Разделы: Математика

Данная статья посвящена изучению проблемы вычисления объемов геометрических тел с помощью интегрального исчисления. Может быть полезна как опытному учителю, так и начинающему. В приложении вставлена презентация по данной теме. Презентация

Изучив тему “Интегралы и их применение” в курсе алгебры и начала анализа, меня заинтересовали задачи на вычисление объемов геометрических тел. В учебнике “ Алгебра и начала анализа 10-11” Колмагорова А.Н. приводится красивое решение задачи на вычисление объема усеченной пирамиды с помощью интеграла, а в учебнике по геометрии “Геометрия 10-11” Погорелова А.В. представлены выводы формул объемов геометрических тел традиционным способом, некоторые из которых довольны трудоемки и нет единого алгоритма вывода. Выводы формул для вычисления объемов стереометрических фигур, таких как наклонная призма, пирамида, конус, шар, шаровой сегмент возможны по единому алгоритму с помощью интегрального исчисления. Он нетруден, компактен и интересен. Учитель может сэкономить время учебной программы и решить данную задачу за 1-2 урока, появляется возможность использовать высвобожденное время на решение задач для подготовки к ЕГЭ. А мотивированные учащиеся смогут быстро восстановить формулы объемов геометрических тел на экзаменах.

Общие предпосылки для вычисления объемов геометрических тел с помощью интегрального исчисления.

Для тел вращения объем вычисляется по формуле .

Вычислим объемы наклонной призмы, пирамиды, конуса, шара, шарового сегмента.

Допущения:

  • В сечении фигуры получается окружность или многоугольник;
  • Площади сечения и площади основания пропорциональны квадратам расстояний от начала координат;
  • Всякое сечение призмы параллельное основанию призмы равно основанию.

    1. Выбираем начало координат O и проводим ось OX;
    2. Выбираем пределы интегрирования;
    3. Вычисляем объем тел по интегральной формуле.

    Применим данный алгоритм к выбранным объектам.

    Вычисление объема наклонной призмы

    Q – площадь основания

    Действуем согласно алгоритму:

    1. О – выбираем произвольно и проводим основанию
    2. a=0; b=H; Q – const.

    Вычисление объема пирамиды

    Q – площадь основания;

    Действуем согласно алгоритму:

    1. 0

      2. – выбираем в вершине пирамиды, проводим основанию

    2. пределы интегрирования .

    . 3.; тогда

    Вычисление объема конуса

    Q – площадь основания

    По алгоритму:

    1. 0;
    2. a=0, b=H

    Тогда,

    Вычисление объема шара

    Рассмотрим

    ,

    Объем шарового сегмента

    H — высота сегмента

    По алгоритму:

    1. 0,
    2. ,

    .

    Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла
    Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости
    Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости
    Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара
    Вывод формулы для площади сферы

    Формулы для вычисления площадей фигур на плоскости, длин дуг кривых на плоскости, площадей поверхностей тел вращения и объемов тел с помощью определенного интеграла

    В данном разделе справочника приведена таблица, содержащая формулы, с помощью которых можно вычислить:

    Площади криволинейных трапеций различного вида (площади фигур, ограниченных графиками функций);

    Длины дуг кривых на плоскости;

    Объемы тел, если известны площади их поперечных сечений;

    Объемы тел, полученных при вращении криволинейных трапеций вокруг оси абсцисс Ox ;

    Площади поверхностей тел, полученных при вращении графиков функций вокруг оси абсцисс Ox .

    a Ox ,
    а с боков – отрезками прямых

    Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху осью Ox , снизу – графиком функции

    a Ox ,
    а с боков – отрезками прямых

    Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции

    a Ox ,
    а с боков – отрезками прямых

    вокруг оси Ox

    Площадь поверхности тела, полученного при вращении графика функции

    y = f (x), f (x) > 0, ,

    вокруг оси Ox

    a Ox ,
    а с боков – отрезками прямых

    Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху осью Ox , снизу – графиком функции

    a Ox ,
    а с боков – отрезками прямых

    a S (x) , .

    Плоскость каждого поперечного сечения перпендикулярна оси Ox

    Объем тела, полученного при вращении криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции

    a Ox ,
    а с боков – отрезками прямых

    вокруг оси Ox

    Площадь поверхности тела, полученного при вращении графика функции

    y = f (x), f (x) > 0, ,

    вокруг оси Ox .

    Применение формул, перечисленных в таблице, проиллюстрировано на примерах, содержащих, в частности, вывод формулы объема пирамиды, формул объема шара и площади сферы.

    Примеры решения задач на вычисление площадей фигур на плоскости

    Пример 1 . Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

    Решение . Рассматриваемая фигура (рис. 1) состоит из двух частей: треугольника OAB и криволинейной трапеции ABCD.

    Пример 2 . Найти площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке 2

    Решение . Площадь криволинейной трапеции ABCD вычисляется с помощью формулы для площади криволинейной трапеции с f (x)

    .

    Ответ . .

    Пример решения задачи на вычисление длины дуги кривой на плоскости

    Пример 3 . Найти длину дуги графика функции

    , 8 .

    Решение . График рассматриваемой функции изображен на рисунке 3

    Для вычисления длины дуги AB нужно, в соответствии с формулой для длины дуги графика функции, вычислить определенный интеграл

    РисунокФормулаОписание
    (1)

    Подставим найденную производную в формулу (1), а затем вычислим полученные интегралы при помощи таблицы неопределенных интегралов и формулы Ньютона — Лейбница:

    Ответ .

    Вывод формул для объема пирамиды и для объема шара

    Решение . Рассмотрим произвольную n — угольную пирамиду BA1A2 . An с вершиной B, высота BK которой равна H, а площадь основания A1A2 . An равна S. Обозначим через S (x) площадь сечения этой пирамиды плоскостью, параллельной параллельной основанию пирамиды и находящейся на расстоянии расстоянии x от вершины пирамиды B (рис. 4).

    Поскольку многоугольники и A1A2 . An подобны с коэффициентом подобия , то площади этих многоугольников удовлетворяют равенству

    (2)

    Рассмотрим теперь в пространстве систему координат Oxyz и расположим нашу пирамиду BA1A2 . An так, чтобы ее вершина B совпала с началом координат O, а высота пирамиды BK оказалась лежащей на оси Ox (рис. 5).

    Тогда сечение пирамиды и будет поперечным сечением, поскольку его плоскость перпендикулярна оси Ox.

    Итак, мы получили формулу для объема пирамиды

    котрой пользовались в различных разделах справочника.

    Замечание . Совершенно аналогично выводится формула для объема конуса. Формулы для объема прямой призмы объема прямой призмы и для объема цилиндра вывести таким способом еще проще, поскольку у них все сечения, перпендикулярные высоте, равны между собой. Мы рекомендуем провести эти выводы читателю самостоятельно в качестве полезного упражнения.

    Пример 5 . Вывести формулу для объема шара радиуса R, воспользовавшись формулой для вычисления объема тела вращения.

    (3)

    графиком которой является верхняя полуокружность радиуса R с центром в начале координат O. Шар радиуса R получается в результате вращения вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции (3) и ограниченной снизу отрезкомоси Ox (рис. 6).

    что и должно было получиться.

    Вывод формулы для площади сферы

    Решение . Снова рассмотрим функцию

    (4)

    графиком которой является верхняя полуокружность радиуса R с центром в начале координат O (рис. 7).

    Поскольку сфера радиуса R получается в результате вращения вокруг оси Ox графика функции (4), то в соответствии с формулой для вычисления площади поверхности тела вращения получаем

    Подставим найденную производную в выражение, стоящее под знаком квадратного корня:

    Таким образом, подынтегральная функция принимает вид:

    Краткое описание документа:

    ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА УРОКА:

    Сегодня на уроке мы выведем формулу для вычисления объема тела при помощи определенного интеграла и применения формулы к решению задачи.

    Вспомним, что называется определенным интегралом.

    Если функция f(x) непрерывна на промежутке I числовой оси, содержащей точки х=а и х=b, то разность значений F(b)-F(a) (где F(x) — первообразная f(x) на I) называется определенным интегралом от функции f(x) от a до b.

    Это формула получила название Ньютона-Лейбница.

    (интеграл от a до b эф от икс дэ икс равен разности значений первообразной эф большое от бэ и а)

    Выведем основную формулу для вычисления объемов тел, основанную на понятии интеграла: объем тела равен интегралу от а до b площади основания фигуры дэ икс,

    Будем рассматривать произвольное тело объёмом V, заключенное между двумя параллельными плоскостями которая перпендикулярна данным плоскостям.