Умение работать с числовыми выражениями, содержащими квадратный корень, необходимо для успешного решения ряда задач из ОГЭ и ЕГЭ. Как правило, на этих экзаменах достаточно базового представления о том, что такое извлечение корня и как оно осуществляется на практике.
Определение
Корень степени n из числа X — это такое число x, для которого верно равенство: x n = X.
Найти значение выражения с корнем — это значит найти x при известных X и n.
Квадратный корень или, что то же самое, корень второй степени из X — число x, для которого выполнено равенство: x 2 = X.
Обозначение: ∛Х. Здесь 3 — степень корня, Х — подкоренное выражение. Знак ‘√’ часто называют радикалом.
Если над корнем не стоит число, указывающее на степень, то по умолчанию подразумевается степень 2.
В школьном курсе для четных степеней обычно не рассматривают отрицательные корни и подкоренные выражения. Например, не существует √-2, а для выражения √4 верным ответом считается 2, несмотря на то, что (-2) 2 тоже равняется 4.
Рациональность и иррациональность корней
Наиболее простое из возможных заданий c корнем — найти значение выражения либо проверить его на рациональность.
Например, вычислить значения √25; ∛8; ∛-125:
- √25 = 5, так как 5 2 = 25;
- ∛8 = 2, так как 2 3 = 8;
- ∛ — 125 = -5, так как (-5) 3 = -125.
Ответы в приведенных примерах — это рациональные числа.
При работе с выражениями, не содержащими буквенных констант и переменных, рекомендуется всегда выполнять подобную проверку с помощью обратной операции возведения в натуральную степень. Нахождение числа x в n-й степени эквивалентно вычислению произведения n множителей x.
Существует множество выражений с корнем, значение которых иррационально, то есть записывается в виде бесконечной непериодической дроби.
По определению рациональные — это те, что можно выразить обыкновенной дробью, а иррациональные — все остальные действительные числа.
К таким относятся √24, √0,1, √101.
Если в задачнике сказано: найдите значение выражения с корнем из 2, 3, 5, 6, 7 и т. д., то есть из тех натуральных чисел, которые не содержатся в таблице квадратов, то в правильном ответе √2 может присутствовать (когда не оговорено обратное).
Проведение оценки
В задачах с открытым ответом, если найти значение выражения с корнем и записать его рациональным числом невозможно, результат следует оставить в виде радикала.
Некоторые задания могут потребовать проведения оценки. Например, сравнить 6 и √37. Для решения требуется возвести оба числа в квадрат и сравнить результаты. Из двух чисел больше то, чей квадрат больше. Данное правило работает для всех положительных чисел:
Точно так же решаются задачи, в которых несколько чисел надо расставить в порядке возрастания или убывания.
Пример: расставить по возрастанию 5, √6, √48, √√64.
После возведения в квадрат имеем: 25, 6, 48, √64. Можно было бы еще раз возвести все числа в квадрат, для того чтобы сравнить их с √64, но он равен рациональному числу 8. 6 15 декабря, 2018
Чему равно значение выражения (frac<sqrt<343>><sqrt<7>>) ?
Данное выражение можно пеперисать в виде:
Чему равно значение выражения (frac<sqrt<243>><sqrt<9>>) ?
Данное выражение можно пеперисать в виде:
Какое из данных чисел является значением выражения (frac<(3sqrt<5>)^2><25>) ?
Преобразуем числитель: ((3sqrt<5>)^2 = 3^2 cdot <sqrt<5>>^2 = 9 cdot 5 = 45) .
Какое из данных чисел является значением выражения (frac<(2sqrt<7>)^2><14>) ?
Преобразуем числитель: ((2sqrt<7>)^2 = 2^2 cdot <sqrt<7>>^2 = 4 cdot 7 = 28) .
Найдите значение выражения (frac <sqrt<12>cdot sqrt<540>><sqrt<30>>) .
Перепишем исходное выражение, занеся все числа под один корень:
Разложим выражение под корнем на множители так, чтобы среди них были полные квадраты:
(sqrt <216>= sqrt <4 cdot 9 cdot 6>= 2 cdot 3 cdot sqrt <6>= 6sqrt<6>) .
Найдите значение выражения (frac <sqrt<150>cdot sqrt<216>><sqrt<90>>) .
Перепишем исходное выражение, занеся все числа под один корень:
Разложим выражение под корнем на множители так, чтобы среди них были полные квадраты:
Найдите значение выражения (4sqrt <3>cdot sqrt <2>cdot 4sqrt<6>) .
Преобразуем (sqrt <6>= sqrt <2>cdot sqrt<3>) .
Найдем произведение множителей без корня, а множители с корнем сгруппируем:
(4sqrt <3>cdot sqrt <2>cdot 4 sqrt <2>cdot sqrt <3>=16 cdot sqrt<3>^2 cdot sqrt<2>^2 = 16 cdot 3 cdot 2 = 96) .
Этот видеоурок доступен по абонементу
У вас уже есть абонемент? Войти
Повторение свойств квадратных корней
Вкратце повторим теорию и напомним основные свойства квадратных корней.
Свойства квадратных корней:
1. 2. ;
3. ;
4. .
Примеры на упрощение выражений с корнями
Перейдем к примерам использования этих свойств.
Пример 1. Упростить выражение .
Решение. Для упрощения число 120 необходимо разложить на простые множители:
. Квадрат суммы раскроем по соответствующей формуле:
.
Пример 2. Упростить выражение .
Решение. Учтем, что данное выражение имеет смысл не при всех возможных значениях переменной, т. к. в данном выражении присутствуют квадратные корни и дроби, что приводит к «сужению» области допустимых значений. ОДЗ: Ответ. Пример 3. Упростить выражение .
Решение. Видно, что вторая скобка числителя имеет неудобный вид и нуждается в упрощении, попробуем разложить ее на множители с помощью метода группировки.
. Для возможности выносить общий множитель мы упростили корни путем их разложения на множители. Подставим полученное выражение в исходную дробь:
. После сокращения дроби применяем формулу разности квадратов.
Пример на избавление от иррациональности
Пример 4. Освободиться от иррациональности (корней) в знаменателе: а) .
б) выполним аналогичные действия:
.
Ответ.Пример на доказательство и на выделение полного квадрата в сложном радикале
Пример 5. Докажите равенство .
Доказательство. Воспользуемся определением квадратного корня, из которого следует, что квадрат правого выражения должен быть равен подкоренному выражению:
. Раскроем скобки по формуле квадрата суммы:
, получили верное равенство.
Пример 6. Упростить выражение .
Решение. Указанное выражение принято называть сложным радикалом (корень под корнем). В данном примере необходимо догадаться выделить полный квадрат из подкоренного выражения. Для этого заметим, что из двух слагаемых . Подставим это выражение под корень:
Ответ..
На этом занятии мы заканчиваем тему «Функция . Свойства квадратного корня», а на следующем уроке начинаем новую тему «Действительные числа».
Список литературы
1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.
Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет
1. Интернет-портал xenoid.ru (Источник).
2. Математическая школа (Источник).
3. Интернет-портал XReferat.Ru (Источник).
Домашнее задание
1. №357, 360, 372, 373, 382. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.
2. Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: а) 3. Упростите выражение: а) 4. Докажите тождество .
Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.
«>