Разделы: Математика

Геометрия, как учебный предмет, играет огромную роль в развитии познавательной активности и любознательности, логического мышления и пространственного воображения учащихся. Изучение геометрии формирует не только специальные геометрические знания учащихся, но и играет огромную роль в общем развитии личности, ее умении логически мыслить и доказательно обосновывать истинность утверждений в любой сфере деятельности.

Соприкосновение с геометрией носит познавательный, воспитательный, развивающий и вдохновляющий характер. При изучении геометрии (в 10-11 классах — стереометрии) и обучении геометрии происходит духовное развитие личности.

Работая в ГБОУ СОШ №1405 “ВДОХНОВЕНИЕ” в течение многих лет, я всё большее убеждаюсь, что изучать геометрию надо с вдохновением, побуждая учащихся быть активными участниками процесса обучения и получения новых знаний.

Уместно вспомнить слова А.С.Пушкина: Вдохновение нужно в поэзии как в геометрии.

По теме: Метод координат в пространстве. Движения в этом 2013-2014 учебном году мы вместе с учениками 11 класса провели Итоговый урок в форме презентаций по изученной теме и решения задач векторным и координатно-векторными способами. А завершился урок защитой проекта “Симметрия в танце”, т.к. движения , используемые на уроках хореографии, полностью подчиняются законам геометрии и законам симметрии.

УРОК 3 по теме: Движения.

ТЕМА: Итоговый урок по теме: Метод координат в пространстве. Движения.

ЦЕЛЬ УРОКА: Закрепить теоретические знания учащихся, их умения и навыки применять эти знания при решении задач векторным, векторно-координатным способами.

ЗАДАЧИ УРОКА:

  • Дидактическая: сформировать у учащихся умения и навыки решения задач векторным, векторно-координатным способом. Научить применять эти способы к решению стереометрических задач, в том числе задачи С2 ЕГЭ по математике. Показать связь изучаемой темы с другими предметами(хореографией).
  • Развивающая: развивать логическое мышление, познавательный интерес, продолжить формирование графической культуры и математической речи, вырабатывать умения анализировать и сравнивать.
  • Воспитательная: прививать аккуратность и трудолюбие. С помощью презентаций показать роль геометрии в различных областях человеческой жизни, показать, что геометрия даёт описание этого мира.

Тип урока: смешанный.

Методы обучения: частично-поисковый.

Формы работы на уроке: групповая, индивидуальная, фронтальная.

Педагогические технологии: личностно-ориентированное обучение, проблемно-поисковое и коммуникативное.

ХОД УРОКА

1. Актуализация знаний. Теоретический опрос.

— Что называется движением в пространстве? Приведите примеры движений.

— Какое отображение пространства на себя называется центральной симметрией?

— Какое отображение пространства на себя называется осевой симметрией?

— Что называется зеркальной симметрией?

— Какое отображение пространства на себя называется параллельным переносом?

— В какую перчатку (правую или левую) переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? При осевой симметрии? При центральной симметрии?

Все ответы сопровождаются презентациями по темам Симметрия в пространстве.

Решение задач.

  1. Дан тетраэдр SABC. Построить тетраэдр S1ABCотносительно точки О (О — точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника АВС.
  2. В системе координат XYZ дана призма АВСА1В1С1. Построить симметричную ей призму КВСК1В1С1 относительно оси ОУ.
  3. В системе координат XYZ находится куб АВСДА1В1С1Д1. Построить куб АВСДА2В2С2Д2 путем зеркального переноса относительно плоскости ОХУ.
  4. В системе координат XYZпостроен прямоугольный параллелепипед АВСДАВСД. Постройте прямоугольный параллелепипед путём параллельного переноса на вектор m.
  5. Дан тетраэдр МАВС. Постройте фигуру, зеркально симметричную этому тетраэдру относительно плоскости (точка С лежит в плоскости ).
  6. Даны точки А(1;2;3), В(0;-1;2), С(1;0;-3). Найдите координаты точек А1,В1,С1 симметричные данным относительно координатных плоскостей.
  7. Дан правильный тетраэдр ДАВС с ребром а. При симметрии относительно точки Д плоскость АВС перешла в плоскость А1В1С1. Найдите расстояние между этими плоскостями.
  8. Дан куб АВСДА1В1С1Д1 с ребром а. При симметрии относительно плоскости СС1Д точка В1 перешла в точку В2. Найдите АВ2.
  9. Дан куб АВСДА1В1С1Д1 с ребром а. При симметрии относительно прямой В1Д1 точка Д перешла в точку Д2. Найдите ВД2.
  10. Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. S(0,5;0,5;2), А(1;0;0). В(1;1;0), С(0;1;0), D( 0;0;0). Найдите координаты пирамиды S1A1B1C1D1, если точки пирамиды SABCD переместилась на вектор <2;3;4>.

3. Самостоятельное решение задач.

1. Выведите формулу косинуса угла между ненулевыми векторами с заданными координатами.

2.Дано: А(1;1;2), В(0;1;1),С(2;-2;2) и Д(2;-3;1). Найдите угол между прямыми АВ и СД.

3. Дан куб АВСДА1В1С1Д1 с ребром а. Д(0;0;0),С(0;а;0), А(а;0;0), В(а;а;0). Найдите угол между прямыми АВ1 и А1Д.

4. Подведение итогов решения задач.

Сегодня мы закрепили теоретические знания по теме “Движение. Метод координат в пространстве” и отработали навыки тиспользования их в процессе решения задач различного уровня сложности векторно-координатным способом.

5. Защита проекта “Симметрия в танце”.

Симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир.Знание геометрических законов имеют огромное практическое значение. Мы должны не только понимать эти законы, но и заставлять служить нам на пользу.

Проект демонстрирует применение законов симметрии и законов движения при изучении хореографии, создании и постановке танцов.

О, симметрия! Гимн тебе пою!
Тебя повсюду в мире узнаю
Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,
Ты в ёлочке, что у лесной дорожки.
С тобою в дружбе и тюльпан и роза
И снежный рай — творение мороза.

6. Домашнее задание: Повторить вопросы 1-17 стр.126-127 учебника.

Список используемой литературы.

1. А.Д. Александров, А.Л.Вернер, В.И.Рыжик “Стереометрия”. Геометрия в пространстве.,издательство “Альфа”, 1998 (Библиотека школьника).

2. Б.Г.Зив, В.М. Мейлер, А.Г. Баханский, Задачи по геометрии, “Просвещение”, 2000.

— закрепление теоретических знаний по изучаемой теме;

— совершенствование навыков решения задач.

I. Организационный момент

II. Актуализация знаний учащихся

Фронтальная работа с классом: теоретический опрос по вопросам:

1. Что называется движением пространства?

2. Приведите примеры движений.

3. Какое отображение пространства на себя называется центральной симметрией?

4. Какое отображение пространства на себя называется осевой симметрией?

5. Что называется зеркальной симметрией?

6. Какое отображение пространства на себя называется параллельным переносом?

7. Какие координаты имеет точка А, если при центральной симметрии с центром А точка, В(1; 0; 2) переходит в точку С(2; -1; 4). (Ответ: А(1,5; -0,5; 3).)

8. Как расположена плоскость по отношению к осям координат Ох и Oz, если при зеркальной симметрии относительно этой плоскости точка М(2; 2; 3) переходит в точку М1(2; -2; 3). (Ответ: Плоскость, относительно которой рассматривается зеркальная симметрия при которой точка М(2; 2; 3) переходит в точку М1(2; -2; 3), параллельна осям Ох и Oz.)

9. В какую перчатку (правую или левую) переходит правая перчатка при зеркальной симметрии? (Ответ: в левую), осевой симметрии? (Ответ: левую), центральной симметрии? (Ответ: правую).

В то время, когда идет фронтальная работа с классом, ученик решает задачу № 480 (а) у доски (проверка домашнего задания).

Докажите, что при центральной симметрии плоскость, не проходящая через центр симметрии, отображается на параллельную ей плоскость.

1) Рассмотрим центральную симметрию пространства с центром О и произвольную плоскость а, не проходящую через точку О (рис. 1).

Пусть прямая а и b, пересекающиеся в точке А, лежат в плоскости а. При симметрии с центром О прямые а и b переходят соответственно в параллельные прямые а1 и b1 (см. № 479 а). При этом точка А переходит в некоторую точку А1, лежащую как на прямой а1, так и на прямой b1, а значит, прямые а1 и b1 пересекаются.

Пересекающиеся прямые определяют единственную плоскость, т. е. прямые а1 и b1 определяют плоскость а1. По признаку параллельности плоскостей а || а1.

2) Далее можно доказать, что при центральной симметрии с центром О плоскость а отображается на плоскость a1. Это можно доказать как в задаче № 479 1а), где было доказано, что прямая АВ отображается на прямую А1В1.

III. Решение зада.

При зеркальной симметрии относительно плоскости а плоскость β отображается в плоскость β1. Докажите, что если β || а1, то β1 || а.

Решение: Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что β || а, но плоскости β1 и а пересекаются. Тогда они имеют общую точку М. Так как M ∈ а, то при данной зеркальной симметрии точка М отображается в себя. Отсюда следует, что точка М, которая принадлежит плоскости β1, лежит также в плоскости β. Но тогда плоскости а и β пересекаются. Полученное противоречие показывает, что наше предложение неверно, следовательно, β1 || а.

IV. Самостоятельная работа (см. приложение)

V. Подведение итогов

— Сегодня мы закрепили теоретические знания по теме «Движения» и отработали навыки использования их в процессе решения задач различного уровня сложности.

Решить задачи: № 480 (б), 483 (б) (подобные были рассмотрены на уроках).

№ 519 (Указание: рассмотреть линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями а и β, а и β1).

№ 520 (Указание: взять на плоскость а две пересекающиеся прямые и воспользоваться задачей № 484).

Центральная симметрия (рис. 2)

1. Докажите, что центральная симметрия есть движение.

2. Дан тетраэдр МАВС. Постройте фигуру, центрально-симметричную этому тетраэдру относительно точки О (рис. 3).

Слайд содержит теоретический материал справочного характера. По нему можно повторить теорию, провести опрос учащихся.

Этот слайд может быть использован при проверке результатов самостоятельной работы (I уровень).

Плоскость а совпадает с плоскостью Оху (рис. 4).

Точки O1 и О2 — середины отрезков АА1 и ВВ1.

1. Докажите, что зеркальная симметрия есть движение (рис. 5).

2. Дан тетраэдр МАВС. Постройте фигуру, зеркально-симметричную этому тетраэдру относительно плоскости β.

Ответы

сумма внутренних углов шестиугольника равна 720 градусов,а так как он правильный, то все углы в нем равны, то есть по 120 градусов, а углы при малой диагонали равны по 30 градусов. если из вершины шестиугольника опустить перпендикуляр на малую диагональ, то получим прямоугольный треугольник, в котором один катет равен половине малой диагонали,то есть 3/2=1,5,а гипотенуза этого треугольника, есть сторона данного шестиугольника.из этого треугольника имеем

где a — сторона шестиугольника.

a=1,5*sin(60)=1,5*sqrt(3)/2=0,75*sqrt(3)большая диагональ = 2*a=1,75*sqrt(3)

треба накреслити трикутник.а основа і сторона повинна вам бути дана в умові.