Найти базисы суммы и пересечения линейных подпространств $%L_1$% и $%L_2$%, натянутых на системы $%X_1, . X_k$% и $%Y_1, . Y_k$% соответственно;построить подпространство, дополнительное подпространству $%L_1$%;построить проекцию вектора $%Y_1$% на подпространство $%L_1$% параллельно данному дополнительному подпространству.

1)$%L_1 cup L_2=egin1 & 2&0&1 \1 & 1&1&0\1 & 0&1&0\1 & 3&0&1 end =. =egin1 & 2&0&1 \0 & -1&1&-1\0 & 0&-1&1\0 & 0&0&0 end=0$%

$%eginalpha_1+alpha_2-eta_1-eta_2 = 0\2alpha_1+alpha_2-3eta_2 = 0\alpha_2-eta_2 = 0\alpha_1-eta_2 = 0end $%

2)$%eginx_1+2x_2+x_4 = 0\-x_2+x_3-x_4= 0end $%

задан 26 Мар ’16 21:59

Koval
103 ● 7 ● 17
82&#037 принятых

Общую процедуру решения таких задач можно посмотреть здесь.

@Koval: процедура нахождения пересечения чуть сложнее, но у меня она описана. См. второй абзац по ссылке. Надо составить векторное уравнение $%x_1X_1+x_2X_2=y_1Y_1+y_2Y_2$% от четырёх неизвестных. Это даст однородную систему, для которой надо далее найти общее решение.

@Koval: да, равны, и что? В этом нет ничего плохого. У Вас получается одна свободная переменная. Выражаете через неё вектор из пересечения. Получится a(1,3,1,1), где a — параметр. Это даст базис пересечения; он состоит из одного вектора.

@abc: там, конечно, опечатка — имелось в виду (2,3,1,1).

@Koval: вектор, который Вы указали, это не пересечение подпространств, а базис пересечения. Его и надо было найти, но там знак равенства неуместен.

Что касается нахождения дополнительного пространства, то сначала надо решить однородную систему с матрицей из X1, X2. О нахождении проекции потом можно будет поговорить отдельно, но вообще-то там достаточно применить определение.

Берем общее решение a(1,1,1,1) однородной СЛАУ, выделяем из него две первых переменных $%x_1=a$% и $%x_2=a$% и подставляем в общий вид вектора пересечения подпространств: $%x_1(1,2,0,1)+x_2(1,1,1,0)$%. Откуда и находим, что он равен a(2,3,1,1). С тем же результатом можно выделять две другие переменные $%x_3=a$% и $%x_4=a$% и подставлять в $%x_3(1,0,1,0)+x_4(1,3,0,1)$%

@Koval: Есть прекрасная книга Гайфуллина, Смирнова и Пенского "Задачи по линейной алгебре". В ней разобраны все подобные типовые задачи. Вам может пригодиться)

1 ответ

В комментариях уже нет места — придётся писать здесь. Потом можно будет что-то добавлять.

Базис суммы пространств состоит из трёх ненулевых строк ступенчатой матрицы. Разумеется, он не равен нулю (само это предположение абсурдно). Записать его можно примерно так: $%a_1=(1;2;0;1)$%, $%a_2=(0;1;-1;-1)$%, $%a_3=(0;0;1;-1)$%. У второго и третьего вектора я для удобства поменял знак.

Добавление. В задаче, среди прочего, требуется найти проекцию вектора $%Y_1$% на подпространство $%L_1$%. Искомый вектор должен иметь вид $%x(1,2,0,1)+y(1,1,1,0)=(x+y,2x+y,y,x)$%, где $%x$%, $%y$% — некоторые неизвестные.

Проекция производится параллельно ортогональному дополнению пространства $%L_1$%. Это значит, что разность вектора проекции и вектора $%Y_1$%, имеющая координаты $%(x+y-1,2x+y,y-1,x)$%, должна быть ортогональна каждому вектору пространства $%L_1$%. Последнее означает, что скалярное произведение вектора $%(x+y-1,2x+y,y-1,x)$% на каждый из векторов $%(1,2,0,1)$% и $%(1,1,1,0)$% равно нулю. Получается два уравнения: $%x+y-1+2(2x+y)+x=0$% и $%x+y-1+2x+y+y-1=0$%. Упрощая, имеем $%6x+3y=1$% и $%3x+3y=2$%. Отсюда $%x=-frac13$% и $%y=1$%. Тем самым, вектор проекции равен $%(x+y,2x+y,y,x)=(frac23;frac13;1;-frac13)$%.

Найдите прямую сумму и пересечение подпространств, натянутых на следующие системы векторов:

Найдем базис первой системы:

Найдем базис второй системы:

Найдем пересечение пространств и по формуле
( будет базисным вектором)

Решаем полученную систему:

Следовательно
Находим размерность суммы

выберем из системы векторов три линейнонезависимых:

Нахождение алгебраического дополнения подпространства

Для заданного подпространства [math]L riangleleft mathbb^n[/math] требуется найти алгебраическое дополнение подпространства [math]L^<+>[/math] , т.е. такое подпространство [math]L^ <+> riangleleftmathbb^n[/math] , что [math]mathbb^n=Loplus L^<+>[/math] .

В зависимости от способа описания подпространства [math]L[/math] , используем одно из следующих двух утверждений.

1. Если подпространство [math]L riangleleft mathbb^n[/math] задано как линейная оболочка [math]L=operatorname(a_1,ldots,a_k)[/math] столбцов матрицы [math]A=egin a_1&cdots&a_kend[/math] , то множество решений однородной системы [math]A^Tx=o[/math] является его алгебраическим дополнением [math]L^<+> riangleleft mathbb^n[/math] , т.е.

2. Если подпространство [math]L riangleleft mathbb^n[/math] задано как множество решений однородной системы [math]Ax=o[/math] [math]m[/math] уравнений с [math]n[/math] неизвестными, то линейная оболочка столбцов [math]a_1^< au>,ldots, a_m^< au>[/math] транспонированной матрицы [math]A^T=egina_1^< au>&cdots& a_m^< au>end[/math] является его алгебраическим дополнением [math]L^<+> riangleleft mathbb^n[/math] , т.е.

где [math]a_i^< au>[/math] — i-й столбец матрицы [math]A^T[/math] .

Разумеется, в (8.16) и (8.17) указано одно из возможных алгебраических дополнений подпространства [math]L^<+>[/math] (см. свойство 3 алгебраических дополнений подпространств).

Докажем сначала справедливость (8.16) в одномерном случае [math](k=1)[/math] , а потом в общем. Пусть [math]L=operatorname(a)[/math] — одномерное подпространство [math]R^n[/math] , [math]a=eginalpha_1&cdots&alpha_nend^T[/math] — ненулевой столбец. Найдем алгебраическое дополнение подпространства [math]L[/math] . Рассмотрим уравнение [math]a^Tx=o[/math] в координатной форме: [math]alpha_1x_1+ldots+ alpha_nx_n=0[/math] . Множество [math][/math] решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, образует подпространство [math]L'[/math] размерности [math](n-1)[/math] . Найдем пересечение [math]Lcap L'[/math] . Подставляя элемент [math]x=lambda a[/math] линейной оболочки [math]L[/math] в уравнение [math]a^Tx=o[/math] , получаем [math]lambda[(alpha_1)^2+ (alpha_2)^2+ldots+(alpha_n)^2]=0[/math] , что возможно только при [math]lambda=0[/math] , так как [math]a
e o[/math] . Следовательно, элемент [math]x[/math] из [math]L[/math] принадлежит подпространству [math]L'[/math] только тогда, когда [math]x[/math] — нулевой столбец, т.е. [math]Lcap L’=[/math] . Учитывая, что [math]dim+dim^ncolon, Loplus L’=mathbb^n[/math] .Таким образом,

Учитывая (8.18), докажем (8.16) в общем случае [math](kgeqslant1)[/math] . Представим [math]L=operatorname(a_1,ldots,a_k)[/math] в виде суммы [math]L=L_1+ldots+L_k[/math] , где [math]L_i=operatorname(a_i),[/math] [math]i=1,ldots,k[/math] . Из (8.15) следует, что [math](L_1+ldots+L_k)oplus (L_1^<+>+ldots+L_k^<+>)= mathbb^n[/math] . Согласно (8.18), множество [math]L_1^<+>=<(a_i)^Tx=o>[/math] решений однородной системы, состоящей из одного уравнения, дополняет [math]L_i[/math] до всего пространства [math]mathbb^n[/math] . Пересечение множеств решений отдельных уравнений дает, разумеется, множество [math]L_1^ <+>capldotscap L_k^<+>=[/math] решений системы этих уравнений. Поэтому [math](L_1+ ldots+L_k)oplus=mathbb^n[/math] , что и требовалось доказать. Утверждение (8.17) доказывается аналогично, используя (8.18).

Пример 8.10. Найти алгебраическое дополнение подпространства [math]L=operatorname[(t-1)^2,(t+1)^3][/math] в пространстве [math]P_3(mathbb)[/math] многочленов не более, чем 3-й степени.

Решение. Сначала нужно переформулировать задачу для арифметического пространства (см. следствие теоремы 8.3 об изоморфизме конечномерных пространств). Для этого возьмем в [math]P_3(mathbb)[/math] стандартный базис [math]mathbf_1(t)=1,[/math] [math]mathbf_2(t)=t,[/math] [math]mathbf_3(t)=t^2,[/math] [math]mathbf_4(t)=t^3[/math] . Пространство [math]P_3(mathbb)[/math] изоморфно [math]mathbb^4[/math] . Найдем координаты многочленов [math]mathbf_1(t)=(t-1)^2[/math] и [math]mathbf_2(t)=(t+1)^3[/math] в стандартном базисе. Раскладывая [math]mathbf_1(t)[/math] по базису, получаем:

Таким образом, исходная задача сводится к следующей: требуется найти алгебраическое дополнение подпространства [math]L=operatorname(a_1,a_2)[/math] в пространстве [math]mathbb^4[/math] . Используя правило (8.16), получаем, что [math]L^<+>[/math] — это множество решений системы [math]A^Tx=o[/math] , где [math]A^T=egin a_1&a_2 end^T= egin1&-2&1&0\ 1&3&3&1end[/math] , т.е. системы [math]egin x_1-2x_2+x_3=0,\ x_1+3x_2+3x_3+x_4=0. end[/math]

Решаем ее методом Гаусса. Приводим матрицу системы к упрощенному виду, прибавляя ко второй строке первую, умноженную на (-1), поделив вторую строку на 5, а затем прибавив ее, умноженную на 2, к первой:

Базисные переменные [math]x_1,,x_2[/math] , свободные — [math]x_3,,x_4[/math] . Выражаем базисные переменные через свободные: [math]x_1=-frac<9><5>x_3-frac<2><5>x_4;[/math] [math]x_2=-frac<2><5>x_3-frac<1><5>x_4[/math] . Находим фундаментальную систему решений. Подставляя стандартные наборы свободных переменных ( [math]x_3=1,,x_4=0[/math] и [math]x_3= 0,,x_4=1[/math] ), получаем решения: [math]varphi_1=egin-dfrac<9><5>&-dfrac<2><5>& 1&0end^T,[/math] [math]varphi_2=egin-dfrac<2><5>&-dfrac<1><5>&0&1 end^T[/math] , которые образуют фундаментальную систему решений и являются базисом алгебраического дополнения [math]L^<+>=operatorname(varphi_1,varphi_2)[/math] Полученный результат переносим в пространство многочленов. По координатному столбцу [math]varphi_1[/math] находим многочлен

Аналогично получаем [math]varphi_2(t)= -frac<2><5>-frac<1><5>t+t^3[/math] . Искомое алгебраическое дополнение имеет вид

Проверим равенство [math]Lcap L^<+>=<mathbf>[/math] . Для этого приравняем между собой линейные комбинации многочленов [math]mathbf_1(t),,mathbf_2(t)[/math] и [math]varphi_1(t),,varphi_2(t):[/math]

Чтобы это равенство выполнялось тождественно, все его коэффициенты должны быть равны нулю:

Ранг матрицы [math]B[/math] этой системы равен 4 (находится, например, методом Гаусса). Поэтому однородная система имеет только нулевое решение [math]alpha=eta= gamma= delta=0[/math] . Таким образом, равенство [math]Lcap L^<+>=<mathbf>[/math] выполняется.

Нахождение алгебраической суммы подпространств

Для заданных подпространств [math]A[/math] и [math]B[/math] пространства [math]mathbb^n[/math] требуется найти размерность и базис их алгебраической суммы [math]A+B[/math] . Рассмотрим методику решения этой задачи для двух случаев описания подпространств.

1) для каждой однородной системы [math]Ax=o[/math] и [math]Bx=o[/math] найти фундаментальные системы решений [math]varphi_1,ldots,varphi_[/math] и [math]psi_1,ldots,psi_[/math] соответственно. При этом получим [math]A=operatorname (varphi_1,ldots,varphi_)[/math] и [math]B=operatorname(psi_1,ldots,psi_)[/math] , где [math]r_=operatornameA,[/math] [math]r_=operatornameB[/math] ;

подпространство [math]mathbf[/math] — линейной оболочкой своих образующих:

Первый, второй и четвертый столбцы полученной матрицы линейно независимы. Значит, соответствующие столбцы [math]a_1,,a_2,,b_2[/math] исходной матрицы так же линейно независимы (так как выполнялись элементарные преобразования только над строками). Поэтому они являются базисом [math]mathbf+mathbf[/math] и [math]dim(mathbf+ mathbf)=3[/math] .

Нахождение пересечения подпространств

Базисом пересечения служит ее фундаментальная система решений.

Представим второе равенство в (8.21) в матричном виде [math]Aalpha=Beta[/math] , где [math]A=egina_1&cdots&a_end,[/math] [math]B=egin b_1&cdots&b_end[/math] — матрицы, составленные из данных столбцов, [math]alpha= eginalpha_1&cdots&alpha_end^T,[/math] [math]eta= egin eta_1&cdots&eta_end^T[/math] — столбцы коэффициентов линейных комбинаций. Равенство [math]Aalpha=Beta[/math] можно рассматривать как одно родную систему [math]Aalpha-Beta=o[/math] [math]n[/math] уравнений с [math](k_1+k_2)[/math] неизвестными [math]alpha[/math] и [math]eta[/math] . Каждому решению этой системы соответствует вектор [math]mathbf= Aalpha=Beta[/math] , при надлежащий пересечению [math]mathbfcap mathbf[/math] . Однако, на практике удобнее вместо системы [math]Aalpha-Beta=o[/math] рассматривать однородную систему [math]Aalpha+Beta=o[/math] , решения которой обладают теми же свойствами (тогда вектор [math]mathbf= Aalpha=Beta[/math] при надлежит пересечению [math]mathbfcap mathbf[/math] .

1. Составить блочную матрицу [math](Amid B)[/math] коэффициентов однородной системы уравнений [math]Aalpha+Beta=o[/math] , где матрицы [math]A=egin a_1&cdots&a_ end,[/math] [math]B=egin b_1&cdots&b_end[/math] образованы из заданных столбцов.

2. Для однородной системы с матрицей [math](Amid B)[/math] найти фундаментальную матрицу [math]Phi[/math] . Матрица [math]Phi[/math] имеет размеры [math](k_1+k_2) imes (k_1+k_2-r)[/math] , где [math]r=operatorname(Amid B)[/math] .

3. Из первых [math]k_1[/math] строк матрицы [math]Phi[/math] составить матрицу [math]Phi_<alpha>= (E_mid O)Phi[/math] . Столбцы матрицы [math]Phi_<alpha>= egin varphi_1&cdots &varphi_end[/math] содержат искомые коэффициенты [math]alpha=eginalpha_1&cdots&alpha_end^T[/math] линейных комбинаций (8.21).

5. Найти базис пересечения как максимальную линейно независимую подсистему образующих [math]Avarphi_1,ldots, Avarphi_[/math] .

Элементарными преобразованиями над строками приведем ее к ступенчатому виду:

Найдем базис и размерность пересечения [math]mathbfcap mathbf

1. Первый пункт алгоритма выполнен выше: матрица [math](Amid B)[/math] однородной системы [math]Aalpha+Beta=o[/math] приведена к ступенчатому виду [math](A’mid B’)[/math] .

2. Находим фундаментальную систему решений (используя алгоритм, описанный в разд. 5.5). Приводим матрицу [math](A’mid B’)[/math] системы к упрощенному виду:

Базисные переменные: [math]alpha_1,,alpha_2,,eta_1[/math] ; остальные переменные — свободные. Выражаем базисные переменные через свободные: [math]alpha_1=-2alpha_3-frac<3> <2>eta_2-2eta_3;[/math] [math]alpha_2=alpha_3+frac<1><2>eta_2-eta_3;[/math] [math]eta_1=0[/math] . Придавая свободным переменным наборы значений

получаем линейно независимые решения

3. Из первых трех строк [math](k_1=3)[/math] матрицы [math]Phi[/math] составляем матрицу [math]Phi_<alpha>= egin -2&-3&-2\ 1&1&-1\ 1&0&0 end[/math] .

4. Вычисляем произведение

По ступенчатому виду определяем, что последние два столбца матрицы [math]APhi_<alpha>[/math] линейно независимы. Следовательно, два столбца [math]c_1,c_2[/math] являются базисом пересечения [math]mathbfcap mathbf= operatorname(c_1,c_2)[/math] и [math]dim(mathbfcap mathbf)=2[/math] .

Проверим размерность пересечения подпространств, которую вычислим, используя формулу (8.13):

что совпадает с найденной ранее размерностью.

Базисные переменные: [math]x_1,x_2,x_3[/math] , свободная переменная — [math]x_4[/math] . Выражаем базисные переменные через свободную: [math]x_1=4x_4;[/math] [math]x_2=-3x_4;[/math] [math]x_3=-x_4[/math] . Фундаментальная система содержит одно решение [math]varphi_1= egin 4&-3&-1&1end^T[/math] , которое получаем, задавая [math]x_4=1[/math] . Следовательно, [math]mathbfcap mathbf= operatorname(varphi_1)[/math] и [math]dim(mathbfcap mathbf)[/math] .

Найдем фундаментальную систему решений однородной системы [math]Bx=o[/math] . Для этого приводим матрицу системы к ступенчатому виду, а затем к упрощенному:

Базисные переменные: [math]x_1,,x_2[/math] , свободные переменные: [math]x_3,,x_4[/math] . Выражаем базисные переменные через свободные: [math]x_1=-2x_3+2x_4;[/math] [math]x_2=x_3-2x_4[/math] . Фундаментальная система состоит из двух решений [math]b_1=egin-2&1&1&0end^T,[/math] [math]b_2=egin2&-2&0&1end^T[/math] , которые находим, придавая свободным переменным стандартные наборы значений ( [math]x_3=1,

x_4=0[/math] и [math]x_3=0,

x_4=1[/math] ). Следователь но, [math]mathbf= operatorname(b_1,b_2)[/math] и [math]dim mathbf=2[/math] .

Проверим размерность суммы подпространств. По формуле (8.13) получаем

что совпадает с найденной ранее размерностью.

Нахождение относительных алгебраических дополнений подпространств

1. Привести матрицы [math]A[/math] и [math]B[/math] при помощи элементарных преобразований строк к ступенчатому виду и удалить нулевые строки. В результате по лучим матрицы [math](A)_< ext>[/math] и [math](B)_< ext>[/math] модифицированного ступенчатого вида (строки каждой из этих матриц линейно независимые).

2. Найти фундаментальную матрицу [math]Phi[/math] однородной системы уравнений [math](B)_< ext>(A)_< ext>^Ty=o[/math] .

3. Вычислить матрицу [math](A)_< ext>^TPhi[/math] . Ее столбцы образуют искомый базис [math]mathbf^<+>cap mathbf[/math] .

Замечание 8.10. Способы описания подпространств комплексного линейного пространства, а также методы решения типовых задач аналогичны рассмотренным. В отличие от вещественного арифметического пространства [math]mathbb^n[/math] вместо операции транспонирования матрицы в комплексном арифметическом пространстве [math]mathbb^n[/math] нужно использовать операцию сопряжения матрицы.