Интеграл от экспоненциальной функции
(largeint
ormalsize <dx> = + C)
Интеграл от показательной функции
(largeint
ormalsize <dx> = largefrac<<>><<ln a>>
ormalsize + C,;;a > 0.)
(largeint
ormalsize
ormalsizeleft(
ight) + C,;;a
e 0.)
Интеграл от натурального логарифма
(largeint
ormalsize <ln x,dx>= xln x — x + C)
Главные интегралы, которые должен знать каждый студент
Перечисленные интегралы — это базис, основа основ. Данные формулы, безусловно, следует запомнить. При вычислении более сложных интегралов вам придется постоянно ими пользоваться.
Обратите особое внимание на формулы (5), (7), (9), (12), (13), (17) и (19). Не забывайте при интегрировании добавлять к ответу произвольную постоянную С!
Интеграл от константы
Интегрирование степенной функции
В действительности, можно было ограничиться только формулами (5) и (7), но остальные интегралы из этой группы встречаются настолько часто, что стоит уделить им немного внимания.
∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | + C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C ( n ≠ − 1 ) (7)
Интегралы от показательной функции и от гиперболических функций
Разумеется, формулу (8) (пожалуй, самую удобную для запоминания) можно рассматривать как частный случай формулы (9). Формулы (10) и (11) для интегралов от гиперболического синуса и гиперболического косинуса легко выводятся из формулы (8), но лучше просто запомнить эти соотношения.
∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C ( a > 0, a ≠ 1 ) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)
Базовые интегралы от тригонометрических функций
Ошибка, которую часто делают студенты: путают знаки в формулах (12) и (13). Запомнив, что производная синуса равна косинусу, многие почему-то считают, что интеграл от функции sinx равен сosx. Это неверно! Интеграл от синуса равен "минус косинусу", а вот интеграл от cosx равен "просто синусу":
∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)
Интегралы, сводящиеся к обратным тригонометрическим функциям
Формула (16), приводящая к арктангенсу, естественно, является частным случаем формулы (17) при a=1. Аналогично, (18) — частный случай (19).
∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C ( a ≠ 0 ) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C ( a > 0 ) (19)
Более сложные интегралы
Данные формулы тоже желательно запомнить. Они также используются достаточно часто, а их вывод довольно утомителен.
∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C ( a > 0 ) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C ( a > 0 ) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C ( a > 0 ) (24)
Общие правила интегрирования
1) Интеграл от суммы двух функций равен сумме соответствующих интегралов: ∫ ( f ( x ) + g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x + ∫ g ( x ) d x (25)
2) Интеграл от разности двух функций равен разности соответствующих интегралов: ∫ ( f ( x ) − g ( x ) ) d x = ∫ f ( x ) d x − ∫ g ( x ) d x (26)
3) Константу можно выносить за знак интеграла: ∫ C f ( x ) d x = C ∫ f ( x ) d x (27)
Легко заметить, что свойство (26) — это просто комбинация свойств (25) и (27).
4) Интеграл от сложной функции, если внутренняя функция является линейной: ∫ f ( A x + B ) d x = 1 A F ( A x + B ) + C ( A ≠ 0 ) (28)
Здесь F(x) — первообразная для функции f(x). Обратите внимание: эта формула подходит только для случая, когда внутренняя функция имеет вид Ax + B.
Важно: не существует универсальной формулы для интеграла от произведения двух функций, а также для интеграла от дроби:
∫ f ( x ) g ( x ) d x = ? ∫ f ( x ) g ( x ) d x = ? (30)
Это не означает, конечно, что дробь или произведение нельзя проинтегрировать. Просто каждый раз, увидев интеграл типа (30), вам придется изобретать способ "борьбы" с ним. В каких-то случаях вам поможет интегрирование по частям, где-то придется сделать замену переменной, а иногда помощь могут оказать даже "школьные" формулы алгебры или тригонометрии.
Простой пример на вычисление неопределенного интеграла
Воспользуемся формулами (25) и (26) (интеграл от суммы или разности функций равен сумме или разности соответствующих интегралов. Получаем: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x
Вспомним, что константу можно выносить за знак интеграла (формула (27)). Выражение преобразуется к виду
3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x
А теперь просто воспользуемся таблицей основных интегралов. Нам потребуется применить формулы (3), (12), (8) и (1). Проинтегрируем степенную функцию, синус, экспоненту и константу 1. Не забудем добавить в конце произвольную постоянную С:
3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
После элементарных преобразований получаем окончательный ответ:
x 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C
Проверьте себя дифференцированием: возьмите производную от полученной функции и убедитесь, что она равна исходному подинтегральному выражению.
Сводная таблица интегралов
| ∫ A d x = A x + C |
| ∫ x d x = x 2 2 + C |
| ∫ x 2 d x = x 3 3 + C |
| ∫ 1 x d x = 2 x + C |
| ∫ 1 x d x = ln | x | + C |
| ∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C |
| ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C ( n ≠ − 1 ) |
| ∫ e x d x = e x + C |
| ∫ a x d x = a x ln a + C ( a > 0, a ≠ 1 ) |
| ∫ s h x d x = c h x + C |
| ∫ c h x d x = s h x + C |
| ∫ sin x d x = − cos x + C |
| ∫ cos x d x = sin x + C |
| ∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C |
| ∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C |
| ∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C |
| ∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C ( a ≠ 0 ) |
| ∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C |
| ∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C ( a > 0 ) |
| ∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | + C |
| ∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | + C |
| ∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C ( a > 0 ) |
| ∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C ( a > 0 ) |
| ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C ( a > 0 ) |
Скачайте таблицу интегралов (часть I) по этой ссылке
Скачайте таблицу интегралов (часть II) по этой ссылке
Если Вы учитесь в ВУЗе, если у Вас возникли сложности с высшей математикой (математический анализ, линейная алгебра, теория вероятностей, статистика), если Вам нужны услуги квалифицированного преподавателя, зайдите на страничку репетитора по высшей математике. Будем решать Ваши проблемы вместе!
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
Мы умеем дифференцировать показательную и логарифмическую функции, если основание – число 
. Исходной для нас является следующая формула:
Дано: 
Доказать: При любом допустимом основании а
Вспомним основное логарифмическое тождество
.
Обратим внимание, что основание и у показательной, и у логарифмической функций здесь
С помощью предыдущего соотношения дифференцируем, находим производную сложной функции:
Что и требовалось доказать.
Прокомментируем формулу 
Чтобы найти производную показательной функции, надо саму показательную функцию умножить на натуральный логарифм ее основания.
Итак, мы умеем находить производную показательной функции с любым допустимым основанием . Если мы это умеем делать, значит, мы умеем решать все стандартные задачи на производную.
Пример 1
Дано:
Найти: Производную в конкретной точке 
У нас есть методика. Действуем по ней. Найдем производную в любой точке. То есть продифференцируем 
Теперь осталось подставить 
Ответ:
Аналогично решается вторая задача:
Пример 2
Дано:
Найти: Производную в конкретной точке
Решение. Продифференцируем 
Подставим 
Ответ:
Интегрирование показательной функции
Далее нам следует научиться интегрировать показательную функцию.
Рассмотрим формулу 
произвольная постоянная.
Почему? По определению.
Производная правой части должна быть равна 
Проверим эту формулу. То есть возьмем производную правой части и докажем, что она равна функции под интегралом.
Что и требовалось доказать.
Итак, мы умеем дифференцировать показательную функцию. Значит, мы умеем решать стандартные задачи на первообразную этой функции. Вот одна из стандартных задач:
Пример 3
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
Речи идет о такой площади криволинейной трапеции: рис. 1.
Рис. 1. Площадь криволинейной трапеции
По формуле Ньютона-Лейбница эта площадь равна:
Ответ:
Дифференцирование логарифмической функции
Мы рассмотрели дифференцирование показательной функции. Теперь рассмотрим дифференцирование логарифмической функции. А именно докажем формулу:
При любом допустимом основании 
справедлива формула
Будем использовать формулу 
Вспомним, как можно и нужно переходить к новому основанию 
:
Так вот, в нашем случае 
.
Что и требовалось доказать.
Мы умеем находить производную логарифмической функции при любом допустимом основании :
Следовательно, мы умеем решать стандартные задачи с использованием этой формулы. Вот одна из этих задач:
Пример 4
Дано: Логарифмическая функция 
Найти: 
Решение находим по стандартной методике.
Первое действие. Находим производную в любой точке 
:
Второе действие. Находим производную в заданной точке 
:
Ответ:
Докажем или проверим следующую важную формулу:
Особенности формулы: в знаменателе в первой степени.
Интегрирование функции
Раскрываем модуль как положено, рассматриваем два случая:
Под модулем стоит положительное число
Производная правой части:
Аналогично доказывается формула во втором случае:
Под модулем стоит отрицательное число
Производная правой части:
Рассмотрим одну из типовых задач на доказанную формулу.
Пример 5
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
.
На рисунке показана искомая площадь:
Рис. 2. Площадь фигуры, ограниченной линиями
По формуле Ньютона-Лейбница эта площадь равна:
Ответ:
Итак, мы научились дифференцировать логарифмическую и показательную функции. На следующем уроке мы перейдем к изучению теории равносильности уравнений.
Список рекомендованной литературы
- Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
- Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
Рекомендованное домашнее задание
- Найти производную функции
Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.
