Вели́кая теоре́ма Ферма́ (или Последняя теорема Ферма) — одна из самых популярных теорем математики. Её условие формулируется просто, на «школьном» арифметическом уровне, однако доказательство теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Доказана в 1994 году Эндрю Уайлсом с коллегами (доказательство опубликовано в 1995 году).

Содержание

Формулировка

Теорема утверждает [1] , что для любого натурального числа 2>"> n > 2 <displaystyle n>2> 2"/> уравнение:

a n + b n = c n <displaystyle a^+b^=c^>

не имеет решений в целых ненулевых числах a , b , c <displaystyle a,b,c> .

Встречается более узкий вариант формулировки, утверждающий, что это уравнение не имеет натуральных решений. Однако очевидно, что если существует решение для целых чисел, то существует и решение в натуральных числах. В самом деле, пусть a , b , c <displaystyle a,b,c> — целые числа, дающие решение уравнения Ферма. Если n <displaystyle n> чётно, то | a | , | b | , | c | <displaystyle |a|,|b|,|c|> тоже будут решением, а если нечётно, то перенесём все степени отрицательных значений в другую часть уравнения, изменив знак. Например, если бы существовало решение уравнения a 3 + b 3 = c 3 <displaystyle a^<3>+b^<3>=c^<3>> и при этом a <displaystyle a> отрицательно, а прочие положительны, то b 3 = c 3 + | a | 3 <displaystyle b^<3>=c^<3>+|a|^<3>> , и получаем натуральные решения c , | a | , b . <displaystyle c,|a|,b.> Поэтому обе формулировки эквивалентны.

Обобщениями утверждения теоремы Ферма являются опровергнутая гипотеза Эйлера и открытая гипотеза Ландера — Паркина — Селфриджа.

История

Для случая n = 3 <displaystyle n=3> эту теорему в X веке пытался доказать ал-Ходжанди, но его доказательство не сохранилось.

В общем виде теорема была сформулирована Пьером Ферма в 1637 году на полях «Арифметики» Диофанта. Дело в том, что Ферма делал свои пометки на полях читаемых математических трактатов и там же формулировал пришедшие на ум задачи и теоремы. Теорему, о которой ведётся речь, он записал с припиской, что найденное им остроумное доказательство этой теоремы слишком длинно, чтобы его можно было поместить на полях книги:

Наоборот, невозможно разложить куб на два куба, биквадрат на два биквадрата и вообще никакую степень, большую квадрата, на две степени с тем же показателем. Я нашёл этому поистине чудесное доказательство, но поля книги слишком узки для него.

Ферма приводит только доказательство, как решение задачи, сводимой к четвёртой степени теоремы n = 4 <displaystyle n=4> , в 45-м комментарии к «Арифметике» Диофанта [2] и в письме к Каркави (август 1659 года) [3] . Кроме этого, Ферма включил случай n = 3 <displaystyle n=3> в список задач, решаемых методом бесконечного спуска [3] .

Эйлер в 1770 году доказал теорему [4] для случая n = 3 <displaystyle n=3> , Дирихле и Лежандр в 1825 — для n = 5 <displaystyle n=5> , Ламе — для n = 7 <displaystyle n=7> . Куммер показал, что теорема верна для всех простых n <displaystyle n> , меньших 100, за возможным исключением так называемых иррегулярных простых 37, 59, 67.

Над полным доказательством Великой теоремы работало немало выдающихся математиков и множество дилетантов-любителей; считается, что теорема стоит на первом месте по количеству некорректных «доказательств». Тем не менее эти усилия привели к получению многих важных результатов современной теории чисел. Давид Гильберт в своём докладе «Математические проблемы» на II Международном конгрессе математиков (1900) отметил, что поиск доказательства для этой, казалось бы, малозначимой теоремы привёл к глубоким результатам в теории чисел [5] . В 1908 году немецкий любитель математики Вольфскель завещал 100 тыс. немецких марок тому, кто докажет теорему Ферма. Однако после Первой мировой войны премия обесценилась.

В 1980-х годах появился новый подход к решению проблемы. Из гипотезы Морделла, доказанной Фальтингсом в 1983 году, следует, что уравнение a n + b n = c n <displaystyle a^+b^=c^> при 3>"> n > 3 <displaystyle n>3> 3"/> может иметь лишь конечное число взаимно простых решений.

Немецкий математик Герхард Фрай [en] предположил, что Великая теорема Ферма является следствием гипотезы Таниямы — Симуры. Это предположение было доказано Кеном Рибетом [en] [6] .

Последний важный шаг в доказательстве теоремы был сделан Уайлсом в сентябре 1994 года. Его 130-страничное доказательство было опубликовано в журнале «Annals of Mathematics» [7] .

Первый вариант своего доказательства Уайлс опубликовал в 1993 году (после семи лет работы), но в нём вскоре был обнаружен серьёзный [ какой? ] пробел, который с помощью Ричарда Лоуренса Тейлора удалось достаточно быстро устранить [8] . В 1995 году был опубликован завершающий вариант [9] . В 2016 году за доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлс получил Абелевскую премию [10] .

Колин Мак-Ларти отметил, что, возможно, доказательство Уайлса удастся упростить, чтобы не предполагать существования так называемых «больших кардиналов» [11] [12] .

Теорема Ферма также тривиально следует из abc-гипотезы, о доказательстве которой заявил японский математик Синъити Мотидзуки; его доказательство отличается исключительной сложностью. В настоящее время в математическом сообществе нет ясного консенсуса в отношении его работ [13] .

Некоторые вариации и обобщения

Одна из гипотез, выдвинутых Эйлером (1769 год), утверждала, что уравнение a 4 + b 4 + c 4 = d 4 <displaystyle a^<4>+b^<4>+c^<4>=d^<4>> не имеет натуральных решений a , b , c , d . <displaystyle a,b,c,d.> Только в наши дни, с помощью мощных компьютеров, удалось найти контрпримеры, опровергающие гипотезу. В 1988 году Ноам Элкис обнаружил следующее решение [14] :

2682440 4 + 15365639 4 + 18796760 4 = 20615673 4 . <displaystyle 2682440^<4>+15365639^<4>+18796760^<4>=20615673^<4>.>

Позднее были найдены и другие решения; простейшее из них:

95800 4 + 217519 4 + 414560 4 = 422481 4 . <displaystyle 95800^<4>+217519^<4>+414560^<4>=422481^<4>.>

Ещё одним популярным обобщением теоремы Ферма является гипотеза Била, сформулированная в 1993 году американским математиком-любителем, пообещавшим за её доказательство или опровержение 1 млн долларов США.

«Ферматисты»

Простота формулировки теоремы Ферма (доступная в понимании даже школьнику), а также сложность единственного известного доказательства (или неведение о его существовании), вдохновляют многих на попытки найти другое, более простое, доказательство. Людей, пытающихся доказать теорему Ферма элементарными методами, называют «ферматистами» или «ферматиками». [15] Ферматисты зачастую не являются профессионалами и допускают ошибки в арифметических действиях или логических выводах, хотя некоторые представляют весьма изощрённые «доказательства», в которых трудно найти ошибку.

Доказывать теорему Ферма в среде любителей математики было настолько популярно, что в 1972 году журнал «Квант», публикуя статью о теореме Ферма, сопроводил её следующей припиской [15] : «Редакция „Кванта“ со своей стороны считает необходимым известить читателей, что письма с проектами доказательств теоремы Ферма рассматриваться (и возвращаться) не будут».

Немецкому математику Эдмунду Ландау очень докучали «ферматисты». Чтобы не отвлекаться от основной работы, он заказал несколько сот бланков с шаблонным текстом, сообщающим, что на определённой строке на некоторой странице находится ошибка, при этом находить ошибку и заполнять пробелы в бланке он поручал своим аспирантам.

Примечательно, что отдельные ферматисты добиваются публикации своих (неверных) «доказательств» в ненаучной прессе, которая раздувает их значение до научной сенсации [16] [17] . Впрочем, иногда такие публикации появляются и в уважаемых научных изданиях [18] , как правило, с последующими опровержениями [19] . Среди других примеров:

  • Брошюра В. И. Будкина, изданная в Ярославле под названием «Методика познания „истины“. Доказательство Великой теоремы Ферма» (47 с., 5000 экз., Верхне-Волжское книжное издательство, 1975) [20] .
  • Книга Л. Ш. Райхеля «Великая теорема», изданная в Ленинграде в 1990 году [21] .
  • Свидетельство о регистрации авторских прав на произведение «доказательство теоремы Ферма», выданное Министерством образования и науки Украины Л. В. Шаповаловой и Г. А. Середкину. Документ не удостоверяет каким-либо образом правильность доказательства, а лишь регистрирует авторские права на поданный в Министерство образования и науки печатный труд; на это министерство возложена обязанность ведения реестра таких свидетельств [22] .

Теорема Ферма в культуре и искусстве

Великая теорема Ферма стала символом труднейшей научной проблемы и в этом качестве часто упоминается в беллетристике. Далее перечислены некоторые произведения, в которых теорема не просто упомянута, но является существенной частью сюжета или идеологии произведения.

  • В рассказе Артура Порджеса«Саймон Флэгг и дьявол»[23] профессор Саймон Флегг обращается за доказательством теоремы к дьяволу. По этому рассказу снят игровой научно-популярный фильм «Математик и чёрт» (СССР, 1972, производство Центрнаучфильм, творческое объединение «Радуга», режиссёр Райтбурт). [24]
  • Экранизация: короткометражка «Математик и чёрт» (1972).
  • А. П. Казанцев в романе «Острее шпаги» в 1983 году предложил оригинальную версию отсутствия доказательства самого Пьера Ферма.
  • В телесериале «Звёздный Путь» капитан космического корабля Жан-Люк Пикар был озадачен разгадкой Великой теоремы Ферма во второй половине XXIV века. Таким образом, создатели фильма предполагали, что решения у Великой теоремы Ферма не будет в ближайшие 400 лет. Серия «Рояль» с этим эпизодом была снята в 1989 году, когда Эндрю Уайлс был в самом начале своих работ. В действительности решение было найдено всего спустя пять лет.
  • В посвящённой Хэллоуину 1995 года серии «Симпсонов» двухмерный Гомер Симпсон случайно попадает в третье измерение. Во время его путешествия в этом странном мире в воздухе парят геометрические тела и математические формулы, включая неверное равенство 1782 12 + 1841 12 = 1922 12 <displaystyle 1782^<12>+1841^<12>=1922^<12>>. Калькулятор с точностью не более 10 значащих цифр подтверждает это равенство: 1782 12 + 1841 12 = 2 541 210 258 614 589 176 288 669 958 142 428 526 657 ≈ 2,541 210 259 ⋅ 10 39 , 1922 12 = 2 541 210 259 314 801 410 819 278 649 643 651 567 616 ≈ 2,541 210 259 ⋅ 10 39 . <displaystyle <egin1782^<12>+1841^<12>&=2,541,210,258,614,589,176,288,669,958,142,428,526,657approx 2<,>541,210,259cdot 10^<39>,\1922^<12>&=2,541,210,259,314,801,410,819,278,649,643,651,567,616approx 2<,>541,210,259cdot 10^<39>.end>>

    • Тем не менее, даже без вычисления точных значений легко видеть, что равенство неверно: левая часть — нечётное число, а правая часть — чётное.

    • В первом издании «Искусства программирования» Дональда Кнута теорема Ферма приведена в качестве упражнения с математическим уклоном в самом начале книги и оценена максимальным числом (50) баллов, как «исследовательская проблема, которая (насколько это было известно автору в момент написания) ещё не получила удовлетворительного решения. Если читатель найдет решение этой задачи, его настоятельно просят опубликовать его; кроме того, автор данной книги будет очень признателен, если ему сообщат решение как можно быстрее (при условии, что оно правильно)». В третьем издании книги это упражнение уже требует знаний высшей математики и оценивается лишь в 45 баллов.
    • В книге Стига Ларссона «Девушка, которая играла с огнём» [25] главная героиня Лисбет Саландер, обладающая редкими способностями к аналитике и фотографической памятью, в качестве хобби занята доказательством Великой теоремы Ферма, на которую она наткнулась, читая фундаментальный труд «Измерения в математике», в котором приводится и доказательство Эндрю Уайлса. Лисбет не хочет изучать готовое доказательство, а главным интересом становится поиск собственного решения. Поэтому всё своё свободное время она посвящает самостоятельному поиску «замечательного доказательства» теоремы великого француза, но раз за разом заходит в тупик. В конце книги Лисбет находит доказательство, которое не только совершенно отлично от предложенного Уайлсом, но и является настолько простым, что сам Ферма мог бы его найти. Однако после ранения в голову она его забывает, и Ларссон не приводит никаких подробностей этого доказательства.
    • Мюзикл «Последнее танго Ферма», изданный институтом Клэя, создан в 2000 годуДжошуа Розенблюмом (англ.Joshua Rosenblum ) и Джоан Лесснер по мотивам реальной истории Эндрю Уайлса. Главный герой по имени Дэниел Кин завершает доказательство теоремы, а дух самого Ферма старается ему помешать [26] .
    • За несколько дней до своей смерти Артур Кларк успел отрецензировать рукопись романа «Последняя Теорема», над которой он трудился в соавторстве с Фредериком Полом. Книга вышла уже после смерти Кларка.

    Примечания

    1. ↑ Ферма теорема // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия, 1985. — Т. 5.
    2. ↑ Diophantus of Alexandria. Arithmeticorum libri sex, et de numeris multangulis liber unus. Cum commentariis C.G. Bacheti V.C. & observationibus D.P. de Fermat senatoris Tolosani. Toulouse, 1670, pp. 338—339.
    3. ↑ 12Fermat a Carcavi. Aout 1659. Oeuvres de Fermat. Tome II. Paris: Tannery & Henry, 1904, pp. 431—436.
    4. ↑Ю. Ю. Мачис.О предполагаемом доказательстве Эйлера // Математические заметки. — 2007. — Т. 82 , № 3 . — С. 395—400 . Английский перевод: J. J. Mačys.On Euler’s hypothetical proof (англ.) // Mathematical Notes : journal. — 2007. — Vol. 82 , no. 3—4 . — P. 352—356 . — DOI:10.1134/S0001434607090088.
    5. ↑ Давид Гильберт. Математические проблемы:

    Проблема доказательства этой неразрешимости являет разительный пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная проблема. Ибо, побуждённый задачей Ферма, Куммер пришёл к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь, благодаря обобщениям на любую алгебраическую числовую область, полученным Дедекиндом и Кронекером, является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций.

    Великая теорема Ферма формулируется следующим образом: диофантово уравнение:

    А n + В n = С n (1)

    где n — целое положительное число, большее двух, не имеет решения в целых положительных числах.

    Суть Великой теоремы Ферма не изменится, если уравнение /1/ запишем следующим образом:

    А n = С n — В n (2)

    Рассмотрим частное решение уравнения (2) при показателе степени n=3. В этом случае уравнение (2) запишется следующим образом:

    A 3 = C 3 — B 3 = (C-B) ∙ (C 2 + C·B +B 2 ) (3)

    Обозначим: C — B = K (4)

    Отсюда: C=B+K; B=C-K (5)

    Из уравнений (3), (4) и (5) имеем:

    A 3 = K [C 2 + C∙ (C-K) + (C-K) 2 ] =3K·C 2 — 3K 2 ∙C +K 3 (6)

    3K·C 2 — 3K 2 ∙C — (A 3 — K 3 ) = 0 (7)

    Уравнение (7) рассматриваем как квадратное параметрическое с параметрами А и К и переменной величиной С. Решая его, получим:

    C = (8)

    Число C будет целым только при условии, если:

    = 3N∙K 2 (9)

    Отсюда: 12K∙A 3 — 3K 4 = 9N 2 ·K 4

    A = K (10)

    K = A (11)

    Из анализа формулы (10) следует, что для того чтобы число A могло быть целым числом, число N должно быть нечетным числом.

    Рассмотрим решение уравнения (10) на числовых примерах.

    N =3; A = (1,9129…) · K

    N =5; A = (2,6684…) ∙ K

    Рассмотрим решение уравнения (11) на числовых примерах.

    N =3; K = (0,5227…) · A

    N =5; A = (0,3747…) ∙ A

    Из приведенных примеров следует, что только при N =1 числа K и A являются целыми числами, при этом K = A. В этом случае из уравнения (8) следует:

    А из уравнения (5) следует: B=0.

    Следовательно, только при C=K=A и при B=0 уравнение (2) имеет решение в целых числах. Таким образом, великая теорема Ферма не имеет решения в целых положительных числах при показателе степени n=3.

    Учебный год: 2010 / 2011

    Материалы работы: 588494.zip * (154,5 кБ)

    Описание работы:

    Центральным местом работы является собственное доказательство частного случая (n = 3, n = 4 и для простого z) великой теоремы Ферма. Уровень использованных знаний не выходит за пределы школьной программы. Доказательство представляет особую ценность, так как обнаруживает умение самостоятельно мыслить и является первыми шагами в серьезной научной работе.