Введите комплексное выражение, которое необходимо вычислить
Выполняет простые операции с комплексными числами.
Выполнять деление с подробным решением
Находить разные формы комплексных чисел:
Алгебраическую
Тригонометрическую
Показательную
Модуль и аргумент комплексного числа
Комплексно-сопряжённое к данному
Геометрическую интерпретацию комплексного числа
Правила ввода комплексных выражений с примерами:
Комплексное число записывается в виде a + bj, например 1.5 + 4.7j (j писать слитно) Комплексная единица (Мнимая) — должна записываться в виде 1j (Просто j не будет работать) (3+4j)/(7-5j) — деление (3.6+4j)*(7+5j) — умножение (3+56j)^7 — возведение в степень (5+6j) + 8j — сложение (5+6j) — (7-1j) — вычитание conjugate(1+4j) или conj(1+4j) Сопряженное (комплексно-сопряженное) число для (1 + 4j)
Можно использовать следующие функции от x (например, x = 1 + 2.5j):
В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ mathbb $.
Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = sqrt <-1>$, числа $ a,b in mathbb $ вещественные.
Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ mathbb subset mathbb $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.
Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.
Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ overline = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.
Формы
Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:
Алгебраическая $ z = a+ib $
Показательная $ z = |z|e^ $
Тригонометрическая $ z = |z|cdot(cos(varphi)+isin(varphi)) $
Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.
Изображение
Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:
Видим, что $ a,b in mathbb $ расположены на соответствующих осях плоскости.
Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ overline $.
Аргумент обозначается $ varphi $.
Модуль $ |z| $ равняется длине вектора $ overline $ и находится по формуле $ |z| = sqrt $
Аргумент комплексного числа $ varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.
Пример 2
Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:
$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$
Решение
Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:
Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что $ i^2 = -1 $:
$$ = 15 — 6i + 5i -2i^2 = 15 — i — 2cdot(-1) = $$
$$ = 15 — i + 2 = 17 — i $$
Так, теперь разделим первое число на второе:
Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:
Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:
В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.
Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4cdot 1 cdot 2 = 4-8 = -4 $$
Калькулятор комплексных чисел позволяет вычислять арифметические выражения, содержащие комплексные числа, знаки арифметических действий (+, -, *, /, ^), а также некоторые математические функции.
Калькулятор комплексных чисел
Как пользоваться калькулятором
Введите в поле ввода выражение с комплексными числами
Укажите, требуется ли вывод решения переключателем "С решением"
Нажмите на кнопку "Построить"
Ввод комплексных чисел
комплексные числа можно вводить в следующих трёх форматах:
Только действительная часть: 2, 2.5, -6.7, 12.25
Только мнимая часть: i, -i, 2i, -5i, 2.16i, -12.5i
Действительная и мнимая части: 2+i, -5+15i, -7+2.5i, -6+i
Комплексные числа — это числа вида x+iy , где x , y — вещественные числа, а i — мнимая единица (специальное число, квадрат которого равен -1, то есть i 2 = -1 ). Так же, как и для вещественных чисел, для комплексных чисел определены операции сложения, разности, умножения и деления, однако комплексные числа нельзя сравнивать.
Примеры комплексных чисел
4+3i — действительная часть = 4, мнимая = 3
-2+i — действительная часть = -2, мнимая = 1
i — действительная часть = 0, мнимая = 1
-i — действительная часть = 0, мнимая = -1
10 — действительная часть = 10, мнимая = 0
Основные действия с комплексными числами
Основными операциями, определёнными для комплексных чисел, являются сложение, разность, произведение и деление комплексных чисел. Операции для двух произвольных комплексных чисел (a + bi) и (c + di) определяются следующим образом:
сложение: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
вычитание: (a + bi) — (c + di) = (a — c) + (b — d)i
умножение: (a + bi) · (c + di) = ac + bci + adi + bdi 2 = (ac — bd) + (bc + ad)i
деление:
Примеры
Найти сумму чисел 5+7i и 5.5-2i : Найдём отдельно суммы действительных частей и сумму мнимых частей: re = 5 + 5.5 = 10.5, im = 7 — 2 = 5. Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 10.5 + 5i Полученное число и будет ответом: 5+7i + 5.5-2i = 10.5 + 5i
Найти разность чисел 12-i и -2i : Найдём отдельно разности действительных частей и разности мнимых частей: re = 12 — 0 = 12, im = -1 — (-2) = 1. Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 12 + 1i Полученное число и будет ответом: 12-i — (-2i) = 12 + i
Найти произведение чисел 2+3i и 5-7i : Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = 2·5 — 3·(-7) = 31, im = 3·5 + 2·(-7) = 1. Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 31 + 1i Полученное число и будет ответом: 2+3i * (5-7i) = 31 + i
Найти отношение чисел 75-50i и 3+4i : Найдём по формуле действительную и мнимую части: re = (75·3 — 50·4) / 25 = 1, im = (-50·3 — 75·4) / 25 = -18. Запишем их рядом, добавив к мнимой части i: 1 — 18i Полученное число и будет ответом: 75-50i / (3+4i) = 1 — 18i
Другие действия над комплексными числами
Помимо базовых операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел существуют также различные математические функции. Рассмотрим некоторые из них:
Получение действительной части числа: Re(z) = a
Получение мнимой части числа: Im(z) = b
Модуль числа: |z| = √(a 2 + b 2 )
Аргумент числа: arg z = arctg(b / a)
Экспонента: e z = e a ·cos(b) + i·e a ·sin(b)
Логарифм: Ln(z) = ln |z| + i·arg(z)
Тригонометрические функции: sin z, cos z, tg z, ctg z
Найти действительную и мнимую части числа z, а также его модуль, если z = 4 — 3i Re(z) = Re(4 — 3i) = 4 Im(z) = Im(4 — 3i) = -3 |z| = √(4 2 + (-3) 2 ) = √25 = 5
Формы представления комплексных чисел
Комплексные числа принято представлять в одной из трёх следующих форм: алгебраической, тригонометрической и показательной.
Алгебраическая форма — наиболее часто используемая форма комплексного числа, запись числа в виде суммы действительной и мнимой частей: x+iy , где x — действительная часть, а y — мнимая часть
Тригонометричкая форма — запись вида r·(cos φ + isin φ) , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), а φ — аргумент этого числа (φ = arg(z))
Показательная форма — запись вида r·e iφ , где r — модуль комплексного числа (r = |z|), e — число Эйлера, а φ — аргумент комплексного числа (φ = arg(z))
Пример:
Переведите число 1+i в тригонометрическую и показательную формы:
Найдём радиус (модуль) комплексного числа r: r = √(1 2 + 1 2 ) = √2