Вектор значений булевой функции

1) Задание булевой функции таблицей истинности. Так называется таблица, состоящая из двух частей: в левой части перечисляются все наборы значений аргументов (булевы векторы пространства B n ) в естественном порядке, то есть по возрастанию значений чисел, представляемых этими векторами, а в правой части – значения булевой функции на соответствующих наборах.

Пример. Рассмотрим булеву функцию трех аргументов, называемую мажоритарной (или функцией голосования): она принимает значение 1 на тех и только тех наборах, в которых единиц больше, чем нулей (major – больший).

Так как левая часть таблицы истинности постоянна для всех функций с одинаковым числом аргументов, несколько таких функций могут быть заданы общей таблицей.

Теорема о числе булевых функций. Число различных булевых функций, зависящих от n переменных, равно 2 2 n .

Доказательство. Каждая булева функция определяется своим столбцом значений. Столбец является булевым вектором длины m=2 n , где n – число аргументов функции. Число различных векторов длины m (а значит и число булевых функций, зависящих от n переменных) равно 2 m =2 2 n . •

2) Задание булевой функции характеристическими множествами. Так называются два множества:

M 1 _f, состоящее из всех наборов, на которых функция принимает значение 1, то есть M 1 _f = <α B n :f(α) = 1>;

M 0 _f, состоящее из всех наборов, на которых функция принимает значение 0, то есть M 0 _f = <α B n :f(α) = 0>.

Пример (мажоритарная функция).

3) Задание булевой функции вектором ее значений.

Пример (мажоритарная функция).

4) Задание булевой функции матрицей Грея. Булево пространство задается матрицей Грея, и наборы (клетки матрицы), на которых булева функция f(x₁, …, x_n) принимает значение 1, отмечаются и называются точками.

Пример (мажоритарная функция).

5) Интервальный способ задания булевой функции. Булеву функцию f(x₁, …, x_n) можно задать множеством интервалов I_f = ₁, I₂, …, I_k>, объединение которых образует характеристическое множество M 1 _f, то есть I₁ I₂… I_k = M 1 _f. Множество интервалов I_f называется достаточным для функции f(x₁, …, x_n).

Пример. Мажоритарная функция может быть задана достаточным множеством I_f = ₁, I₂, I₃> интервалов:

Здесь интервалы представлены троичными векторами и изображены на матрице Грея.

В отличие от предыдущих, интервальный способ задания функций многовариантен (одну и ту же булеву функцию можно представить разными множествами интервалов).

Пример. Зададим мажоритарную функцию другим достаточным множеством I’_f = ₁, I₂, I₃, I₄> интервалов:

Очевидно, что это множество интервалов избыточно: первый интервал (011) можно удалить.

Определение. Интервал назовем допустимым для булевой функции, если на всех его наборах функция равна 1.

Примеры. I₁= – 1 1 – допустимый интервал для мажоритарной функции, I₂= 1 0 – – не допустимый.

Определение. Интервал I назовем максимальным для булевой функции f(x₁, …, x_n), если он является допустимым для этой функции, и не существует другого допустимого интервала I’, такого что I I’.

Пример. I₁= –11 является максимальным интервалом для мажоритарной функции, а допустимый интервал I₂ = 111 не является максимальным, так как I₂ I₁.

Пример. Зададим мажоритарную функцию множеством I»_f = ₁ I₂, I₃> всех максимальных интервалов.

Определение. Точку булевой функции f(x₁, …, x_n) назовем ядерной, если она принадлежит ровно одному максимальному для этой функции интервалу. Максимальный интервал называется ядерным, если он содержит ядерную точку.

Пример. Для мажоритарной функции ядерными точками являются 011 (принадлежит только интервалу –11), 101 (принадлежит только интервалу 1 –1) и 110 (принадлежит только интервалу 11 –). Все максимальные интервалы этой функции являются ядерными. •

Очевидно, что все ядерные интервалы входят в любое достаточное множество функции, состоящее из максимальных интервалов.

6) Задание булевой функции формулами будет рассмотрено несколько позже.

Содержание

1 Понятие булевой функции

В курсе математического анализа изучаются функции, определённые на числовой прямой или на отрезке числовой прямой или на (гипер-) плоскости и т.п. Так или иначе область определения – непрерывное множество. В курсе дискретной математики изучаться должны функции, область определения которых – дискретное множество * . Простейшим (но нетривиальным) таким множеством является множество, состоящее из двух элементов. * Так мы и приходим к понятию булевой функции.

Определение 1 (Булева функция). Булевой функцией от n аргументов называется функция f из n -ой степени множества < 0, 1 >в множество < 0, 1 >.

Иначе говоря, булева функция – это функция, и аргументы и значение которой принадлежит множеству < 0, 1 >. Множество < 0, 1 >мы будем в дальнейшем обозначать через B .

Булеву функцию от n аргументов можно рассматривать как n -местную алгебраическую операцию на множестве B . При этом алгебра W >, где W – множество всевозможных булевых функций, называется алгеброй логики .

Конечность области определения функции имеет важное преимущество – такие функции можно задавать перечислением значений при различных значениях аргументов. Для того, чтобы задать значение функции от n переменных, надо определить значения для каждого из 2 n наборов. Эти значения записывают в таблицу в порядке соответствующих двоичных чисел. В результате получается таблица следующего вида:

Раз у нас есть стандартный порядок записывания наборов, то для того, чтобы задать функцию, нам достаточно выписать значения f (0,0. 0,0) , f (0,0. 0,1) , f (0,0. 1,0) , f (0,0. 1,1). f (1,1. 0,0) , f (1,1. 0,1) , f (1,1. 1,0) , f (1,1. 1,1). Этот набор называют вектором значений функции .

Таким образом, различных функций n переменных столько, сколько различных двоичных наборов длины 2 n * . А их 2 в степени 2 n .

Множество B содержит два элемента – их можно рассматривать как булевы функции от нуля (пустого множества) переменных – константу 0 и константу 1 .

Функций от одной переменной четыре: это константа 0, константа 1, тождественная функция , т.е. функция, значение которой совпадает с аргументом и так называемая функция « отрицание ». Отрицание будем обозначать символом ¬ как унарную операцию. Приведём таблицы этих четырёх функций:

Как видим, функции от некоторого числа переменных можно рассматривать как функции от большего числа переменных. При этом значения функции не меняется при изменении этих «добавочных» переменных. Такие переменные называются фиктивными , в отличие от остальных – существенных .

Определение 2 (Фиктивные и существенные переменные). Переменная x i называется фиктивной (несущественной) переменной функции f ( x 1 ,···,x n ), если f ( x 1 ,···,x i- 1 ,0 ,x i+ 1 ,···,x n ) = f ( x 1 ,···,x i- 1 ,1 ,x i+ 1 ,···,x n ) для любых значений x 1 ,···,x i- 1 ,x i+ 1 ,···,x n . Иначе переменная x i называется существенной .

Функций от двух аргументов шестнадцать. Наиболее употребимые из этих функций (только те, которые существенно зависят от обеих переменных) мы приводим в следующей таблице:

Эти функции записываются как бинарные операции в инфиксной нотации. x 1 & x 2 называется конъюнкцией , x 1 Ъ x 2 – дизъюнкцией , x 1 Й x 2 – импликацией , x 1 є x 2 – эквивалентностью , x 1 Е x 2 – суммой по модулю 2 , x 1 | x 2 – штрихом Шеффера .

Значения 0 и 1 часто интерпретируют как «ложь» и «истину». Тогда понятным становится название функции «отрицание» – она меняет «ложь» на «истину», а «истину» на «ложь». Отрицание читается как «не». Конъюнкция читается обычно как «и» – действительно, конъюнкция равна 1 тогда и только тогда, когда равны 1 и первая и вторая переменная. * Кроме x 1 & x 2 часто используют обозначение x 1 Щ x 2 или x 1 · x 2 или x 1 x 2 или min( x 1 ,x 2 ). Дизъюнкция читается «или» – дизъюнкция равна 1 тогда и только тогда, когда равны 1 первая или вторая переменная. * Импликация выражает факт, что из x 1 следует x 2 . * Импликацию часто также обозначают x 1 ® x 2 .

2 Суперпозиция функций

Определение 3 (Суперпозиция функций). Суперпозицией булевых функций f 0 и f 1 . f n называется функция f ( x 1 . x m ) = f 0 ( g 1 ( x 1 . x m ) . g k ( x 1 . x m )), где каждая из функций g i ( x 1 , . x m ) либо совпадает с одной из переменных (тождественная функция), либо – с одной из функций f 1 . f n .

Пример 1 (суперпозиция функций).

Функция f ( x,y ) = ¬ ( x & y ) является суперпозицией функций ¬ и &. Функция g ( x,y ) = x Е ( x Ъ y ) является суперпозицией функций Е и Ъ . Функция h ( x,y,z ) = ( x & y ) Е z является суперпозицией функций Е и &. Построим таблицы этих функций.

Суперпозицию ( x & y ) Е ( ¬x Ъ ¬y ) можно прочитать как « x и y плюс не x или не y ».

Следующие соотношения могут быть проверены прямым сравнением значений функций в левой и правой части соотношения на всевозможных наборах аргументов.

1. x & y = y & x
2. x Ъ y = y Ъ x
3. x Е y = y Е x
4. x & ( y & z ) = ( x & y ) & z
5. x Ъ ( y Ъ z ) = ( x Ъ y ) Ъ z
6. x Е ( y Е z ) = ( x Е y ) Е z
7. x Ъ ( y & z ) = ( x Ъ y ) & ( x Ъ z )
8. x & ( y Ъ z ) = ( x & y ) Ъ ( x & z )
9. ¬¬x = x
10. ¬ ( x & y ) = ¬x Ъ ¬y
11. ¬ ( x Ъ y ) = ¬x & ¬y
12. x & x = x
13. x & ¬x = 0
14. x & 0 = 0
15. x & 1 = x
16. x Ъ x = x
17. x Ъ ¬x = 1
18. x Ъ 0 = x
19. x Ъ 1 = 1
20. x Е y = ( x & ¬y ) Ъ ( ¬x & y )
21. x Й y = ¬x Ъ y
22. x є y = ( x & y ) Ъ ( ¬x & ¬y )

3 Двойственные функции

Определение 4 (Двойственная функция). Функция g ( x 1 . x n ) = ¬f ( ¬x 1 . ¬x n ) называется двойственной функцией к функции f и обозначается f * .

Пример 2 (двойственные функции).

( x & y ) * = ¬ ( ¬x & ¬y ) = x Ъ y .

Предложение 1 (Двойственная к двойственной функции). Функция, двойственная к двойственной функции f равна самой функции f.

Доказательство. f * ( x 1 . x n ) * = ( ¬f ( ¬x 1 . ¬x n )) * = *
= ¬¬f ( ¬¬x 1 . ¬¬x n ) = *
= f ( x 1 . x n ) *

Рассмотрим, что происходит с таблицей двойственной функции. Замена набора ( x 1 . x n ) на ( ¬x 1 . ¬x n ) соответствует «переворачиванию» таблицы. Действительно, наборы ( x 1 . x n ) и ( ¬x 1 . ¬x n ) расположены симметрично относительно середины таблицы. Теперь остаётся применить операцию ¬ к результату функции, т.е. поменять 0 на 1 и 1 на 0. Т.о. вектор значений функции, двойственной к исходной, получается из вектора исходной функции переворачиванием и заменой 0 на 1, а 1 на 0.

Пример 3 (вектор двойственной функции).

Функции x & y и x Ъ y , задаваемые векторами значений (0,0,0,1) и (0,1,1,1) двойственны друг к другу. Также двойственными являются x Е y и x є y , задаваемые векторами (0,1,1,0) и (1,0,0,1). Каждая из функций x и ¬x (векторы (0,1) и (1,0) соответственно) двойственна сама себе.

Теорема 1 (Принцип двойственности). Функция, двойственная к суперпозиции функций, равна суперпозиции двойственных функций. Точнее: f 0 ( f 1 . f m ) * = f 0 * ( f 1 * . f m * )

Доказательство. f 0 ( f 1 ( x 1 . x n ) . f m ( x 1 . x n )) * =

4 Разложение функции по переменным

.

Теорема 2 (Разложение в дизъюнкцию). Любую функцию f ( x 1 . x m ) для любого n (1 Ј n Ј m ) можно представить в виде f ( x 1 . x m ) = x 1 s 1 & . & x n s n & f ( s 1 . s n ,x n+ 1 . x m )

Доказательство. Покажем, что для любого набора значений переменных ( x 1 . x n ,x n+ 1 . x m ) значения левой и правой частей совпадают. Возьмём фиксированный набор ( x 1 . x n ,x n+ 1 . x m ). Рассмотрим выражение x 1 s 1 & . & x n s n . Если одно из значений x i s i равно 0, то и всё выражение равно 0. Тогда и выражение x 1 s 1 & . & x n s n & f ( s 1 . s n ,x n+ 1 . x m ) равно 0. Единице же выражение x 1 s 1 & . & x n s n равно только в том случае, если s 1 = x 1 , . s n = x n . При этом f ( s 1 . s n ,x n+ 1 . x m ) = f ( x 1 . x n ,x n+ 1 . x m ) Таким образом, значение правой части всегда равно равно f ( x 1 . x m ), то есть значению левой части.

Теорема 3 (Разложение в конъюнкцию). Любую функцию f ( x 1 . x m ) для любого n (1 Ј n Ј m ) можно представить в виде f ( x 1 . x m ) = x 1 ¬ s 1 Ъ . Ъ x n ¬ s n Ъ f ( s 1 . s n ,x n+ 1 . x m )

Разложения по всем переменным дают суперпозицию конъюнкции, дизъюнкции и отрицания.

Следствие 1 (Совершенная дизъюнктивная нормальная форма).

Любая функция f может быть представлена в следующей форме: *

Следствие 2 (Совершенная конъюнктивная нормальная форма).

Любая функция f может быть представлена в следующей форме: * f ( x 1 . x m ) = x 1 ¬ s 1 Ъ . Ъ x m ¬ s m

Таким образом, любая булева функция может быть представлена суперпозицией конъюнкции, дизъюнкции и отрицания. Разложение по всем переменным в дизъюнкцию называется совершенной дизъюнктивной нормальной формой функции, а в конъюнкцию – совершенной конъюнктивной нормальной формой . *

Совершенная дизъюнктивная и конъюнктивная нормальная формы дают способ представления булевой функции через суперпозицию конъюнкции, дизъюнкции и отрицания если у нас есть таблица значений функции.

Чтобы получить совершенную дизъюнктивную нормальную форму, надо взять все наборы, на которых значение функции равно 1 и записать для каждого из них конъюнкцию переменных и их отрицаний. Если в наборе значение переменной 0 – то переменную надо взять с отрицанием, если 1 – без отрицания. Из получившихся конъюнкций надо построить дизъюнкцию.

Чтобы получить совершенную конъюнктивную нормальную форму, надо взять все наборы, на которых значение функции равно 0 и записать для каждого из них дизъюнкцию переменных и их отрицаний. Если в наборе значение переменной 0 – то переменную надо взять без отрицания, если 1 – с отрицанием. Из получившихся дизъюнкций надо построить конъюнкцию.

Пример 4 (совершенная дизъюнктивная нормальная форма).

Построим совершенную дизъюнктивную нормальную форму функции, заданной следующей таблицей.

Наборы, на которых функция равна 1 – это (0,1,1), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1). Первый набор даёт конъюнкцию ¬x & y & z , второй – x & ¬y & z , третий – x & y & ¬z , четвёртый – x & y & z . В результате получаем ( ¬x & y & z ) Ъ ( x & ¬y & z ) Ъ ( x & y & ¬z ) Ъ ( x & y & z ).

Если известен вектор значений функции, то следующие шаги можно использовать для выяснения того, является ли функция монотонной.

1. Сравниваем левую половину вектора значений функции (вектор ц2) со второй, правой его половиной (вектор ш2).

Если условие ц2 ш2 нарушено, то функция немонотонна, иначе переходим к п.2.

2. Сравниваем в каждой половине вектора значений функции левые четвертины (векторы ц41 и ц42 ) с правыми четвертинами (векторы ш41 и ш42 ).

Если хотя бы одно из условий ц₄₁ ш₄₁ и ц₄₂ ш₄₂ нарушено, то функция немонотонна, иначе переходим к п.3.

3. Аналогично предыдущим шагам сравниваем восьмые, шестнадцатые части и т.д. Если ни одно из проверяемых условий не нарушено, то функция монотонна, в противном случае функция немонотонна.

Рисунок 1 показывает разбиение вектора значений функции трёх переменных.

Рисунок 1 — Части вектора значений функции f(x,y,z)

Рассмотрим несколько примеров распознавания монотонности функции с помощью приведённого алгоритма. Начнём с функций (дизъюнкции и импликации) двух переменных, проанализированных в примерах 21 и 25, соответственно. Затем рассмотрим пару функций трёх переменных.

Пример 21.1. Функция xy представляется вектором её значений (01 11), Видим В этом и следующих примерах левая половинка ц₂ вектора значений функции отделена пробелом от ш₂ — правой половинки этого вектора. , что условие ц₂ ш₂ выполняется, поэтому рассмотрим соответствующие четвертины. Сравнение левых (подчёркнутых) четвертин показывает, что ц₂₁=0

Это означает, что ц₂₁ ш₂₁ и ц₂₂ ш₂₂, то есть ни одно из проверяемых условий не нарушено — дизъюнкция монотонна.

Пример 25.1. Импликация xy представляется вектором значений (11 01). Сравнение половинок ц₂=(11) и ш₂=(01) сразу же обнаруживает нарушение условия ц₂ ш₂. Этот факт ещё раз подтверждает вывод, сделанный в примере 25: функция xy немонотонна.

Пример 18.1. В примере 18 познакомились с функцией голосования, отражающей принятие решения «по большинству голосов». Проверим эту функцию на монотонность.

Вектор значений этой функции — (0001 0111). Сравнивая (см. рисунок 1) левую половину этого вектора с правой половиной, убеждаемся, что

Сравниваем левые четвертины (подчёркнутые):

Сравниваем правые четвертины: ц₄₂=(01)? (11)=ш₄₂.

Условие предшествования выполняется для обеих четвертин. Поэтому сравним осьмушки, то есть соответствующие левые и правые половинки четвертин. Получим: