Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств $%L_1$% и $%L_2$%, натянутых на системы $%X_1, . X_k$% и $%Y_1, . Y_k$% соответственно;построить подпространство, дополнительное подпространству $%L_1$%;построить проекцию вектора $%Y_1$% на подпространство $%L_1$% параллельно данному дополнительному подпространству.
1)$%L_1 cup L_2=egin
$%egin
2)$%egin
задан 26 Мар ’16 21:59
Koval
103 ● 7 ● 17
82% принятых
Общую процедуру решения таких задач можно посмотреть здесь.
@Koval: процедура нахождения пересечения чуть сложнее, но у меня она описана. См. второй абзац по ссылке. Надо составить векторное уравнение $%x_1X_1+x_2X_2=y_1Y_1+y_2Y_2$% от четырёх неизвестных. Это даст однородную систему, для которой надо далее найти общее решение.
@Koval: да, равны, и что? В этом нет ничего плохого. У Вас получается одна свободная переменная. Выражаете через неё вектор из пересечения. Получится a(1,3,1,1), где a — параметр. Это даст базис пересечения; он состоит из одного вектора.
@abc: там, конечно, опечатка — имелось в виду (2,3,1,1).
@Koval: вектор, который Вы указали, это не пересечение подпространств, а базис пересечения. Его и надо было найти, но там знак равенства неуместен.
Что касается нахождения дополнительного пространства, то сначала надо решить однородную систему с матрицей из X1, X2. О нахождении проекции потом можно будет поговорить отдельно, но вообще-то там достаточно применить определение.
Берем общее решение a(1,1,1,1) однородной СЛАУ, выделяем из него две первых переменных $%x_1=a$% и $%x_2=a$% и подставляем в общий вид вектора пересечения подпространств: $%x_1(1,2,0,1)+x_2(1,1,1,0)$%. Откуда и находим, что он равен a(2,3,1,1). С тем же результатом можно выделять две другие переменные $%x_3=a$% и $%x_4=a$% и подставлять в $%x_3(1,0,1,0)+x_4(1,3,0,1)$%
@Koval: Есть прекрасная книга Гайфуллина, Смирнова и Пенского "Задачи по линейной алгебре". В ней разобраны все подобные типовые задачи. Вам может пригодиться)
1 ответ
В комментариях уже нет места — придётся писать здесь. Потом можно будет что-то добавлять.
Базис суммы пространств состоит из трёх ненулевых строк ступенчатой матрицы. Разумеется, он не равен нулю (само это предположение абсурдно). Записать его можно примерно так: $%a_1=(1;2;0;1)$%, $%a_2=(0;1;-1;-1)$%, $%a_3=(0;0;1;-1)$%. У второго и третьего вектора я для удобства поменял знак.
Добавление. В задаче, среди прочего, требуется найти проекцию вектора $%Y_1$% на подпространство $%L_1$%. Искомый вектор должен иметь вид $%x(1,2,0,1)+y(1,1,1,0)=(x+y,2x+y,y,x)$%, где $%x$%, $%y$% — некоторые неизвестные.
Проекция производится параллельно ортогональному дополнению пространства $%L_1$%. Это значит, что разность вектора проекции и вектора $%Y_1$%, имеющая координаты $%(x+y-1,2x+y,y-1,x)$%, должна быть ортогональна каждому вектору пространства $%L_1$%. Последнее означает, что скалярное произведение вектора $%(x+y-1,2x+y,y-1,x)$% на каждый из векторов $%(1,2,0,1)$% и $%(1,1,1,0)$% равно нулю. Получается два уравнения: $%x+y-1+2(2x+y)+x=0$% и $%x+y-1+2x+y+y-1=0$%. Упрощая, имеем $%6x+3y=1$% и $%3x+3y=2$%. Отсюда $%x=-frac13$% и $%y=1$%. Тем самым, вектор проекции равен $%(x+y,2x+y,y,x)=(frac23;frac13;1;-frac13)$%.
Найдите прямую сумму и пересечение подпространств, натянутых на следующие системы векторов:
Найдем базис первой системы:
Найдем базис второй системы:
Найдем пересечение пространств и по формуле
( будет базисным вектором)
Решаем полученную систему:
Следовательно
Находим размерность суммы
выберем из системы векторов три линейнонезависимых:
Нахождение алгебраического дополнения подпространства
Для заданного подпространства [math]L riangleleft mathbb
В зависимости от способа описания подпространства [math]L[/math] , используем одно из следующих двух утверждений.
1. Если подпространство [math]L riangleleft mathbb
2. Если подпространство [math]L riangleleft mathbb
где [math]a_i^< au>[/math] — i-й столбец матрицы [math]A^T[/math] .
Разумеется, в (8.16) и (8.17) указано одно из возможных алгебраических дополнений подпространства [math]L^<+>[/math] (см. свойство 3 алгебраических дополнений подпространств).
Докажем сначала справедливость (8.16) в одномерном случае [math](k=1)[/math] , а потом в общем. Пусть [math]L=operatorname
e o[/math] . Следовательно, элемент [math]x[/math] из [math]L[/math] принадлежит подпространству [math]L'[/math] только тогда, когда [math]x[/math] — нулевой столбец, т.е. [math]Lcap L’=[/math] . Учитывая, что [math]dim
Учитывая (8.18), докажем (8.16) в общем случае [math](kgeqslant1)[/math] . Представим [math]L=operatorname
Пример 8.10. Найти алгебраическое дополнение подпространства [math]L=operatorname
Решение. Сначала нужно переформулировать задачу для арифметического пространства (см. следствие теоремы 8.3 об изоморфизме конечномерных пространств). Для этого возьмем в [math]P_3(mathbb
Таким образом, исходная задача сводится к следующей: требуется найти алгебраическое дополнение подпространства [math]L=operatorname
Решаем ее методом Гаусса. Приводим матрицу системы к упрощенному виду, прибавляя ко второй строке первую, умноженную на (-1), поделив вторую строку на 5, а затем прибавив ее, умноженную на 2, к первой:
Базисные переменные [math]x_1,,x_2[/math] , свободные — [math]x_3,,x_4[/math] . Выражаем базисные переменные через свободные: [math]x_1=-frac<9><5>x_3-frac<2><5>x_4;[/math] [math]x_2=-frac<2><5>x_3-frac<1><5>x_4[/math] . Находим фундаментальную систему решений. Подставляя стандартные наборы свободных переменных ( [math]x_3=1,,x_4=0[/math] и [math]x_3= 0,,x_4=1[/math] ), получаем решения: [math]varphi_1=egin
Аналогично получаем [math]varphi_2(t)= -frac<2><5>-frac<1><5>t+t^3[/math] . Искомое алгебраическое дополнение имеет вид
Проверим равенство [math]Lcap L^<+>=<mathbf
Чтобы это равенство выполнялось тождественно, все его коэффициенты должны быть равны нулю:
Ранг матрицы [math]B[/math] этой системы равен 4 (находится, например, методом Гаусса). Поэтому однородная система имеет только нулевое решение [math]alpha=eta= gamma= delta=0[/math] . Таким образом, равенство [math]Lcap L^<+>=<mathbf
Нахождение алгебраической суммы подпространств
Для заданных подпространств [math]A[/math] и [math]B[/math] пространства [math]mathbb
1) для каждой однородной системы [math]Ax=o[/math] и [math]Bx=o[/math] найти фундаментальные системы решений [math]varphi_1,ldots,varphi_[/math] и [math]psi_1,ldots,psi_[/math] соответственно. При этом получим [math]A=operatorname
подпространство [math]mathbf[/math] — линейной оболочкой своих образующих:
Первый, второй и четвертый столбцы полученной матрицы линейно независимы. Значит, соответствующие столбцы [math]a_1,,a_2,,b_2[/math] исходной матрицы так же линейно независимы (так как выполнялись элементарные преобразования только над строками). Поэтому они являются базисом [math]mathbf+mathbf[/math] и [math]dim(mathbf+ mathbf)=3[/math] .
Нахождение пересечения подпространств
Базисом пересечения служит ее фундаментальная система решений.
Представим второе равенство в (8.21) в матричном виде [math]Aalpha=Beta[/math] , где [math]A=egin
1. Составить блочную матрицу [math](Amid B)[/math] коэффициентов однородной системы уравнений [math]Aalpha+Beta=o[/math] , где матрицы [math]A=egin
2. Для однородной системы с матрицей [math](Amid B)[/math] найти фундаментальную матрицу [math]Phi[/math] . Матрица [math]Phi[/math] имеет размеры [math](k_1+k_2) imes (k_1+k_2-r)[/math] , где [math]r=operatorname
3. Из первых [math]k_1[/math] строк матрицы [math]Phi[/math] составить матрицу [math]Phi_<alpha>= (E_
5. Найти базис пересечения как максимальную линейно независимую подсистему образующих [math]Avarphi_1,ldots, Avarphi_[/math] .
Элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду:
Найдем базис и размерность пересечения [math]mathbfcap mathbf
1. Первый пункт алгоритма выполнен выше: матрица [math](Amid B)[/math] однородной системы [math]Aalpha+Beta=o[/math] приведена к ступенчатому виду [math](A’mid B’)[/math] .
2. Находим фундаментальную систему решений (используя алгоритм, описанный в разд. 5.5). Приводим матрицу [math](A’mid B’)[/math] системы к упрощенному виду:
Базисные переменные: [math]alpha_1,,alpha_2,,eta_1[/math] ; остальные переменные — свободные. Выражаем базисные переменные через свободные: [math]alpha_1=-2alpha_3-frac<3> <2>eta_2-2eta_3;[/math] [math]alpha_2=alpha_3+frac<1><2>eta_2-eta_3;[/math] [math]eta_1=0[/math] . Придавая свободным переменным наборы значений
получаем линейно независимые решения
3. Из первых трех строк [math](k_1=3)[/math] матрицы [math]Phi[/math] составляем матрицу [math]Phi_<alpha>= egin
4. Вычисляем произведение
По ступенчатому виду определяем, что последние два столбца матрицы [math]APhi_<alpha>[/math] линейно независимы. Следовательно, два столбца [math]c_1,c_2[/math] являются базисом пересечения [math]mathbfcap mathbf= operatorname
Проверим размерность пересечения подпространств, которую вычислим, используя формулу (8.13):
что совпадает с найденной ранее размерностью.
Базисные переменные: [math]x_1,x_2,x_3[/math] , свободная переменная — [math]x_4[/math] . Выражаем базисные переменные через свободную: [math]x_1=4x_4;[/math] [math]x_2=-3x_4;[/math] [math]x_3=-x_4[/math] . Фундаментальная система содержит одно решение [math]varphi_1= egin
Найдем фундаментальную систему решений однородной системы [math]Bx=o[/math] . Для этого приводим матрицу системы к ступенчатому виду, а затем к упрощенному:
Базисные переменные: [math]x_1,,x_2[/math] , свободные переменные: [math]x_3,,x_4[/math] . Выражаем базисные переменные через свободные: [math]x_1=-2x_3+2x_4;[/math] [math]x_2=x_3-2x_4[/math] . Фундаментальная система состоит из двух решений [math]b_1=egin
x_4=0[/math] и [math]x_3=0,
x_4=1[/math] ). Следователь но, [math]mathbf= operatorname
Проверим размерность суммы подпространств. По формуле (8.13) получаем
что совпадает с найденной ранее размерностью.
Нахождение относительных алгебраических дополнений подпространств
1. Привести матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатому виду и удалить нулевые строки. В результате по лучим матрицы [math](A)_< ext
2. Найти фундаментальную матрицу [math]Phi[/math] однородной системы уравнений [math](B)_< ext
3. Вычислить матрицу [math](A)_< ext
Замечание 8.10. Способы описания подпространств комплексного линейного пространства, а также методы решения типовых задач аналогичны рассмотренным. В отличие от вещественного арифметического пространства [math]mathbb