Конъюнкция: соответствует союзу: «и», обозначается знаком^, обозначает логическое умножение.

Конъюнкция двух логических

истинна тогда и только тогда , когда оба высказываний истинны. Можно обобщить для любого количества переменных А^В^С = 1 если А=1, В=1, С=1.[5, c. 67]

Таблица истинности для операции «Конъюнкция»:

Дизъюнкция

Логическая операция соответствует союзу ИЛИ, обозначается знаком v, иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ.

Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и галька тогда, когда оба высказывания ложны.

Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных дизъюнкцией.

A v В v С = 0, только если А = О, В = О, С — 0.

Таблица истинности для операции «Дизъюнкция»:

Инверсия

Логическая операция соответствует частице не, обозначается ¬ или ¯ и является логическим отрицанием.

Инверсия логической переменной истинна, если переменная ложна и наоборот: инверсия ложна, если переменная истинна. [5, c. 71]

Таблица истинности для операции «Инверсия»:

Высказывания у которых таблицы истинности совпадают называются равносильными.

Импликация и эквивалентность

Импликация «если А, то В», обозначается А → В

Таблица истинности для операции «Импликация»:

Эквивалентность «А тогда В и только тогда», обозначается А

При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:

импликация и эквивалентность;

Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки. [5, c. 84]

Формализация высказываний

Естественные языки используются для создания описательных информационных моделей. В истории науки известны многочисленные описательные информационные модели; например, гелиоцентрическая модель мира, которую предложил Коперник, формулировалась следующим образом:

Земля вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца;

орбиты всех планет проходят вокруг Солнца;

С помощью формальных языков строятся формальные информационные модели (математические, логические и др.). Одним из наиболее широко используемых формальных языков является математика. Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями. Язык математики является совокупностью формальных языков.

Язык алгебры позволяет формализовать функциональные зависимости между величинами. Так, Ньютон формализовал гелиоцентрическую систему мира, открыв законы механики и закон всемирного тяготения и записав их в виде алгебраических функциональных зависимостей. Например, в школьном курсе физики рассматривается много разнообразных функциональных зависимостей, выраженных на языке алгебры, которые представляют собой математические модели изучаемых явлений или процессов.

Язык алгебры логики (алгебры высказываний) позволяет строить формальные логические модели. С помощью алгебры высказываний можно формализовать (записать в виде логических выражений) простые и сложные высказывания, выраженные на естественном языке. Построение логических моделей позволяет решать логические задачи, строить логические модели устройств компьютера (сумматора, триггера) и так далее. [1, c. 152]

Процесс построения информационных моделей с помощью формальных языков называется формализацией.

В процессе познания окружающего мира человечество постоянно использует моделирование и формализацию. При изучении нового объекта сначала обычно строится его описательная информационная модель на естественном языке, затем она формализуется, то есть выражается с использованием формальных языков (математики, логики и др.).

1) Логическое умножение или конъюнкция:

Конъюнкция — это сложное логическое выражение, которое считается истинным в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными, во всех остальных случаях данное сложеное выражение ложно.

Обозначение: F = A & B.

Таблица истинности для конъюнкции

2) Логическое сложение или дизъюнкция:

Дизъюнкция — это сложное логическое выражение, которое истинно, если хотя бы одно из простых логических выражений истинно и ложно тогда и только тогда, когда оба простых логических выраженныя ложны.

Обозначение: F = A + B.

Таблица истинности для дизъюнкции

3) Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия — это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Таблица истинности для инверсии

4) Логическое следование или импликация:

Импликация — это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. Тоесть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

Таблица истинности для импликации

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Таблица истинности для эквивалентности

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

Для изменения указанного порядка выполнения логических операций используются скобки.

11. Предикаты. Операнды. Законы логического вывода.

12. История развития эвм. Поколения вычислительных средств.

13. Понятие и основные виды архитектуры эвм.

Архитектура компьютера – это его описание на общем уровне. Под архитектурой понимают логическую организацию и структуру аппаратных и программных ресурсов вычислительной системы компьютера, то есть все то, что однозначно определяет процесс обработки информации на данном компьютере. Архитектура заключает в себе требования к функциональности и принципы организации основных узлов ЭВМ.

К архитектуре относятся следующие принципы построения ЭВМ:

– структура памяти ЭВМ;

– способы доступа к памяти и внешним устройствам;

– возможность изменения конфигурации;

Архитектура состоит из тех же основных подсистем, которые характерны для классической модели ЭВМ: ввод-вывод, память, связь, управление и обработка. Различают внешнюю архитектуру – это то, что видит пользователь, и внутреннюю – то, из чего состоит компьютер и на чем основан процесс накопления, обработки и передачи данных внутри ЭВМ и между компьютерами.

С точки зрения пользователя общность архитектуры разных компьютеров обеспечивает их совместимость, то есть способность различных объектов (устройств и программ) к взаимодействию. Важнейшую роль в развитии и распространении IBM PC-совместимых компьютеров (клонов) сыграл заложенный фирмой IBM принцип открытой архитектуры, который означает применение при сборке компьютера готовых блоков и устройств (модулей), а также стандартизацию способов их соединения. Любой узел может быть заменен другим и, кроме того, к компьютеру могут быть дополнительно подсоединены другие узлы. Реализация открытости архитектуры была обеспечена благодаря использованию общей шины (магистрали) – принципиально нового устройства связи между отдельными узлами ЭВМ. Принцип построения ЭВМ, в соответствии с которым обмен информацией между устройствами организуется с помощью магистрали, получил название магистрально-модульного принципа. Таким образом, модульная организация компьютера опирается на магистральный (шинный) принцип обмена информацией между модулями.

Один из признаков, по которым классифицируют архитектуры компьютеров, – это разрядность интерфейсов и машинного слова. Разрядности компьютеров могут быть равными 8, 16, 32, 64 двоичных разрядов. Некоторые ЭВМ имеют другие разрядности.

Принцип однородности памяти характерен для принстонской (фон-неймановской) архитектуры вычислительной системы. Так, например IBM PC-совместимые компьютеры имеют фон-неймановскую архитектуру. В настоящее время существуют модели компьютеров, архитектура которых несколько отличается от фон-неймановской. Например, в гарвардской архитектуре память программ и данных разделена, что позволяет распараллелить выборку данных из памяти.

Любая вычислительная система достигает своей наивысшей производительности благодаря использованию высокоскоростных элементов и параллельному выполнению большого числа операций. Параллельное выполнение нескольких процессов (программ) реализуется путем следующих аппаратных решений:

– однопроцессорности с несколькими исполнительными устройствами;

– конвейеризации обработки данных.

В настоящее время все параллельные вычислительные системы являются мультипроцессорными с различной архитектурой. Главная задача многопроцессорных систем – обеспечение надежности и сверхбольших скоростей на основе распараллеливания вычислений. При их описании часто используют классификацию Флинна, в которой определен параллелизм потока команд и параллелизм потока данных в системе. Согласно этой классификации системы делятся на четыре категории.

– SISD (Single Instruction stream over a Single Data stream) – вычислительная система с одним потоком команд и данных. SISD относят к типу однопроцессорных ЭВМ. Архитектура вычислительной системы с одним процессором является фон-неймановской.

– SIMD (Single Instruction Multiple Data) – многопроцессорная вычислительная система с общим потоком команд (одиночный поток команд) и множественным потоком данных. Архитектура SIMD характеризуется тем, что все процессоры выполняют одну и ту же команду, но каждый над своими данными из своей локальной памяти. Такую архитектуру часто называют векторной.

– MISD (Multiple Instruction Single Data) – многопроцессорная вычислительная система со множественным потоком команд и одиночным потоком данных (конвейерная ЭВМ). Конвейерная архитектура – это принцип построения компьютера, состоящий в параллельном выполнении команд множеством процессоров над одним потоком данных. Каждый процессор цепочки использует в качестве входных данных выходные данные предыдущего процессора.

– MIMD (Multiple Instruction Multiple Data) – многопроцессорная вычислительная система со множественным потоком команд и данных. Каждый процессор здесь функционирует под управлением собственного потока команд, то есть компьютер может параллельно выполнять совершенно разные программы. Современные суперкомпьютеры, как правило, строятся по данной архитектуре.

Конъюнкция или логическое умножение (в теории множеств – это пересечение)

Конъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно в том и только том случае, когда оба простых выражения являются истинными. Такая ситуация возможно лишь в единственном случае, во всех остальных случаях конъюнкция ложна.

Обозначение: &, $wedge$, $cdot$.

Таблица истинности для конъюнкции

  1. Если хотя бы одно из подвыражений конъюнкции ложно на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция будет ложной для этого набора значений.
  2. Если все выражения конъюнкции истинны на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция тоже будет истинна.
  3. Значение всей конъюнкции сложного выражения не зависит от порядка записи подвыражений, к которым она применяется (как в математике умножение).

Дизъюнкция или логическое сложение (в теории множеств это объединение)

Дизъюнкция является сложным логическим выражением, которое истинно практически всегда, за исключением, когда все выражения ложны.

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Таблица истинности для дизъюнкции

  1. Если хотя бы одно из подвыражений дизъюнкции истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция принимает истинное значение для данного набора подвыражений.
  2. Если все выражения из некоторого списка дизъюнкции ложны на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция этих выражений тоже ложна.
  3. Значение всей дизъюнкции не зависит от порядка записи подвыражений (как в математике – сложение).

Отрицание, логическое отрицание или инверсия (в теории множеств это отрицание)

Отрицание — означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО и в итоге получаем, что если исходное выражение истинно, то отрицание исходного – будет ложно и наоборот, если исходное выражение ложно, то его отрицание будет истинно.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Обозначения: не $A$, $ar$, $¬A$.

Таблица истинности для инверсии

«Двойное отрицание» $¬¬A$ является следствием суждения $A$, то есть имеет место тавтология в формальной логике и равно самому значению в булевой логике.

Импликация или логическое следование

Импликация — это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть, данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием ($A$), а второе ($A$) является следствием условия ($A$).

Обозначения: $ o$, $Rightarrow$.

Таблица истинности для импликации

  1. $A o B = ¬A vee B$.
  2. Импликация $A o B$ ложна, если $A=1$ и $B=0$.
  3. Если $A=0$, то импликация $A o B$ истинна при любом значении $B$, (из лжи может следовать истинна).

Эквивалентность или логическая равнозначность

Эквивалентность — это сложное логическое выражение, которое истинно на равных значениях переменных $A$ и $B$.

Обозначения: $leftrightarrow$, $Leftrightarrow$, $equiv$.

Таблица истинности для эквивалентности

Строгая дизъюнкция или сложение по модулю 2 ( в теории множеств это объединение двух множеств без их пересечения)

Строгая дизъюнкция истинна, если значения аргументов не равны.

Для функции трёх и более переменных результат выполнения операции будет истинным только тогда, когда количество аргументов равных $1$, составляющих текущий набор — нечетное. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

Обозначения: $A oplus B$ (в языках программирования), $A≠B$, $A wedge B$ (в языках программирования).

Таблица истинности для операции сложения по модулю два

Свойства строгой дизъюнкции:

Стрелка Пирса

Бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными. Названа в честь Чарльза Пирса и введена в алгебру логики в $1880—1881$ гг.

Обозначения: $downarrow$ , ИЛИ-НЕ

Таблица истинности для стрелки Пирса

Стрелка Пирса, как и конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, образует базис для булевых функций двух переменных. При помощи стрелки Пирса, можно построить все остальные логические операции, например:

$X downarrow X = ¬X$— отрицание

$(X downarrow Y) downarrow (X downarrow Y) equiv X vee Y$ — дизъюнкция

$(X downarrow X) downarrow (Y downarrow Y) equiv X wedge Y$ — конъюнкция

$((X downarrow X) downarrow Y) downarrow ((X downarrow X) downarrow Y) = X o Y$ — импликация

В электронике стрелка Пирса представлена в виде элемента, который носит название «операция 2ИЛИ-НЕ» (2-in NОR).

Штрих Шеффера

Булева функция двух переменных или бинарная логическая операция. Введена в рассмотрение Генри Шеффером в 1913 г.

Обозначения: $|$, эквивалентно операции И-НЕ.

Таблицей истинности для функции штрих Шеффера

Штрих Шеффера образует базис для всех булевых функций двух переменных. Применяя штрих Шеффера можно построить остальные операции, например,

Для электроники это означает, что реализация схем возможна с использованием одного типового элемента (правда это дорогостоящий элемент).

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

  1. Инверсия(отрицание);
  2. Конъюнкция (логическое умножение);
  3. Дизъюнкция и строгая дизъюнкция (логическое сложение);
  4. Импликация (следствие);
  5. Эквивалентность (тождество).

Для того чтобы изменить указанный порядок выполнения логических операций, необходимо использовать скобки.

Общие свойства

Для набора из $n$ логических переменных существует ровно $2^n$ различных значений. Таблица истинности для логического выражения от $n$ переменных содержит $n+1$ столбец и $2^n$ строк.

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь