Ответ

Центр окружности расположен в точке <0; 0>и ее радиус равен 2.

Перепишем уравнение прямой в виде y = -x +2

Угол ее наклона равен -45° к оси OX и она сдвинута на 2 вверх от центра координат.

Следовательно она пересекает окружность в точках <0; 2>и

Расстояние от центра координат (центра окружности) до прямой равно длине высоты опущенной из вершины прямого угла равностороннего прямоугольного треугольника с катетом равным 2.

Описание разработки

Взаимное расположение прямой и окружности

Окружность с центром в точке О радиуса r

Прямая, которая не проходит через центр О

Расстояние от центра окружности до прямой обозначим буквой s

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности, то прямая и окружность имеют две общие точки .

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности, то прямая и окружность имеют только одну общую точку .

Содержимое разработки

Взаимное расположение прямой и окружности

УЧЕНИК 9 КЛАССА

УЧИТЕЛЬ: ЛАТА С. В.

Взаимное расположение прямой и окружности

  • Окружность с центром в точке О радиуса r
  • Прямая, которая не проходит через центр О
  • Расстояние от центра окружности до прямой обозначим буквой s

  • Если расстояние от центра окружности до прямойменьшерадиуса окружности, то прямая и окружность имеютдве общие точки.

Прямая АВ называется секущей по отношению к окружности.

  • Если расстояние от центра окружности до прямойравнорадиусу окружности, то прямая и окружность имеюттолько одну общую точку.

Касательная к окружности

Определение: П рямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности, а их общая точка называется точкой касания прямой и окружности.

Выясните взаимное расположение прямой и окружности, если:

  • прямая – секущая
  • прямая – секущая
  • общих точек нет
  • прямая – секущая
  • прямая — касательная
  • r = 15 см, s = 11 см
  • r = 6 см, s = 5 ,2 см
  • r = 3,2 м, s = 4 ,7 м
  • r = 7 см, s = 0,5 дм
  • r = 4 см, s = 4 0 мм

  • OABC- квадрат
  • AB = 6 см
  • Окружность с центром O радиуса 5 см

секущие из прямых OA , AB , BC , АС

С войство касательной: Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

m – касательная к окружности с центром О

М – точка касания

Признак касательной: Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то она является к асательной.

окружность с центром О

m – прямая, которая проходит через точку М

Свойство касательных, проходящих через одну точку:

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Мы приступаем к изучению новой темы и будем изучать окружность. На данном уроке мы рассмотрим все случаи взаимного расположения прямой и окружности и узнаем, что общих точек у них может быть две, одна или ни одной.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»

Основные определения

Напомним важное определение – определение окружности]

Определение:

Окружностью с центром в точке О и радиусом R называют множество всех точек плоскости, удаленных от точки О на расстояние R.

Обратим внимание на то, что окружностью называют именно множество всех точек, удовлетворяющих описанному условию. Рассмотрим пример:

Точки A, B, C, D квадрата равноудалены от точки Е, но они не являются окружностью (рис. 1).

Рис. 1. Иллюстрация к примеру

В данном случае фигура является окружностью, так как это все множество точек, равноудаленных от центра.

Если соединить любые две точки окружности – получаем хорду. Хорда, проходящая через центр, называется диаметром.

MB – хорда; АВ – диаметр; MnB – дуга, она стягивается хордой МВ;

Угол называется центральным.

Точка О – центр окружности.

Рис. 2. Иллюстрация к примеру

Таким образом, мы вспомнили, что такое окружность и основные ее элементы. Теперь перейдем к рассмотрению взаимного расположения окружности и прямой.

Задана окружность с центром О и радиусом r. Прямая Р, расстояние от центра до прямой, то есть перпендикуляр ОМ, равна d.

Считаем, что точка О не лежит на прямой Р.

Взаимное расположение прямой и окружности, случай с двумя общими точками

По заданным окружности и прямой нам необходимо найти число общих точек.

Случай 1 – расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности:

В первом случае, когда расстояние d меньше радиуса окружности r, точка М лежит внутри окружности. От этой точки мы отложим два отрезка – МА и МВ, длинна которых будет

Рис. 3. Иллюстрация к случаю 1

Расстояние от центра до двух точек равно радиусу окружности, таким образом, мы доказали, что точки А и В принадлежат окружности.

Итак, точки А и В принадлежат прямой по построению, принадлежат окружности по доказанному – окружность и прямая имеют две общих точки. Докажем, что других точек нет (рис. 4).

Рис. 4. Иллюстрация к доказательству

Для этого возьмем на прямой произвольную точку С и предположим, что она лежит на окружности – расстояние ОС=r. В таком случае треугольник равнобедренный и его медиана ON, которая не совпадает с отрезком ОМ, является высотой. Мы получили противоречие: из точки О опущено два перпендикуляра на прямую.

Таким образом, на прямой Р нет других общих точек с окружностью. Мы доказали, что в случае, когда расстояние d меньше радиуса окружности r, прямая и окружность имеют только две общие точки.

Взаимное расположение прямой и окружности, случай с одной общей точкой

Случай второй – расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности (рис. 5):

Рис. 5. Иллюстрация к случаю 2

Напомним, что расстояние от точки до прямой – это длина перпендикуляра, в данном случае ОН – перпендикуляр. Так как, по условию, длина ОН равна радиусу окружности, то точка Н принадлежит окружности, таким образом, точка Н общая для прямой и окружности.

Докажем что других общих точек нет. От противного: предположим, что точка С на прямой принадлежит окружности. В таком случае, расстояние ОС равно r, и тогда ОС равно ОН. Но в прямоугольном треугольнике гипотенуза ОС больше катета ОН. Получили противоречие. Таким образом, предположение неверно и нет никакой точки кроме Н, общей для прямой и окружности. Мы доказали, что в данном случае общая точка единственная.

Взаимное расположение прямой и окружности, случай, когда нет общих точек

Случай 3 – расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:

Расстояние от точки до прямой – длина перпендикуляра. Проводим из точки О перпендикуляр к прямой Р, получаем точку Н, которая не лежит на окружности, так как ОН по условию больше радиуса окружности. Докажем, что любая другая точка прямой не лежит на окружности. Это хорошо видно из прямоугольного треугольника , гипотенуза ОМ которого больше катета ОН, а значит, больше радиуса окружности, таким образом, точка М не принадлежит окружности, как и любая другая точка на прямой. Мы доказали, что в данном случае окружность и прямая не имеют общих точек (рис. 6).

Рис. 6. Иллюстрация к случаю 3

Теоремы о диаметре и хорде

Рассмотрим теорему. Предположим, что прямая АВ имеет две общих точки с окружностью (рис. 7).

Рис. 7. Иллюстрация к теореме

Имеем хорду АВ. Точка Н, по условию, – середина хорды АВ и лежит на диаметре СD.

Требуется доказать, что в таком случае диметр перпендикулярен хорде.

Рассмотрим равнобедренный треугольник Точка Н, по условию, – середина хорды, значит середина медианы АВ равнобедренного треугольника. Мы знаем, что медиана равнобедренного треугольника перпендикулярна его основанию, значит, является высотой:

Рис. 8. Иллюстрация к теореме

Рассмотрим равнобедренный треугольник Выводы по уроку

Итак, мы рассмотрели все случаи взаимного расположения прямой и окружности. На следующем уроке мы рассмотрим касательную к окружности.

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

Задание 1. Найти длины двух отрезков хорды, на которые разделяет ее диаметр окружности, если длина хорды – 16 см, а диаметр ей перпендикулярен.

Задание 2. Указать количество общих точек прямой и окружности, если:

а) расстояние от прямой до центра окружности – 6 см, а радиус окружности – 6,05 см;

б) расстояние от прямой до центра окружности – 6,05 см, а радиус окружности – 6 см;

в) расстояние от прямой до центра окружности – 8 см, а радиус окружности – 16 см.

Задание 3. Найти длину хорды, если диаметр ей перпендикулярен, а один из отрезков, отсекаемых диаметром от нее, равен 2 см.

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.