В элементарной геометрии измерялись длины прямолинейных отрезков, а также длина окружности и ее частей. За длину окружности принимается предел периметров правильных вписанных в окружность многоугольников при неограниченном увеличении числа их сторон. Обобщим это понятие для любой кривой.

Определение.ДлинойL дуги АВ называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломанной, когда число ее звеньев неограниченно растет, а наибольшая из длин звеньев стремится к нулю:

Кривые, для которых этот предел существует, называются спрямляемыми.

Теорема.Пусть криваяАВ задана уравнением y=f(x), где f(x) – непрерывная функция, имеющая непрерывную производную во всех точках сегмента [a;b]. Тогда дуга АВ имеет длину:

,

Пример 1.Найти длину дуги полукубической параболы от х=0 до х=5. Решение:Кривая симметрична относительно оси Ох. Найдем длину верхней ветви кривой. Из уравнения находим . Далее, применяя формулу, получим = (ед.)

Пример 2.Вычислить длину дуги параболы у 2 =4х от х=0 до х=1.

у
х
-2

Для наглядности выполним чертеж.

Для нахождения длины дуги параболы можно воспользоваться формулами: Так как Тогда по формуле (1) получим: Этот интеграл довольно сложный. Поэтому воспользуемся формулой (2)

Для этого выразим из уравнения параболы х и найдем производную по «игреку»:

Тогда длина дуги будет равна:

Замечание.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9821 — | 7687 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Задачи на вычисление длины дуги кривой — однотипные. Существуют чёткие схемы для решения таких задач по формулам, которые отличаются в зависимости от того, какими и сколькими уравнениями задана кривая. Формулы представляют собой интегралы от корня, под которым в тех или иных сочетаниях присутствуют производные функций, которыми задана кривая. Следовательно, для того, чтобы вычислять длину дуги кривой, требуется уметь вычислять производные и интегралы. При вычислении интегралов возможны типичные трудности, связанные, например, с выбором подходящей подстановки. Эти задачи будем решать в примерах к данному уроку.

Вычисление длины дуги кривой, заданной в прямоугольных координатах

Пусть в прямоугольных координатах на плоскости уравнением y = f(x) задана кривая.

Найдём длину дуги AB этой кривой, заключённой между вертикальными прямыми x = a и x = b (рисунок ниже).

Возьмём на дуге AB точки A, M 1 , M 2 , . M i , . B с абсциссами x 0 = a, x 1 , x 2 , . x i , . b = x n и проведём хорды AM 1 , M 1 M 2 , . M n-1 B , длины которых обозначим соответственно через Δs 1 , Δs 2 , . Δs n . Тогда получим ломаную AM 1 M 2 . M n-1 B , вписанную в дугу AB. Длина ломаной равна

.

Длиной s дуги AB называется тот предел, к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина её наибольшего звена стремится к нулю:

.

Этот предел интегральной суммы равен определённому интегралу

(1).

Формула выше и есть формула для вычисления дуги кривой.

Пример 1. Найти длину дуги кривой , если .

Решение. Находим производную данной функции:

Используем формулу (1), подставляя найденную производную:

Ответ: длина дуги кривой равна 74.

Пример 2. Найти длину окружности .

Решение. Вычислим сначала длину четвёртой части окружности, лежащей в первом квадранте. Тогда уравнение дуги будет:

,

откуда находим производную функции:

Используем формулу (1) подставляя в неё производную, получаем:

Ответ: длина всей окружности равна .

Если в прямоугольных координатах уравнениями z = x(x) и y = y(x) задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:

. (2)

Вычисление длины дуги кривой, заданной параметрически

Найдём теперь длину дуги кривой в том случае, когда кривая задана параметрическими уравнениями:

В этом случае длину дуги кривой следует находить по формуле

(3).

Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями

если .

Решение. Рассчитаем интервал, в котором будет меняться значение t, если :

Вычислим производные функций x и y:

Используем формулу (3):

.

Ответ: длина дуги кривой равна 26.

Если параметрическими уравнениями

задана пространственная кривая, то длина её дуги вычисляется по формуле:

. (4)

Пример 4. Найти длину дуги винтовой линии, заданной параметрическими уравнениями

Решение. Вычислим производные функций x, y и z:

Используем формулу (4):

Вычисление длины дуги кривой, заданной в полярных координатах

Пусть кривая задана в полярных координатах:

Длина её дуги вычисляется по формуле:

(5).

Пример 5. Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах .

Решение. Вычислим производную функции:

.

Заданная кривая — кардиоида (рисунок выше). Так как она симметрична, вычислим только ту часть длины дуги, у которой и и умножим её на 2. Используем формулу (5):

.

Длина дуги параболы — это число, характеризующее протяжённость дуги параболы в единицах измерения длины.

Содержание

[править] Обозначения

x1 — абсцисса первой точки дуги;

y1 — ордината (меньшая) первой точки дуги;

x2 — абсцисса второй точки дуги;

y2 — ордината (большая) второй точки дуги;

y 2 =2px — каноническое уравнение параболы;

Lдуг.пар — длина дуги параболы.

[править] Формула

  • Заметим, что формула верна для точек с положительными и отрицательными ординатами, причём y2>y1.

[править] Вывод формулы

  • Для вывода используется формула длина дуги плоской кривой в прямоугольных координатах.
  • Для нахождения интеграла используется формула 1 интегралы функций с корнями.

[править] Другие формулы

  • длина дуги плоской кривой;
  • длина дуги окружности;
  • длина дуги параболы;
  • длина дуги эллипса;
  • длина дуги гиперболы;
  • длина дуги синусоиды;
  • длина дуги косинусоиды;
  • длина дуги циклоиды;
  • длина дуги кардиоиды;
  • длина дуги астроиды;
  • длина дуги эпициклоиды;
  • длина дуги гипоциклоиды;
  • длина дуги эвольвенты окружности;
  • длина дуги цепной линии;
  • длина дуги трактрисы;
  • длина дуги лемнискаты Бернулли.

[править] Ссылки

Персональные инструменты
Пространства имён
Варианты
Просмотры
Действия
Поиск
Навигация
Инструменты
  • Последнее изменение этой страницы: 05:52, 13 ноября 2016.
  • К этой странице обращались 12 362 раза.

Текст страницы доступен по условиям лицензии GNU Free Documentation License. Материалы могут быть скопированы при условии указания активной ссылки на источник копирования в теле статьи (на той же странице). В отдельных случаях могут действовать условия лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike, информацию об этом можно просмотреть на странице обсуждения. Если дополнительной информации на странице обсуждения нет, другие лицензии не действуют.

  • Политика конфиденциальности
  • Описание Циклопедии
  • Отказ от ответственности