Для расчёта полей, созданных зарядами, которые равномерно распределены по сферическим, цилиндрическим или плоским поверхностям, применяют теорему Остроградского – Гаусса (раздел 2.2).

Методика расчёта полей с помощью теоремы

1) Выбираем произвольную замкнутую поверхность, охватывающую заряженное тело.

2) Вычисляем поток вектора напряжённости сквозь эту поверхность.

3) Вычисляем суммарный заряд, охваченный этой поверхностью.

4) Подставляем в теорему Гаусса вычисленные величины и выражаем напряжённость электростатического поля.

Примеры расчёта некоторых полей

Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра (нити).

Пусть бесконечный цилиндр радиусом R равномерно заряжен с линейной плотностью заряда + τ (рис. 16).

Из соображений симметрии следует, что линии напряжённости поля в любой точке будут направлены вдоль радиальных прямых, перпендикулярных оси цилиндра.

В качестве замкнутой поверхности выберем коаксиальный с данным (с общей осью симметрии) цилиндр радиусом r и высотой ℓ.

Рассчитаем поток вектора через данную поверхность:

,

Поток вектора напряжённости сквозь площади оснований равен нулю, поэтому

Суммарный заряд, охватываемый выбранной поверхностью:

.

Подставив всё в теорему Гаусса, с учетом того, что ε = 1, получим:

.

Напряжённость электростатического поля, созданного бесконечно длинным равномерно заряженным цилиндром или бесконечно длинной равномерно заряженной нитью в точках, расположенных вне её:

, (2.5)

где r – расстояние от оси цилиндра до заданной точки (r ≥ R);

τ — линейная плотностью заряда.

Поток вектора напряжённости сквозь поверхность сферы

Подставив это выражение в теорему Гаусса, получим:

.

Напряжённость электростатического поля вне равномерно заряженной сферы:

, (2.8)

где r – расстояние от центра сферы.

Отсюда видно, что поле тождественно с полем точечного заряда той же величины, помещённого в центр сферы.

Расстояния отсчитываются от оси цилиндров.

Решение. Коаксиальные цилиндры – это цилиндры, имеющие общую ось симметрии. Сделаем рисунок и покажем на нем точки (рис. 24).

точкаА расположена внутри обоих цилиндров. Так как внутри цилиндров поля нет, то напряжённость в этой точке равна нулю:

точка В расположена внутри бóльшего цилиндра, поэтому в этой точке поле создаётся только меньшим цилиндром:

.

Выразим линейную плотность заряда через поверхностную плотность заряда. Для этого воспользуемся формулами (1.4) и (1.5), из которых выразим заряд:

Приравняем правые части и получим:

,

где S1 – площадь поверхности первого цилиндра.

С учётом того, что , окончательно получим:

точка С расположена снаружи обоих цилиндров, поэтому поле создаётся обоими цилиндрами. По принципу суперпозиции:

.

С учётом направлений и расчётов, полученных выше, получим:

.

Задача 2.7. Поле создано двумя заряженными бесконечно длинными параллельными плоскостями. Поверхностные плотности зарядов равны σ1 и σ2 > σ1. Найти напряжённость электростатического поля в точках, находящихся между пластинами и вне пластин. Решить задачу для двух случаев:

а) пластины одноимённо заряжены;

б) пластины разноимённо заряжены.

Решение. В векторном виде напряжённость результирующего поля в любом случае записывается одинаково. Согласно принципу суперпозиции:

.

Модули векторов ивычисляются по формуле (2.6).

а) Если плоскости заряжены одноимённо, то между плоскостями напряжённости направлены в разные стороны (рис. 26, а). Модуль результирующей напряжённости

Вне плоскостей напряжённости инаправлены в одну сторону. Так как поле бесконечных заряженных плоскостей однородно, то есть не зависит от расстояния до плоскостей, то в любой точке и слева и справа от плоскостей поле будет одинаково:

.

б) Если плоскости заряжены разноимённо, то, наоборот, между плоскостями напряжённости направлены в одну сторону (рис. 26, б), а вне плоскостей – в разные.

Электростатическое поле бесконечно длинного прямого равномерно заряженного цилиндра.

Рассмотрим цилиндр радиусом R, равномерно заряженный с линейной плотностью + t (это, конечно же, может быть электрический кабель). Из условия симметрии следует, что силовые линии лежат в плоскостях, перпендикулярных к образующей цилиндра, и направлены радиально от оси цилиндра (рис.16.14), причем, во всех точках, равноудаленных от оси цилиндра, как электрические смещения D, так и напряженности поля Е одинаковы.

Для того чтобы найти D и Е в какой-либо точке А, лежащей на расстоянии r>R от оси цилиндра, проведем через эту точку замкнутую цилиндрическую поверхность S, имеющую конечную длину и коаксиальную с заряженной. Поток смещения сквозь основания этой поверхности, перпендикулярные к оси цилиндра, очевидно, равен нулю, так как для оснований Dn=0.

Рис.16.14. Поле бесконечного заряженного цилиндра.

В точках боковой поверхности Dn = D = const и поток смещения равен 2 p rlD. Таким образом, полный поток смещения ФD сквозь рассматриваемую замкнутую поверхность S равен

ФD = 2 p rlD. (16.24)

По теореме Остроградского — Гаусса ФD = q, где q= t × заряд, охватываемый поверхностью S. Таким образом,

Приравнивая правые части выражений (16.25) и (16.24), получаем:

Разность потенциалов между двумя точками поля, лежащими на расстояниях r1 и r2 от оси заряженного цилиндра, равна:

4. Электростатическое поле заряженной проводящей

Рассмотрим поле проводящей и, разумеется, равномерно заряженной по поверхности сферы с радиусом R. Из условия симметрии следует, что силовые линии электростатического поля заряженной сферы направлены радиально (рис.16.16). По тем же причинам численное значение электрического смещения D должно быть одинаковым во всех точках, лежащих на одном и том же расстоянии от центра О заряженной сферы.

Проведем через исследуемую точку поля А, лежащую вне заряженной сферы (r>R), шаровую поверхность S с центром в точке О. Во всех точках этой поверхности Dn = D = const. Поэтому поток смещения сквозь замкнутую поверхность S равен:

Рис.16.16. К расчету поля заряженной проводящей сферы.

По теореме Остроградского — Гаусса этот поток также равен общему заряду сферы q = 4 p R2 × s . Следовательно,

Эти формулы тождественны формулам для поля точечного заряда q. Таким образом, электростатическое поле за пределами заряженной сферической поверхности эквивалентно полю точечного заряда, равного общему заряду сферы и расположенного в ее центре. Причем расстояние отсчитывается от центра сферы, а напряженность поля на поверхности (точнее, в точках, бесконечно близких к поверхности, но вне её) равна

Рассмотрим теперь произвольную точку В, лежащую внутри сферы (r R и r2>R ), находим из формулы:

Положив r1 = R и r2 = ¥ , найдем потенциал заряженной сферической поверхности:

Электростатическое поле равномерно заряженного по объёму шара.

Рассмотрим шар радиусом R, заряженный с постоянной объемной плотностью r (рис.16.17). Такой процедуре можно подвергнуть лишь шар из диэлектрика.

Рис.16.17. К расчету поля непроводящей заряженной сферы.

В любой точке А, лежащей вне шара на расстоянии r от его центра (r>R),его поле аналогично полю точечного заряда рacположенного в центре шара. Поэтому электрическое смещение, напряженность поля и разность потенциалов вычисляются соответственно по формулам, полученным для проводящей заряженной сферы (16.29), (16.30) и (16.31).

В любой точке В, лежащей внутри шара на расстоянии r от его центра (r

Разность потенциалов между двумя точками поля внутри шара зависит от расстояния не линейно и равна:

На рис.16.17 представлен график зависимости Е от r для равномерно заряженного по объёму шара. При r = R выражения (16.30) и (16.35) совпадают:

Бесконечный цилиндр радиуса заряжен равномерно с линейной плотностью , — заряд расположенной на длине . Линии напряженности направлены по радиусам круговых сечений цилиндра с одинаковой густотой во все стороны относительно цилиндра.

В качестве замкнутой поверхности мысленно построим коаксиальный с заряженным цилиндр радиуса и высотой . Поток вектора сквозь торцы коаксиального цилиндра равен нулю (торцы параллельны линиям напряженности), а поток сквозь боковую поверхность равен . По теореме Остроградского – Гаусса , при величина = , откуда , .
Рис. 7.

Если , то замкнутая поверхность зарядов не содержит, поэтому поле внутри заряженного цилиндра равно нулю (=0).

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Сдача сессии и защита диплома — страшная бессонница, которая потом кажется страшным сном. 8791 — | 7153 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно