Запишем с пом. цифр 3 и 5 четыре двузначных числа: 35, 53, 33 и 55. Несмотря на то что числа 35 и 53 записаны с помощью одних и тех же цифр, эти числа различные. В том случае, когда важен порядок следования элементов, в математике говорят об упорядоченных наборах элементов. В рассмотренном примере мы имели дело с упорядоченными парами.
Упорядоченную пару, образованную из элементов а и Ь, принято записывать, используя круглые скобки: <а; Ь). Элемент а называют первой координатой (компонентой) пары, а элемент b второй координатой (компонентой) пары.
Определение. Декартовым произведением множеств А и В называется множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а вторая компонента принадлежит множеству В.
Декартово произведение множеств А и В обозначают А х В. Используя это обозначение, определение декартова произведения можно записать так:
АхВ= <(х; у) | х 
А и у В>.
Операцию нахождения декартова произведения множеств называют декартовым умножением.
Рассмотрим два одинаковых мн-ва А=<3,5>, тогда АхА=
Можно изобразить декартово произведение множеств :
1) при помощи графа или таблицы. Например, декартово произведение множеств А = <1, 2, 3>и В = <3,5>можно представить так, как показано на рисунке :
2) Декартово произведение двух числовых множеств (конечных и бесконечных) :
А) А = <1, 2, 3>и В= <3, 5>на координатной плоскости будет выглядеть так, как показано на рисунке:
Заметим, что элементы множества А мы изобразили на оси Ох, а элементы множества В — на оси Оу.
Декартово произведение представлено точками.
Решение, а) Так как множество А состоит из трех элементов, а множество В содержит все действительные числа от 3 до 5, включая и сами эти числа, то декартово произведение А х В будет состоять из бесконечного множества пар, первая компонента которых либо 1, либо 2, либо 3, а вторая -любое действительное число из промежутка [3, 5]. Такое множество пар действительных чисел на координатной плоскости изобразится тремя отрезками
В) бесконечны оба множества А=[1, 3] и В=[3, 5] тогда АхВ это все, что внутри квадрата, т.е. этот квадрат (его нужно заштриховать):
Г) А=RиВ=R,т.е. на мн-ве действительных чисел. То АхВ это вся координатная плоскость.
Д) А=R и В=[3, 5], то АхВ– полоса. (рис.)
Упражнения
1. Перечислите элементы декартова произведения А хВ, если:
2.Изобразите в прямоугольной системе координат множество Ах В, если:
2. Изобразите в прямоугольной системе координат декартово произведение множеств 
и 
, если
1) 
2) 
Введение в теорию множеств и комбинаторику
Практическая работа № 4. Декартовые произведения двух множеств
Вопросы к работе
1. Что такое «упорядоченная пара элементов»?
2. Что такое «декартовое произведение множеств А и B »?
3. Сколько элементов содержится в декартовом произведении А 
В , если | А | = n ,| B | = m ?
4. Можно ли менять местами компоненты пары, входящей в А 
В ?
5. Верно ли, что А 
В = В 
А ?
6. Что такое А 2 ?
7. Какова длина множества А 2 , если | А | = n ?
Образцы решения задач
Пример 1. Найдите A 
B , если А = <1; 2>, В = <1; 2; 3>.
Решение. А 
В = <(1; 1), (1; 2), (1; 3), (2; 1), (2; 2), (2; 3)>.
Пример 2. Найдите А 2 , если A = <1; 2>.
Решение. A 2 = A 
A = <(1; 1), (1; 2), (2; 1), (2; 2)>.
Пример 3. Запишите множество дробей K , числителем которых являются числа из множества A = <1; 2>, а знаменателем – числа из множества B = <3; 5>.
Решение. K = 
.
Пример 4. Изобразите на декартовой плоскости множество
M = [1; 2] 
]-1; 1].
Решение. Каждый элемент множества М представляет собой упорядоченную пару 
= ( x; y ), где x 
[1; 2], y 
]–1; 1], изображаемую на декартовой плоскости точкой A ( x , y ). Значит множество М на декартовой плоскости представляет собой множество точек, первая координата которых берется из [1; 2], а вторая – из ] –1; 1]. Тогда множество M можно представить как пересечение множеств M 1 – точек, у которых первая координата x 
[1; 2], и множеств M 2 – точек, у которых вторая координата y 
]–1; 1].
Пример 5. Докажите, что при любых множествах A , B , C (непустых): ( А 
В ) 
С = ( А 
С ) 
( В 
С ).
Решение. Обозначим ( А 
В ) 
С = М 1 ( А 
С ) 
( В 
С ) = М 2 .
Следовательно, нам надо доказать, что М 1 = М 2 .
Итак, мы доказали, что M 1 = M 2 , т. е. ( А 
В ) 
С = ( А 
С ) 
( В 
С ).
1. Дано уравнение 2 х – у = 3. Запишите несколько решений данного уравнения. Что представляет собой каждое решение? Является ли пара (4;5) решением данного уравнения?
2. Запишите множество дробей, числителем которых являются числа из множества A = <4; 5>, а знаменателем – числа из множества B = <3; 7; 9>.
3. Составьте A 
B и A 
B , если
4. 3апишите различные двузначные числа, используя цифры 1, 2, 3, 4. Сколько среди них таких, запись которых начинается с цифры 3? Переформулируйте эту задачу, используя понятие декартова произведения множеств.
5. Изобразите на декартовой плоскости следующие множества:
1) [0; 1] 
[0; 1]; 4) [0; 1] 
[2; + 
[;
2) [-1; 1] 
[2; 3]; 5) [1; 2] 
]- 
; + 
[;
3) [0; 1] 
]- 
; 3]; 6) [0; 2] 
<2; 3>.
6. Доказать, что при любых множествах А, В, С :
1) ( А 
В ) 
C = ( А 
С ) 
( В 
С );
2) ( А В ) 
С = ( А 
С ) ( В 
С ).
7. Докажите, что для любых множеств А, В, С, D верно:
( А 
В ) 
( С 
D ) = ( А 
С ) 
( В 
D ).
Верно ли аналогичное равенство для объединения множеств?
1. Проверьте равенство множеств, если A , B , C – непустые множества:
1) ( А В ) 
С = ( А 
С ) 
( 
);
2) А 
( В С ) = ( А 
В ) 
( 
);
3) ( А 
В ) 
С = ( А 
С ) 
;
4) А 
(В 
С) = (А 
В) ( 
);
5 ) (А 
В) 
С = (А 
С) 
;
6) А 
(В 
С) = (А 
В) 
;
7) (А 
В) 
С = (В 
С) 
;
8) А 
(В 
С) = (А 
С) 
;
9) 
С = 
;
10) А 
(В 
) = (А 
В) (А 
С) .
Задание для самоконтроля
1. Даны множества A = < а ; b >и B = < с; d >. Является ли множество C декартовым произведением множеств А и В , если
2. Даны множества A = < а; b; c >, В = < m; n >, С = < x; y;, z >.
Записать множества (А 
В) 
C и B 
(А 
С ).
Выясните, какие из следующих высказываний истинны, а какие ложны:
1) (( а; m ); x ) 
( А 
В) 
С;
2) ( b; ( m ; x )) 
В 
(А 
С) ;
3) ( A 
B ) 
С = В 
( А 
С ).
ID: 401844
Да знакомо, на к сожалению не совсем понятно
Гордиенко Андрей Владимирович 
Профессионал
ID: 17387
Запишите, пожалуйста, это определение здесь и сообщите, что в нём Вам непонятно.
Посетитель
ID: 401844
С этим я разбиралась, а как быть с выражением где имеется бесконечность, как она изображается? И в чем отличие круглых скобок от квадратных?
Гордиенко Андрей Владимирович
Профессионал
ID: 17387
Бесконечность не может быть изображена, но её можно вообразить. В частности, множество 
в данном случае — это множество всех точек оси абсцисс, расположенных левее точки 
Правая круглая скобка показывает, что точка 
множеству не принадлежит. Левая круглая скобка использована потому, что 
— это не число в собственном смысле, а символ. Ему не соответствует никакая конкретная точка. Известно только, что она расположена левее любого действительного числа, расположенного на горизонтальной числовой оси с положительным направлением вправо.
Каким учебником Вы пользуетесь?
Посетитель
ID: 401844
Виленкина Н.Я. и лекциями которые отправляет преподаватель
Гордиенко Андрей Владимирович
Профессионал