Доказать что функция непрерывна в точке x0

Непрерывность в точке

Определение непрерывности функции в точке
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x ₀ , если она определена на некоторой окрестности U ( x ₀) этой точки, и если предел при x стремящемся к x ₀ существует и равен значению функции в x ₀ :
.

Здесь подразумевается, что x ₀ – это конечная точка. Значение функции в ней может быть только конечным числом.

Если привлечь сюда определение конечного предела функции в конечной точке, то можно дать развернутую формулировку определения непрерывности функции. Поскольку имеется два равносильных определения предела функции (по Коши и по Гейне), то можно дать, как минимум, еще два эквивалентных определения непрерывности.

Определение непрерывности функции в точке по Гейне
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x ₀ , если она определена на некоторой окрестности U ( x ₀) этой точки, и если для любой последовательности < x_n > , сходящейся к x ₀ : , элементы которой принадлежат окрестности U ( x ₀) , последовательность < f ( x_n ) > сходится к f ( x ₀) :
.

Определение непрерывности функции в точке по Коши
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x ₀ , если она определена на некоторой окрестности U ( x ₀) этой точки, и если, для любого сколь угодно малого положительного числа ε > 0 , существует такое число δ_ε > 0 , зависящее от ε , что для всех x , принадлежащих δ_ε — окрестности точки x ₀ : , значения функции принадлежат ε — окрестности точки f ( x ₀) :
.

Запишем эти определения с помощью логических символов существования и всеобщности.
По Гейне:
.
По Коши:
.

Легко видеть, что определение непрерывности отличается от определения предела только тем, что вместо проколотой окрестности точки используется просто окрестность точки, которая содержит . При этом значение предела может быть равным только значению функции в этой точке: .

Можно сформулировать понятие непрерывности в терминах приращений. Для этого мы вводим новую переменную , которая называется приращением переменной x в точке . Далее мы рассматриваем новую функцию:
.
Ее называют приращением функции в точке . Считаем, что она зависит от переменной : . Тогда можно дать еще одно определение.

Определение непрерывности функции в точке в терминах приращений
Функция f ( x ) называется непрерывной в точке x ₀ , если она определена на некоторой окрестности этой точки, и если предел приращения этой функции в точке , при , равен нулю:
.

Определение отсутствия непрерывности

Теперь приведем определение того, что функция не является непрерывной в точке .

Определение отсутствия непрерывности функции в точке
Функция , определенная на некоторой окрестности точки не является непрерывной в этой точке, если предела функции при не существует, или он не равен значению функции в точке :
.

По Гейне это означает, что существует такая последовательность , для которой предел либо не существует, либо он не равен :
.

По Коши это означает, что существует такое , так что для любого существует , для которого :
.

Непрерывность на концах отрезка

В рассмотренных выше определениях считается, что функция определена на некоторой окрестности слева и справа от точки . Если функция определена на некотором отрезке , то мы можем применять эти определения для внутренних точек отрезка, для которых . Для концов отрезка a и b нужно дать определение односторонней непрерывности, аналогичное определению односторонних пределов.

Определение непрерывности справа (слева)
Функция f ( x ) называется непрерывной справа (слева) в точке x ₀ , если она определена на некоторой правосторонней (левосторонней) окрестности этой точки, и если правый (левый) предел в точке x ₀ равен значению функции в x ₀ :
.

Примеры

Пример 1

Используя определения по Гейне и Коши доказать, что функция непрерывна для всех x .

Пусть есть произвольное число. Докажем, что заданная функция непрерывна в точке . Функция определена для всех x . Поэтому она определена в точке и в любой ее окрестности.

Используем определение по Гейне

Используем определение непрерывности по Гейне ⇑. Пусть есть произвольная последовательность, сходящаяся к : . Применяя свойство предела произведения последовательностей имеем:
.
Поскольку есть произвольная последовательность, сходящаяся к , то
.
Непрерывность доказана.

Используем определение по Коши

Используем определение непрерывности по Коши ⇑.
Рассмотрим случай . Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки . Поэтому будем считать, что
(П1.1) .

Применим формулу:
.
Учитывая (П1.1), сделаем оценку:

;
(П1.2) .

Применяя (П1.2), оценим абсолютную величину разности:
;
(П1.3) .
Вводим положительные числа и , связав их соотношениями:
.
Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П1.3), если и если , то .

Это означает, что для любого положительного всегда найдется . Тогда для всех x , удовлетворяющих неравенству , автоматически выполняется неравенство:
.
Это означает, что функция непрерывна в точке .

Теперь рассмотрим точку . В этом случае
.
Вводим положительные числа и :
.

Отсюда видно, что для любого положительного всегда найдется . Тогда для всех x , таких что , выполняется неравенство:
.
Это означает, что функция непрерывна в точке .

Аналогичным способом можно доказать, что функция , где n – натуральное число, непрерывна на всей действительной оси.

Пример 2

Используя определение непрерывности по Коши ⇑ доказать, что функция непрерывна для всех .

Заданная функция определена при . Докажем, что она непрерывна в точке .

Рассмотрим случай .
Мы вправе рассматривать функцию на любой окрестности точки . Поэтому будем считать, что
(П2.1) .

Применим формулу:
(П2.2) .
Положим . Тогда
.

Учитывая (П2.1), сделаем оценку:

.
Итак,
.

Применяя это неравенство, и используя (П2.2), оценим разность:

.
Итак,
(П2.3) .

Вводим положительные числа и , связав их соотношениями:
.
Согласно свойствам неравенств, если выполняется (П2.3), если и если , то .

Теперь рассмотрим точку . Нам нужно показать, что заданная функция непрерывна в этой точке справа. В этом случае
.
Вводим положительные числа и :
.

Отсюда видно, что для любого положительного всегда найдется . Тогда для всех x , таких что , выполняется неравенство:
.
Это означает, что . То есть функция непрерывна справа в точке .

Аналогичным способом можно доказать, что функция , где n – натуральное число, непрерывна при .

Использованная литература:
О.И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
Л.Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С.М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 21-08-2018

Как доказать непрерывность функции
Как найти наклонную асимптоту
Как решить функцию

Пример 1: докажите непрерывность функции f(x) = x^2 в точке x_0.

По ε-Δ определению существует такое ε > 0, что |x^2 – x_0^2|

Некоторые элементарные функции являются непрерывными на всей области определения (множестве значений X):

f(x) = C (константа); все тригонометрические функции — sin x, cos x, tg x, ctg x и пр.

Пример 2: докажите непрерывность функции f(x) = sin x.

По определению непрерывности функции по ее бесконечно малому приращению запишите:

Δf = sin (x + Δx) — sin x.

Преобразуйте по формуле для тригонометрических функций:

Δf = 2*cos((x + Δx)/2)*sin(Δx/2).

Функция cos ограничена при x ≤ 0, а предел функции sin(Δx/2) стремится к нулю, следовательно, она является бесконечно малой при Δx→0. Произведение ограниченной функции и бесконечно малоq величины, а значит и приращение исходной функции Δf также является бесконечной малой величиной. Следовательно, функция f(x) = sin x непрерывна для любого значения x.

Пример 1: докажите непрерывность функции f(x) = x^2 в точке x_0.

По ε-Δ определению существует такое ε > 0, что |x^2 – x_0^2|

Некоторые элементарные функции являются непрерывными на всей области определения (множестве значений X):

f(x) = C (константа); все тригонометрические функции — sin x, cos x, tg x, ctg x и пр.

Пример 2: докажите непрерывность функции f(x) = sin x.

По определению непрерывности функции по ее бесконечно малому приращению запишите:

Δf = sin (x + Δx) — sin x.

Преобразуйте по формуле для тригонометрических функций:

Δf = 2*cos((x + Δx)/2)*sin(Δx/2).

Некоторые элементарные функции являются непрерывными на всей области определения (множестве значений X):

f(x) = C (константа); все тригонометрические функции — sin x, cos x, tg x, ctg x и пр.

Пример 2: докажите непрерывность функции f(x) = sin x.

По определению непрерывности функции по ее бесконечно малому приращению запишите:

Δf = sin (x + Δx) — sin x.

Преобразуйте по формуле для тригонометрических функций:

Δf = 2*cos((x + Δx)/2)*sin(Δx/2).

Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

Непрерывность функции в точке

Функция f ( x ) является непрерывной в точке x 0 , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x 0 , т.е.: lim x → x 0 — 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) = f ( x 0 )

Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

Дана функция f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 . Необходимо доказать ее непрерывность в точке х 0 = 2 .

Решение

В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 · ( х n 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

— 2 , 0 , 1 , 1 1 2 , 1 3 4 , 1 7 8 , 1 15 16 , . . . , 1 1023 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

f ( — 2 ) ; f ( 0 ) ; f ( 1 ) ; f 1 1 2 ; f 1 3 4 ; f 1 7 8 ; f 1 15 16 ; . . . ; f 1 1023 1024 ; . . . = = 8 . 667 ; 2 . 667 ; 0 . 167 ; — 0 . 958 ; — 1 . 489 ; — 1 . 747 ; — 1 . 874 ; . . . ; — 1 . 998 ; . . . → — 2

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к — 2 , значит lim x → 2 — 0 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов х n , сводящуюся к х 0 = 2 ( х n > 2 ) . Например, такой последовательностью может быть:

6 , 4 , 3 , 2 1 2 , 2 1 4 , 2 1 8 , 2 1 16 , . . . , 2 1 1024 , . . . → 2

Соответствующая последовательность функций:

f ( 6 ) ; f ( 4 ) ; f ( 3 ) ; f 2 1 2 ; f 2 1 4 ; f 2 1 8 ; f 2 1 16 ; . . . ; f 2 1 1024 ; . . . = = — 7 . 333 ; — 5 . 333 ; — 3 . 833 ; — 2 . 958 ; — 2 . 489 ; — 2 . 247 ; — 2 . 247 ; — 2 . 124 ; . . . ; — 2 . 001 ; . . . → — 2

на рисунке обозначена синим цветом.

И эта последовательность сводится к — 2 , тогда lim x → 2 + 0 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f ( x ) = 1 6 x — 8 2 — 8 в точке х 0 = 2 , при этом lim x → 2 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 = — 2 .

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

lim x → 2 — 0 f ( x ) = lim x → 2 + 0 f ( x ) = f ( 2 ) = 1 6 ( 2 — 8 ) 2 — 8 = — 2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.

Ответ: Непрерывность функции f ( x ) = 1 6 ( x — 8 ) 2 — 8 в заданной части доказано.

Устранимый разрыв первого рода

Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:

lim x → x 0 — 0 f ( x ) = lim x → x 0 + 0 f ( x ) ≠ f ( x 0 )

Задана функция f ( x ) = x 2 — 25 x — 5 . Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.

Решение

Сначала обозначим область определения функции: D ( f ( x ) ) ⇔ D x 2 — 25 x — 5 ⇔ x — 5 ≠ 0 ⇔ x ∈ ( — ∞ ; 5 ) ∪ ( 5 ; + ∞ )

В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х 0 = 5 . Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.

Выражение x 2 — 25 x — 5 упростим: x 2 — 25 x — 5 = ( x — 5 ) ( x + 5 ) x — 5 = x + 5 .

Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g ( x ) = x + 5 является непрерывной при любом действительном x , тогда:

lim x → 5 — 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10 lim x → 5 + 0 ( x + 5 ) = 5 + 5 = 10

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х 0 = 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Неустранимый разрыв первого рода

Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х 0 , когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: lim x → x 0 — 0 f ( x ) ≠ lim x → x 0 + 0 f ( x ) . Точка х 0 здесь – точка скачка функции.

Задана кусочно-непрерывная функция f ( x ) = x + 4 , x — 1 , x 2 + 2 , — 1 ≤ x 1 2 x , x ≥ 1 . Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Решение

Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х 0 = — 1 или в точке х 0 = 1 .

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

слева от точки х 0 = — 1 заданная функция есть f ( x ) = x + 4 , тогда в силу непрерывности линейной функции: lim x → — 1 — 0 f ( x ) = lim x → — 1 — 0 ( x + 4 ) = — 1 + 4 = 3 ;
непосредственно в точке х 0 = — 1 функция принимает вид: f ( x ) = x 2 + 2 , тогда: f ( — 1 ) = ( — 1 ) 2 + 2 = 3 ;
на промежутке ( — 1 ; 1 ) заданная функция есть: f ( x ) = x 2 + 2 . Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: lim x → — 1 + 0 f ( x ) = lim x → — 1 + 0 ( x 2 + 2 ) = ( — 1 ) 2 + 2 = 3 lim x → 1 — 0 f ( x ) = lim x → 1 — 0 ( x 2 + 2 ) = ( 1 ) 2 + 2 = 3
в точке х 0 = — 1 функция имеет вид: f ( x ) = 2 x и f ( 1 ) = 2 · 1 = 2 .
справа от точки х 0 заданная функция есть f ( x ) = 2 x . В силу непрерывности линейной функции: lim x → 1 + 0 f ( x ) = lim x → 1 + 0 ( 2 x ) = 2 · 1 = 2

Ответ: в конечном счете мы получили:

lim x → — 1 — 0 f ( x ) = lim x → — 1 + 0 f ( x ) = f ( — 1 ) = 3 — это означает, что в точке х 0 = — 1 заданная кусочная функция непрерывна;
lim x → — 1 — 0 f ( x ) = 3 , lim x → 1 + 0 f ( x ) = 2 — таким образом, в точке х 0 = 1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

Функция имеет разрыв второго рода в точке х 0 , когда какой-либо из пределов слева lim x → x 0 — 0 f ( x ) или справа lim x → x 0 + 0 f ( x ) не существует или бесконечен.

Задана функция f ( x ) = 1 x . Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.

Решение

Запишем область определения функции: x ∈ ( — ∞ ; 0 ) ∪ ( 0 ; + ∞ ) .

Найдем пределы справа и слева от точки х 0 = 0 .

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 слева. К примеру:

— 8 ; — 4 ; — 2 ; — 1 ; — 1 2 ; — 1 4 ; . . . ; — 1 1024 ; . . .

Ей соответствует последовательность значений функции:

f ( — 8 ) ; f ( — 4 ) ; f ( — 2 ) ; f ( — 1 ) ; f — 1 2 ; f — 1 4 ; . . . ; f — 1 1024 ; . . . = = — 1 8 ; — 1 4 ; — 1 2 ; — 1 ; — 2 ; — 4 ; . . . ; — 1024 ; . . .

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда lim x → 0 — 0 f ( x ) = lim x → 0 — 0 1 x = — ∞ .

Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х 0 справа. К примеру: 8 ; 4 ; 2 ; 1 ; 1 2 ; 1 4 ; . . . ; 1 1024 ; . . . , и ей соответствует последовательность значений функции:

f ( 8 ) ; f ( 4 ) ; f ( 2 ) ; f ( 1 ) ; f 1 2 ; f 1 4 ; . . . ; f 1 1024 ; . . . = = 1 8 ; 1 4 ; 1 2 ; 1 ; 2 ; 4 ; . . . ; 1024 ; . . .

Эта последовательность — бесконечно большая положительная, а значит lim x → 0 + 0 f ( x ) = lim x → 0 + 0 1 x = + ∞ .

Ответ: точка х 0 = 0 — точка разрыва функции второго рода.