Алгебра 8 класс. Контрольная работа КР-1 Множества и операции над ними для УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Алгебра 8 класс Самостоятельные и контрольные работы» (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др., изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.
Контрольная работа № 1 по алгебре в 8 классе (угл.)
КР-1 Множества и операции над ними
Тема. Множества и операции над ними. Вариант 1.
1. Задайте с помощью перечисления элементов множество A = <>.
2. Запишите все подмножества множества делителей числа 7.
3. Какие из приведённых утверждений являются верными:
4. Какие из приведённых утверждений являются верными:
5. На фирме работает 29 человек. Из них 15 человек знают немецкий язык, 21 — английский и 8 человек знают оба языка. Сколько работников фирмы не знают ни одного из этих языков?
6. Докажите, что множества А и В равны.
7. Докажите, что множество чисел вида , где n е N, счётно.
8. Множество А содержит 25 элементов. Каких подмножеств этого множества больше: с чётным количеством элементов или с нечётным количеством элементов?
ОТВЕТЫ на Контрольную № 1
ВАРИАНТ 1.
№ 1. A = <2, -7>
№ 2. A = <1, -1, 7, -7>
№ 3. 1) не верно, 2) не верно, 3) не верно, 4) не верно
№ 4. 1) верно, 2) не верно, 3) не верно, 4) верно, 5) верно, 6) верно.
№ 5. Ответ: 1 человек
№ 6. А = В, если их объединение и пересечение совпадает. A ∪ B =
№ 7. При n = 1 ⇒ 1/2; при n = 2 ⇒ 1/4; при n = 3 ⇒ 1/6 и так далее. Все элементы множества различны и образуют числовую последовательность. Значит, счётно.
№ 8. 1 и 25 (начало и конец) — нечетные числа. Значит, нечетных будет больше.
ВАРИАНТ 2.
№ 1. A = <4, -6>
№ 2. A = <1, -1, 5, -5>
№ 3. 1) не верно, 2) не верно, 3) не верно, 4) не верно
№ 4. 1) не верно, 2) верно, 3) верно, 4) верно, 5) не верно, 6) не верно.
№ 5. Ответ: 5 человек
№ 6. C = D, если их объединение и пересечение совпадает. C ∪ D =
№ 7. При k = 1 ⇒ 1/3; при k = 2 ⇒ 1/6; при k = 3 ⇒ 1/9 и так далее. Все элементы множества различны и образуют числовую последовательность. Значит, счётно.
№ 8. 1 и 27 (начало и конец) — нечетные числа. Значит, нечетных будет больше.
Алгебра 8 класс. Контрольная работа № 1 «Множества и операции над ними» для УМК Мерзляк, Поляков (УГЛУБЛЕННОЕ изучение) + ОТВЕТЫ. Цитаты из пособия «Алгебра 8 класс Самостоятельные и контрольные работы» (авт. Мерзляк, Полонский, Рабинович и др., изд-во «Вентана-Граф») использованы в учебных целях.
Очень часто в задачах по дискретной математике, а именно в теории множеств, требуется доказать равенство множеств. Напомним, что равенство множеств $M=N$ означает выполнение взаимного включения, то есть $Msubseteq N$ и $Nsubseteq M$. Следовательно, для доказательства равенства $M=N$ множеств $M, N$ нужно показать выполнение этих включений. Делать это можно различными способами:
- по определению теоретико-множественных операций;
- с помощью законов алгебры множеств;
- построением диаграмм Эйлера-Венна;
- построением таблиц принадлежности;
- используя индикаторные функции.
Продемонстрируем каждый из этих способов на конкретном примере.
Доказать равенство множеств:
$$left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$$
1. Равенство двух множеств $M=N$ эквивалентно двум включениям $Msubseteq N, Nsubseteq M$.
Докажем, что $left(Acap B
ight)ackslash Csubseteq left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$. Пусть $xin left(Acap B
ight)ackslash C$, тогда по определению разности множеств $xin left(Acap B
ight)$ и $x
otin C$. По определению пересечения множеств $xin left(Acap B
ight)$ тогда и только тогда, когда $xin A$ и $xin B$. Так как $xin A$ и $x
otin C$, то $xin Aackslash C$. Так как $xin B$ и $x
otin C$, то $xin Backslash C$. По определению пересечения получаем, что $xin left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$. Что доказывает то, что $left(Acap B
ight)ackslash Csubseteq left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$.
Докажем, что $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)subseteq left(Acap B
ight)ackslash C$. Пусть $xin left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$, тогда по определению пересечения множеств $xin left(Aackslash C
ight)$ и $xin left(Backslash C
ight)$. По определению разности множеств $xin A$, $x
otin C$ и $xin B, x
otin C$. По определению пересечения получаем, что $xin left(Acap B
ight) и x
otin C$, то есть $xin left(Acap B
ight)ackslash C$. Что доказывает то, что $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)subseteq left(Acap B
ight)ackslash C$. Из доказанных включений следует, что $Aleft(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$.
2. Докажем справедливость соотношения $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$, используя основные законы алгебры множеств.
Операцию разность $Xackslash Y$ произвольных множеств $X, Y$ можно записать, как $Xackslash Y=Xcap overline
ight)ackslash C=Acap Bcap overline
ight)cap left(Backslash C
ight)=Acap overline
3. Видим, что диаграммы множеств $left(Acap B
ight)ackslash C$ и $left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$ полностью совпадают, значит, равенство $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$ верно.
4. Построим таблицу принадлежности для левой и правой частей данного равенства $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$.
egin
ight)ackslash C & Aackslash C & Backslash C & left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight) \ hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \ hline 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \ hline 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \ hline 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \ hline end
Видим, что $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)=left(00000010
ight)$.
5. Докажем справедливость соотношения $left(Acap B
ight)ackslash C=left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)$ с помощью индикаторных функций. Индикаторная функция для левой части соотношения:
$$ <chi >_<left(Acap B
ight)ackslash C>left(x
ight)=<chi >_left(x
ight)-<chi >_left(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)cdot left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight)$$ Индикаторная функция для правой части: $$<chi >_<left(Aackslash C
ight)cap left(Backslash C
ight)>left(x
ight)=<chi >_<left(Aackslash C
ight)>left(x
ight)<chi >_<left(Backslash C
ight)>left(x
ight)=left(<chi >_Aleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)
ight)left(<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)+<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)-<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)<chi >_Cleft(x
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight). $$ Видим, что индикаторные функции обеих частей совпали $$<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)cdot left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight)=<chi >_Aleft(x
ight)<chi >_Bleft(x
ight)cdot left(1-<chi >_Cleft(x
ight)
ight).$$ Соотношение верно.
Универсальное множество. Дополнение множества
Если А и В два множества, состоящие из одних и тех же элементов, и не содержат никаких других элементов, то говорят, что множества равны: А = В.
Если каждый элемент множества А является в то же время элементом множества В, то множество А называют подмножеством, или частью, множества В. Это отношение записывается так: А В или В А.
На рис. 2.1 дана иллюстрация этого определения с помощью так называемых диаграмм Венна (диаграмма Венна – это замкнутая линия, внутри которой расположены элементы данного множества, а снаружи – элементы, не принадлежащие этому множеству).
Приведем примеры подмножеств:
множество жителей Самары является подмножеством множества жителей России;
множество всех квадратов есть подмножество множества всех прямоугольников;
множество Z всех целых чисел есть подмножество множества R всех действительных чисел.
Если одновременно А В, а В А, то эти множества равны: А = В.
Отметим, что каждое непустое множество имеет, по крайней мере, два подмножества: пустое множество и само множество.
Пусть дано какое-либо множество Е. Тогда, если рассматриваются все возможные подмножества данного множества, его называют универсальным множеством. На диаграммах Венна прямоугольник как раз и символизирует это универсальное множество.
Например, рассмотрим множество книг в университетской библиотеке. В него входят подмножества научных, художественных книг, книг по искусству и т.д. Научные в свою очередь тоже можно разбить на подмножества книг по математике, физике, химии и т.д. То есть множество всех книг – это универсальное множество, содержащее в себе различные подмножества книг.
Рассмотрим другой пример. Пусть универсальное множество Е состоит из трех элементов: <a; b; c>. Перечислим все подмножества Е: <a>, <b>, <c>, <a, b>, <a, c>, <b, c>, <a, b, c>, <>. Их всего 8, т.е. 2 3 . Не трудно доказать, что если элементов будет n, то подмножеств будет 2 n .
Пусть множество А есть некоторое подмножества универсального множества Е. Тогда множество 
, состоящее из элементов множестваЕ, не принадлежащих множеству А, называется дополнением множества А до универсального множества Е (рис. 2.2).
Например, если Е = <целые числа>, А = <четные числа>, то 
= <нечетные числа>.
3.. Операции над множествами
Суммой, или объединением, двух множеств А и В называется множество
элементы которого с С принадлежат либо А, либо В, либо принадлежат и А и В.
Данное определение можно распространить на случай произвольного конечного или бесконечного числа множеств.
На рис. 3.1 показана диаграмма Венна объединения двух (а) и трех (б) множеств.
►Пример 3.1.Заданы числовые множестваА= <3, 5, 7, 13>иВ= <2, 4, 5, 7, 9>. Найти множествоС=АВ. Показать решение с помощью диаграмм Венна.
Решение. Множество С состоит из всех элементов входящих в множество А или множество В. Союз «или» здесь не разделительный, то есть не исключается возможность одновременной принадлежности некоторых элементов и множеству А и множеству В. Итак,
Изобразим С=АВс помощью диаграммы Венна (рис. 3.2). Для наглядности множества показаны вместе с элементами. ◄
Произведением, или пересечением, двух множеств А и В называется множество
элементы которого с С принадлежат одновременно и А и В.
Данное определение также можно распространить на случай произвольного конечного или бесконечного числа множеств.
На рис. 3.3 показана диаграмма Венна пересечения двух (а) и трех (б) множеств.
►Пример 3.2.По условиям примера 3.1 найти множество
Решение. Множество С состоит из всех элементов входящих одновременно как в А, так и в В. Как видно из рис. 3.2 такими элементами являются 5 и 7. Следовательно
►Пример 3.3. Пусть А = <1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72>– множество натуральных делителей числа 72, а В = <1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54>– множество натуральных делителей числа 54. Тогда множество С = <1, 2, 3, 6, 9, 18>является пересечением множеств А и В, а числа, входящие в множество С, являются делителями для 72 и 54. Наибольший элемент множества С, то есть 18, называется наибольшим общим делителем чисел 54 и 72. ◄
Следует отметить, что пересечение нескольких непустых множеств может быть пустым множеством.
Термин «пересечение» по существу геометрического происхождения. Например, если прямая и плоскость не параллельны, то их пересечением является точка.
Разностью двух множеств А и В называется множество
состоящее из элементов, принадлежащих множеству А, но не принадлежащих множествуВ.
Разность между множеством А и множеством В часто называется дополнением множества В до множества А.
►Пример 3.4. Пусть заданы множества А = <3, 5, 7, 13>и В = <2, 4, 5, 7, 9>. Тогда разности этих множеств будут иметь вид: