Доказать что функции эквивалентны

Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) = 0 и lim x → x 0 β ( x ) = 0 .

Функции вида α ( x ) и β ( x ) называются эквивалентно бесконечно малыми, если значение x → x 0 , а lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .

Для нахождения пределов используют замены эквивалентных бесконечно малых. Их проводят, основываясь на данных таблицы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых

Когда имеем α ( x ) как бесконечно малую функцию со значением x → x 0 .

Для доказательства эквивалентности основываются на равенстве lim x → x 0 α ( x ) β ( x ) = 1 .

Доказать эквивалентность бесконечно малых величин ln ( 1 + α ( x ) ) и α ( x ) .

Необходимо вычислить предел отношения данных величин lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) .

При использовании одно свойства логарифмов, получаем, что

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1 α ( x ) ln ( 1 + α ( x ) ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )

Запишем предел вида

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x )

Логарифмическая функция считается непрерывной на своей области определения, тогда необходимо применять свойство предела непрерывных функций, причем сменить знак перед предельным переходом и логарифмом. Получаем, что

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x )

Необходимо произвести замену переменных t = α ( x ) . Имеем, что α ( x ) является бесконечно малой функцией с x → x 0 , тогда lim x → x 0 a ( x ) = 0 . Отсюда следует, что t → 0 .

Предел принимает вид

lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = ln ( 1 + α ( x ) ) 1 α ( x ) = ln lim x → x 0 1 + α ( x ) 1 a ( x ) = = ln lim t → 0 ( 1 + t ) 1 t = ln ( e ) = 1

Ответ: lim x → x 0 ln ( 1 + α ( x ) ) α ( x ) = 1

Получение 1 говорит о том, что заданные бесконечно малые функции эквивалентны. При последнем переходе применяли второй замечательный предел.

Таблица эквивалентных бесконечно малых необходима для ускорения процесса вычисления.

Вычислить предел функции lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 .

Производится подстановка значений

lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = 1 — cos ( 4 · 0 2 ) 16 · 0 4 = " open=" 0 0

Полученная неопределенность говорит о том, что функция бесконечно малая и для ее разрешения необходимо обратиться к таблице эквивалентных бесконечно малых. Тогда получаем, что функция 1 — cos α ( x ) является эквивалентной α ( x ) 2 2 , тогда имеем, что 1 — cos ( 4 x 2 ) является эквивалентной 4 x 2 2 2 .

После того, как была произведена замена бесконечно малой функции на ее эквивалентную, предел запишется так:

lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = " open=" 0 0 = lim x → 0 ( 4 x 2 ) 2 2 16 x 4 = lim x → 0 16 x 4 32 x 4 = 1 2

Без таблицы эквивалентных бесконечно малых не имели бы возможность воспользоваться правилом Лопиталя. Получаем, что

lim x → 0 1 — cos 4 x 2 16 x 4 = " open=" 0 0 = lim x → 0 1 — cos ( 4 x 2 ) ‘ 16 x 4 ‘ = lim x → 0 8 x sin ( 4 x 2 ) 64 x 3 = = lim x → 0 sin ( 4 x 2 ) 8 x 2 = " open=" 0 0 = lim x → 0 sin 4 x 2 ‘ 8 x 2 ‘ = lim x → 0 8 x cos ( 4 x 2 ) 16 x = 1 2 lim x → 0 cos ( 4 x 2 ) = 1 2

Можно было произвести преобразование функции с применением тригонометрических формул с применением первого замечательного предела. Запишем, что

lim x → 0 1 — cos ( 4 x 2 ) 16 x 4 = " open=" 0 0 = lim x → 0 2 sin 2 ( 2 x 2 ) 16 x 4 = = lim x → 0 1 2 · sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 · sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = 1 2 lim x → 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 · lim x → 0 sin ( 2 x 2 ) 2 x 2 = = п у с т ь t = 2 x 2 , t → 0 п р и x → 0 = 1 2 lim t → 0 sin ( t ) t · lim t → 0 sin ( t ) t = 1 2 · 1 · 1 = 1 2

Метод решения

Применение эквивалентных функций позволяет упростить вычисление пределов. Если нам нужно вычислить предел дроби, то мы можем заменить множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями и вычислять предел от более простого выражения. Подчеркнем, что речь идет именно о множителях в дробях и произведениях. Замена эквивалентными функциями в других выражениях, например в суммах, может привести к неправильному результату. Однако, ошибки не будет, если выразить любую функцию в виде суммы эквивалентной ей функции и о малого (см. пример ⇓).

Все связанные с этим определения и теоремы приводятся на странице «О большое и о малое. Сравнение функций». Напомним некоторые из них.

Применяемые определения и теоремы

Определение эквивалентных функций
Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при :
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.

Если при , то ;
если , то .
При этом функцию называют главной частью при . См. теорему о связи эквивалентных функций с о малым

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного
Если, при , и и существует предел
, то существует и предел
.
Доказательство

Отметим часто применяемое следствие этой теоремы. Пусть мы имеем частное, составленное из конечного произведения функций: . Тогда, при вычислении предела, эти функции можно заменить на эквивалентные:
,
где . Знак равенства означает, что если существует один из этих пределов, то существует и равный ему второй. Если не существует один из пределов, то не существует и второй. Разумеется, можно менять не все функции а только одну или некоторые из них.

Таблица эквивалентных функций

Далее приводится таблица функций, эквивалентных при . Здесь t может быть как переменной, так и бесконечно малой функцией при : ; .

Предостережение

Как указывалось в самом начале, производить замену функций эквивалентными можно только в множителях дробей и произведений, предел которых мы хотим найти. В других выражениях, например в суммах, делать такую замену нельзя.

В качестве примера рассмотрим следующий предел:
.
При . Но если заменить в числителе на x , то получим ошибку:
.
Ошибки не будет, если выразить синус через эквивалентную функцию и о малое, :
.
Поскольку и , то мы снова получили неопределенность 0/0 . Это указывает на то, что для вычисления этого предела применение эквивалентной функции не достаточно. Нужно применить другой метод.

Примеры

Все примеры Далее мы приводим подробные решения следующих пределов, упрощая вычисления с помощью эквивалентных функций.
⇓, ⇓, ⇓, ⇓.

Пример 1

Из таблицы эквивалентных функций ⇑ имеем:
. Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.

Пример 2

Из таблицы эквивалентных функций ⇑ находим:
.
Преобразуем квадрат логарифма:
.
Поскольку исходная функция является дробью и каждая из этих функций входит в нее в виде множителя в числителе или знаменателе, то заменим их на эквивалентные.
.

Пример 3

Здесь мы имеем неопределенность вида один в степени бесконечность. Приводим ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого воспользуемся тем, что экспонента и натуральный логарифм являются взаимно обратными функциями.
.
Теперь в показателе экспоненты у нас неопределенность вида 0/0 .

Вычисляем предел:
.
Поскольку у нас дробь, то заменим некоторые множители в числителе и знаменателе эквивалентными функциями, пользуясь приведенной выше таблицей ⇑.
;
;

.

Поскольку экспонента непрерывна для всех значений аргумента, то по теореме о пределе непрерывной функции от функции имеем:
.

Пример 4

При . Выясним, к чему стремится . Поскольку здесь дробь, то заменим логарифм эквивалентной функцией: . Тогда
. Таким образом, мы имеем неопределенность вида ∞–∞ .

Преобразуем ее к неопределенности вида 0/0 . Для этого приводим дроби к общему знаменателю.
.
Здесь мы также воспользовались формулой . После преобразований, наш предел принимает следующий вид:
.

В знаменателе мы сразу можем заменить натуральный логарифм эквивалентной функцией, как это сделали выше:
.

В числителе имеется произведение двух множителей, каждый из которых тоже можно заменить эквивалентной функцией и, таким образом, упростить вычисления. В качестве эквивалентных, попробуем найти степенные функции:
.
Тогда . Считаем, что . Раскрываем неопределенность по правилу Лопиталя.
.
Если положить , то . Тогда
.
Тот же результат можно получить, применяя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .

Найдем эквивалентную функцию для второго множителя, используя разложение в ряд Тейлора при :
.
Отсюда .

Теперь заменим множители эквивалентными функциями:
.

Примечание. Заметим, что делать замену функций на эквивалентные можно, только если функция, от которой ищется предел, является дробью или произведением. Тогда часть множителей в числителе или знаменателе можно заменить эквивалентными функциями. Так, если бы мы с самого начала заменили ln (1+x) на x, то получили бы ошибку.

Использованная литература:
Л.Д. Кудрявцев, А.Д. Кутасов, В.И. Чехлов, М.И. Шабунин. Сборник задач по математическому анализу. Том 1. Москва, 2003.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 10-05-2019

i(x) — б. м.ф. при х — хо- Нетрудно видеть, что Эквивалентные бесконечно малые функции условие эквивалентности символы Ландау так что отношение эквивалентности обладает свойством рефлексивности, симметричности и транзитивности. Приведем примеры эквивалентных бесконечно малых функций. В свое время мы установили, что Нетрудно показать, что Докажем, что Положим . Отсюда Ясно, что у Следовательно, Поэтому В частности, при получаем 0 при Докажем, что Положим . Тогда , откуда Ясно, что Используя равенство (1), пологим Переходя к пределу при х 0 (у 0), найдем Итак, Таблица эквивалентных бесконечно малых функций (асимптотических равенств) Определение. Если для функции /(х) можно подобрать числа anm,a^0,mG N, такие, что f(x)

р(х), х -* х0. По условию Отсюда что означает эквивалентность при х х0. Пример. Функции есть б. м. ф. при х 0. Их разность -у(х) = 2х3 при х — 0 является б. м. более высокого порядка, чем а(х) и /3(х). Следовательно, а(х)

/?(х), х — Пусть функции определены в некоторой окрестности П точки х0, кроме, быть может, самой точки х0, и пусть в некоторой окрестности По точки х0, х Ф- х0, р(х) Ф 0 (здесь точка х0 может быть конечной и бесконечной). Говорят, что /(х) есть о-малое от у?(х) и пишут если Соотношение , означает таким образом, что функция /(х) есть бесконечно малая по сравнению с ^(х) при х — х0. В частности, соотношение /(х) = о(1), х хо, означает, что /(х) — бесконечно малая функция при х хо. Примеры. Говорят, что /(х) есть О-большое от прихи пишут если существует число и окрестность П0 точки х0 такие, что Соотношение , означает, что /(х) ограничена в окрестности точки Хо- Примеры. Эквивалентные бесконечно малые функции условие эквивалентности символы Ландау Использование знака равенства в рассматриваемой ситуации является чисто условным, так как некоторые свойства знака равенства не сохраняются. Например, из «равенства» Напомним, что если то функции называют эквивалентными или асимптотически равными при и пишут Пользуясь таблицей (2) эквивалентных б. м. ф. и теоремой 25, получаем асимптотические формулы Всю группу соотношений , называют асимптотическими формулами или асимптотическими оценками. Упражнения Найдите пределы: Пользуясь эквивалентными б. м. ф., найдите пределы:

Информация расположенная на данном сайте несет информационный характер и используется для учебных целей.
© Брильёнова Наталья Валерьевна