, по которому все элементы из одного множества соотносятся со всеми элементами из другого.
Производная – функция, описывающая скорость изменения другой функции в каждой конкретной точке. Если говорить строгим языком, – это предел отношения приращения функции к приращению аргумента. Он вычисляется вручную, но проще использовать таблицу производных, в которой собрано большинство стандартных функций.
Приращение – количественное изменение функции при некотором изменении аргумента.
Предел – величина, к которой стремиться значение функции, при стремлении аргумента к определённому значению.
Пример предела: допустим при X равном 1, Y будет равно 2. Но что, если X не равен 1, а стремится к 1, то есть никогда её не достигает? В этом случае y никогда не достигнет 2, а будет только стремиться к этой величине. На математическом языке это записывается так: limY(X), при X –> 1 = 2. Читается: предел функции Y(X), при x стремящемся к 1, равен 2.
Как уже было сказано, производная – это функция, описывающая другую функцию. Изначальная функция может быть производной для какой-либо другой функции. Эта другая функция называется первообразной.
Заключение
Найти интегралы не трудно. Если вы не поняли, как это делать, прочитайте статью еще раз. Со второго раза становится понятнее. Запомните! Решение интегралов сводится к простым преобразованиям подынтегральной функции и поиска её в таблице интегралов.
Если текстовое объяснение вам не заходит, посмотрите видео о смысле интеграла и производной: