В этом разделе вы найдете готовые задания по разным разделам ТФКП (теории функций комплексной переменной): проверка аналитичности функций, восстановление функции по одной из частей (мнимой или действительной), разложение в ряд, вычисление вычетов, нахождение интегралов разных типов.
Если вам нужна помощь в выполнении своей домашней работы по ТФКП, мы будем рады помочь: стоимость задания от 80 рублей, срок от 1 дня, гарантия месяц, подробное оформление, отзывы. Узнайте подробнее о том, как мы выполняем задания по ТФКП на заказ.
Еще полезные ссылки для изучения:
Гармонические (аналитические) функции. Решения задач
Задача 1. Показать, что данные функции $u(x,y)$ и $v(x,y)$ гармонические. Найти по заданной функции $u(x,y)$ или $v(x,y)$ ей сопряженную: $u(x,y)=cos x ch y, v(0,0)=0.$
Задача 2. Исследуйте на моногенность и голоморфность $f(z) = (Re z)^2$.
Задача 3. Найти аналитическую функцию $f(z)$, если задана ее мнимая часть $Im f(z)=10xy-6y$, $f(1/5)=-1.$
Задача 4. Доказать, что $f(z)=sin(z/3)$ — аналитическая функция и найти производную в точке $z_0=pi i/6.$
Ряды Лорана и Тэйлора. Решения задач
Задача 5. Разложить функцию $f(z)$ по степеням $(z-z_0)$ в ряд Тейлора или Лорана во всех областях на плоскости, где такое разложение возможно. $$f(z)=frac, z_0=1. $$
Задача 6. Разложить данную функцию в ряд Лорана в заданном кольце комплексной плоскости. Указать область сходимости полученного ряда: $$f(z)=frac<1>, 5lt |z+5i| lt 8. $$
Задача 7. Определить круг сходимости и исследовать сходимость в данных точках. $$Sigma_^<infty>frac<2^n (z-2)^n><(n+1)^2>, z=0, z=2+i/2, z=2.1. $$
Вычеты функции и их применение. Решения задач
Задача 8. Найти вычеты функции относительно её полюсов: $$ f(z) =frac<1>. $$
Задача 9. Вычислить интеграл по замкнутому контуру с помощью вычетов: $$int_
Задача 11. Вычислить контурный интеграл с помощью основной теоремы Коши о вычетах: $$int_
Интегралы от функций комплексного переменного. Решения задач
Задача 12. Вычислить интеграл от функции комплексного переменного по данной кривой: $$int_
Конформные отображения. Решения задач
Задача 13. Найдите взаимно-однозначное конформное отображение, переводящее $D_1$ на $D_2$: $$D_1=<|z| lt 1>, quad D_2=<|z| lt 1, Im z gt 0>. $$
] в лорановском разложении этой функции в точке z0. Отсюда, в частности, вытекает, что вычет в устранимой особой точке равен нулю. Укажем некоторые формулы для вычисления вычета в полюсе функции /(г). 1. zq — полюс первого порядка: 00 Умножим обе части этого равенства на z — zo и, переходя к пределу при z zo, получим, что Если функцию f(z) можно представить в виде дроби где и ф(г) — аналитические функции, причем простой полюс, то из формулы (3) вытекает, что Пример 1. Пусть Особые точки » функции , ЯВЛЯЮТСЯ простыми гюлюсами. Поэтому 2. zo — полюс порядка т: Для устранения отрицательных степеней z — z0 умножим обе части этого равенства на (z-Zo)m, Вычеты Основная теорема о вычетах Применение вычетов к вычислению интегралов Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов Интегралы от рациональных функций Лемма Жордана Вычисление интегралов Френеля Продифференцируем полученное соотношение m — 1 раз и, переходя к пределу при получим, что Пример 2. Пусть 4 Особыми точками этой функции являются точки г = ±i. Это — полюсы второго порядка. Вычислим, например, res/(i). Имеем Теорема 21i Пусть функция f(z) аналитична всюду в области D за исключением конечного числа изолированных особых точек 7огда для любой замкнутой области G, лежащей в D и содержащей точки zn внутри, справедливо равенство Теорема вытекает из теоремы Коши для многосвязной области. Построим окруж ности столь малого радиуса г, что ограниченные ими круги — содержатся в области G и не пересекаются друг с другом (рис. 29). Обозначим через G* область, которая получается из области G путем удаления кругов Uи . U„. Функция f(z) анали-тична в области G* и непрерывна в ее замыкании G7. Поэтому по теореме Коши для многосвязной области имеем Из этой формулы, пользуясь определением вычета получаем требуемое равенство (5). 6.1. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Говорят, чтофункция f(z) является аналитической в бесконечно удаленной точке z = оо, если функция аналитична вточке С =0. Это следует понимать так: функцию g(0= f (f) можно доопределить до аналитической, положив Например, функция аналитична в точке z = оо, поскольку функция аналитична в точке С = 0. Пусть функция /(г) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки z = оо). Точка z = оо называется изолированной особой точкой функции /(г), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек функции f(z). Функция имеет в бесконечности неизолированную особенность: полюсы zk = к-к этой функции накапливаются в бесконечности, если к оо. Говорят, что z — оо является устранимой особой тонкой, полюсом или существенно особой точкой функции f(z) в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует lim f(z). Критерии типа бесконечно удаленной точки, связанные с разложением Лорана, изменяюгся по сравнению с критериями для конечных особых точек. Теорема 22. Если z — оо является устранимой особой точкой функции /(z), то лоранов-ское разложение f(z) в окрестности этой точки не содержит полож и тельных степеней z;eaiu z — оо — полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней z, в случае существенной особенности — бесконечное число положительных степеней z. При этом лорановским разложением функции /(z) в окрестности бесконечно удаленной точки будем называть разложение в ряд Лорана, сходящийся всюду вне круга достаточно большого радиуса R с центром в точке z — 0 (кроме, быть может, самой точки z — оо). Пусть функция f(z) — аналитична в некоторой окрестности точки z = оо (кроме, быть может, самой этой точки). Вычетом функции /(z) в бесконечности называют величину пае 7 — достаточно большая окружность z = р, проходимая по часовой стрелке (так, что окрестность точки z — оо остается слева, как и в случае конечной точки г = го). И з этого определения следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при z
! в лорановском разложении /(z) в окрестности точки z — оо, взятому с противоположным знаком: Пример 3. Для функции f(z) = имеем f(z) = 1 + j. Это выражение можно рассматривать как ее лорановское разложение в окрестности +очки z = оо. Легко видеть, что так что точка z = оо является устранимой особой точкой, и мы полагаем, как обычно, /(оо) = 1. Здесь , следовательно, Из этого примера следует, что вычет аналитической функции относительно бесконечно удаленной устранимой особой точки (в отличие от конечной устранимой особой точки) может оказаться отличным от нуля. Известные тейлоровские разложения функций е1, cosz, sinz, chz, shz можно рассматривать также и как лорановские разложения в окрестности точки z — оо. Так как все эти разложения содержат бесконечное множество положительных степеней z, то перечисленные функции имеюгвточке z = оо существенную особенность. Теорема 23. Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех ее вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю. Так что, если — конечные особые точки функции f 0 — вещественное число. При вычислении таких интегралов часто бывает полезной следующая лемма. Лемма Жордана. Пусть функция f(z) аналитична в верхней полуплоскости исключением конечного числа изолированных особых точек, и при стремится к нулю равномерно относительно arg z. Тогда для любого положитыьного а где 7л — верхняя полуокружность Условие равномерного стремления /(г) к нулю означает, что на полуокружности 7R Оценим исследуемый интефал. Замечая, что на 7Л В силу известного неравенства (см. рис. 31) справедливого при (для доказательства достаточно заметить, что и, значит, функция ^ убывает на полуинтервале Сопоставляя формулы (13) и (14), заключаем, что 4 Введем вспомогательную функцию Пример 7. Вычислить интеграл Нетрудно видеть, что если г = х, то Jmh(z) совпадает с подынтегральной функцией Рассмотрим контур, указанный на рис.32. При достаточно большом R на дуге 7л Функция вследствие соотношения , удовлетворяет условию при Значит, по лемме Жордана По основной теореме о вычетах для любого имеем Переходя к пределу в равенстве (16) и учитывая соотношение (15). получим, что Разделяя слева и справа вещественные и мнимые части, будем иметь В силу того что подынтегральная функция f(x) — четная, окончательно получим В рассматриваемом примере функция f(z) не имеет особых точек на действительной оси. Однако небольшое изменение описанного метода позволяет применять его и в том случае, когда функция f(z) имеет на действительной оси особые точки (простые полюсы). Покажем, как это делается. Пример 8. Вычислить интеграл 4 функция обладает следующими свойствами: при совпадает с подынтегральной функцией; 2) имеет особенность на действительной оси — простой полюс в точке г = 0. Рассмотрим в верхней полуплоскости Im z ^ 0 замкнутый контур Г, состоящий из отрезков действительной оси [-Я, -г), (г,R) и дуг полуокружностей (рис. 33). Внутри этого контура находится лишь один полюс функции h(z) — точка z = Ы. Согласно основной теореме о вычетах, Преобразуем сначала сумму интегралов по отрезкам (-Я, -г| и |г, Я) действительной оси. Заменяя х на
х в первом слагаемом правой части равенства (18) и объединяя его с третьим слагаемым, получим Обратимся ко второму слагаемому в формуле (18). Так как где lim g(z) = 0. то подынтегральная функция h(z) представима в следующем виде: Тогда Полагая . получим, что Четвертое слагаемое в равенстве (18) при Я —» оо стремится к нулю согласно лемме Жордана, ибо функция ^ стремится к нулю при |г| оо. Таким образом, при равенство (18) принимает вид 6.3. Вычисление интегралов Френеля Интегралы Френеля: Рассмотрим вспомогательную функцию /(г) = с" и контур Г, указанный на рис. . Внутри контура Г функция f(z) — аналитическая, и по теореме Коши Покажем, что где Гг2 — полуокружность радиуса г2. Функция 0(0 = удовлетворяет условиям леммы Жордана, и, значит, Переходя в формуле (20) к пределу при г -* оо, получим, что На отрезке ВО: Отсюда откуда Упражнения Найдите действительную и мнимую части функдаи: Найдите образы действительной и мнимой осей при отображении: Докажи те, что функция непрерывна на всей комплексной плоскости: Пользуясь условиями Коши—Римана, выясните, является ли функция аналитической хотя бы в одной точке или нет: Восстановите аналитическую в окрестности точки 20 функцию /(г) по известной действительной части и (или по известной мнимой части v(x, у)) и значению f(z0): Покажите, что следующие функци и являются гармоническими: Может ли данная функция быть действительной или мнимой частью аналитической функции Найдите действительную и мнимую части функции: Найдите модуль и главное значение аргумента функции в указанной точке zq: Найдите логарифмы следующих чисел: Решите уравнение: 38. Вычислите интеграл /— линия, соединяющая точки z = 0 отрето к прямой, б) дуга параболы ломаная 39. Вычислите интеграл — полуокружность Вычислите интегралы: 43. Вычислите интеграл / где 7 — верхняя половина окру*« ости |z| = 1 (выбирается Вычеты Основная теорема о вычетах Применение вычетов к вычислению интегралов Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки Приложение вычетов к вычислению определенных интегралов Интегралы от рациональных функций Лемма Жордана Вычисление интегралов Френеля ветвь функци и л/z, для которой 44. Вычислите интеграл / ^ dz, где 7 — отрезок прямой, идущий из точки zj = 1 в точку Вычислите интегралы: Найдите радиус сходимости ряда: Рашожите функцию в ряд Тейлора и найдите радиус сходимости полученного ряда: постепеням z + I. 55. cosz постепеням 56.—-— постепеням z + 2. 57.—^— постепеням z. 58. sh2 z постепеням z. Найдите нули функции и определите их порядки: z Определите область сходимости ряда: Разложите в ряд Лорана в окрестности точки г = 0: Разяожитс в ряд Лорана в уюзан ном кольце: Найдите особые точки и определит е их характер: Найдите вычеты функции в особых точках : Вычислите интегралы: Определите характер бесконечно удаленной точки: Вычислите интегралы: Ответы z переходите ось ы, при изменении z от -оо до +оо и изменяется от до -оо и от +оо до +1 (точка +1 исключается), ось у переходит в окружность Ось х переходит в ось и так же, как и в упр-и 5, ось у переходит в прямую u
1, пробегаемую от точми 1 до 1 + too и от 1 — »оо до точки 1 (сама точка 1 исключается