varnothing ^<complement >>

mathbb setminus A>

Универса́льное мно́жество — в математике множество, содержащее все объекты и все множества. В тех аксиоматиках, в которых универсальное множество существует, оно единственно.

Универсальное множество обычно обозначается U <displaystyle mathbb > (от англ. universe, universal set ), реже E <displaystyle mathbb > .

В аксиоматике Цермело — Френкеля парадокс Рассела со схемой выделения и парадокс Кантора показывают, что предположение о существовании такого множества ведёт к противоречию.

В аксиоматике фон Неймана — Бернайса — Гёделя существует универсальный класс — класс всех множеств, но множеством он не является. Класс всех множеств является классом объектов категории Set.

В некоторых аксиоматиках существует универсальное множество, но при этом схема выделения не выполняется. Примером является теория New Foundations [en] У. В. О. Куайна.

Также универсальным множеством называют множество объектов, рассматриваемых в каком-либо разделе математики. Для элементарной арифметики универсальным множеством является множество целых чисел, для аналитической геометрии плоскости универсальным множеством является множество всех упорядоченных пар действительных чисел [1] .

На диаграммах Венна универсальное множество (в обоих значениях) изображается множеством точек некоторого прямоугольника; подмножества его точек изображают подмножества универсального множества [1] .

В дальнейшем речь идёт о первом значении термина. Нижеприведённые формулы (за исключением U ∈ U <displaystyle mathbb in mathbb > ) верны и для второго значения, если через a <displaystyle a> и A <displaystyle A> обозначены соответственно любой элемент и любое подмножество множества U <displaystyle mathbb > .

Содержание

Свойства универсального множества [ править | править код ]

  • Любой объект, какова бы ни была его природа, является элементом универсального множества. ∀ a : a ∈ U <displaystyle forall acolon ain mathbb >
  • В частности, само универсальное множество содержит себя в качестве одного из многих элементов. U ∈ U <displaystyle mathbb in mathbb >
  • Любое множество является подмножеством универсального множества. ∀ A : A ⊆ U <displaystyle forall Acolon Asubseteq mathbb >
  • В частности, само универсальное множество является своим подмножеством. U ⊆ U <displaystyle mathbb subseteq mathbb >
  • Объединение универсального множества с любым множеством равно универсальному множеству. ∀ A : U ∪ A = U <displaystyle forall Acolon mathbb cup A=mathbb >
  • В частности, объединение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству. U ∪ U = U <displaystyle mathbb cup mathbb =mathbb >
  • Объединение любого множества с его дополнением равно универсальному множеству. A ∪ A ∁ = U <displaystyle Acup A^<complement >=mathbb >
  • Пересечение универсального множества с любым множеством равно последнему множеству. ∀ A : U ∩ A = A <displaystyle forall Acolon mathbb cap A=A>
  • В частности, пересечение универсального множества с самим собой равно универсальному множеству. U ∩ U = U <displaystyle mathbb cap mathbb =mathbb >
  • Исключение универсального множества из любого множества равно пустому множеству. ∀ A : A ∖ U = ∅ <displaystyle forall Acolon Asetminus mathbb =varnothing >
  • В частности, исключение универсального множества из себя равно пустому множеству. U ∖ U = ∅ <displaystyle mathbb setminus mathbb =varnothing >
  • Исключение любого множества из универсального множества равно дополнению этого множества. ∀ A : U ∖ A = A ∁ <displaystyle forall Acolon mathbb setminus A=A^<complement >>
  • Дополнение универсального множества есть пустое множество. U ∁ = ∅ <displaystyle mathbb ^<complement >=varnothing >
  • Симметрическая разность универсального множества с любым множеством равна дополнению последнего множества. ∀ A : U △ A = A ∁ <displaystyle forall Acolon mathbb riangle A=A^<complement >>
  • В частности, симметрическая разность универсального множества с самим собой равна пустому множеству. U △ U = ∅ <displaystyle mathbb riangle mathbb =varnothing >

Виды [ править | править код ]

  • Дизъюнктивно-универсальное множество (ДУМ) G[2] порядка n и ранга p — это множество функций алгебры логики такое, что для любой g ∈ P 2 ( n ) <displaystyle gin P_<2>(n)>существует набор функций g 1 , … , g p ∈ G <displaystyle g_<1>,ldots ,g_

    in G>такой, что:

g = g 1 ∨ … ∨ g p <displaystyle g=g_<1>lor ldots lor g_

>

Читайте также:

  1. Def.32 Морфизм М есть обобщение понятия бинарного соответствия между множествами на составляемые алгебраические системы.
  2. Def.36 Линейно упорядоченная часть упорядоченного множества М называется максимальной цепью, если оно не содержится строго ни в какой-либо другой цепи М.
  3. SWOT-анализ в качестве универсального метода анализа.
  4. Алгоритм Магу для определения множества внешней устойчивости.
  5. Взаимно однозначные соответствия. Понятие взаимно однозначного отображения множества Х на множество Y
  6. Выражения над множествами
  7. Вычитание
  8. Вычитание матриц
  9. Вычитание множеств. Дополнение множества
  10. Главные универсальные функции и множества
  11. Для заданного массива из N чисел построить все подмножества, определить подмножества, состоящие из простых чисел.

Лекция 3. Операции с множествами

Свойства пересечения и объединения множеств

Из школьного курса математики известно, что операция, при помощи которой находят сумму чисел, называется сложением. Над числами выполняются и другие операции, например, умножение, вычитание, деление; при этом результаты называют произведением, разностью, частным соответственно. Для операций и результатов выполнения этих операций существуют разные термины. Для рассмотренных операций над множествами и сама операция, и ее результат носят одно название.

Из школьного курса математики нам известно, что операции над числами обладают рядом свойств. Например, сложение действительных чисел обладает переместительным и сочетательным свойствами: для любых действительных чисел а и b справедливо равенство а + b = b + а, а для любых чисел а, b и с справедливо равенство (а + b) + с = а + (b + с).

Перечислим другие свойства:

а • b = b • а; (а • b) • с = а • (b • с); (а + b) • с = а • с + b • с.

Выясним, обладают ли «похожими» свойствами пересечение и объединение множеств.

Доказано, что операции над множествами обладают следующими свойствами:

1) А ∩ В = В ∩ А и А ∪ В = В ∪ А – коммутативное свойство для операций пересечения и объединения.

2) (А ∩ В) ∩ С = А ∩ (В ∩ С) и (А ∪ В) ∪ С = А ∪ (В ∪ С) ассоциативное свойство для операций пересечения и объединения.

3) (А ∪ В) ∩ С = (А ∩ С) ∪ (В ∩ С)– пересечение дистрибутивно относительно объединения множеств и

4) (А ∩ В) ∪ С = (А ∪ С) ∩ (В ∪ С) – объединение дистрибутивно относительно пересечения множеств.

Заметим, что если в выражении есть знаки пересечения и объединения множеств, и нет скобок, то сначала выполняют пересечение, так как считают, что пересечение более «сильная» операция, чем объединение.

Убедиться в справедливости сформулированных свойств можно путем доказательства, а также проиллюстрировать с помощью кругов Эйлера.

Заметим, что 1-3 свойства имеют аналоги во множестве действительных чисел, над которыми производят действия сложения и умножения. А вот аналога четвертому свойству нет. Действительно, равенство а • b + с = (а + b) •( b + с) – неверное.

Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств:

Аналогично можно поступить и по отношению к рассмотренным свойствам данных операций.

1. Вычитание множеств. Дополнение множества до универсального

2. Понятие разбиения множества на классы с помощью одного, двух, трех свойств.

3. Декартово произведение множеств

Если заданы два множества, то можно не только найти их пересечение и объединение, но и вычесть из одного множества другое. Результат вычитания называют разностьюи определяют следующим образом.

Определение. Разностью множеств А и В называют множество, содержащее все элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В.

Разность множеств А и В обозначают А В. По определению: А В =<х/х∈А и х∉В>.

В школьном курсе математики чаще всего приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из них является подмножеством другого, при этом разность множеств А В называют дополнением множества В до множества А, и обозначают символом В´А, а наглядно изображают так:

Определение: Пусть В ⊂ А. Дополнением множества В до множества А называется множество, содержащее все элементы множества А, которые не принадлежат множеству В.

Выясним, как находить дополнение подмножества на конкретных примерах.

Если элементы множеств А и В перечислены и В ⊂ А, достаточно перечислить элементы, принадлежащие множеству А и не принадлежащие множеству В. Например, А = <1, 2, 3, 4, 5>, В = <2, 4>, то В´А = <1, 3, 5>.

В том случае, когда указаны характеристические свойства элементов множеств А и В и известно, что В ⊂ А, то множество В´А задают также с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х∈А и х∉В». Так, если А – множество четных чисел, а В – множество кратных 4 чисел, то В´А — это множество, содержащее такие четные числа, которые не делятся на 4. Например, 22 ∈ В´А.

Вычитание – это третья операция над множествами. Условились считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание. Что касается вычитания и объединения, то их считают равноправными.

Вычитание множеств обладает рядом свойств. В частности можно доказать, что для любых множеств А, В и С справедливы следующие равенства:

1) (А В) С = (А С) В);

2) (А ∪ В) С = (А С) ∪ (В С);

3) (А В) ∩ С = (А ∩ С) (В ∩ С);

4) А (В ∪ С) = (А В) ∩ (А С);

5) А (В ∩ С) = (А В) ∪ (А С).

Дата добавления: 2014-01-06 ; Просмотров: 2750 ; Нарушение авторских прав? ;

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Пусть даны два множества A и B . Тогда их (теоретико-множественная) разность определяется следующим образом:

Примеры

  • Пусть . Тогда
  • Пусть — множество всех вещественных чисел, — множество рациональных чисел, а — множество целых чисел. Тогда — множество всех иррациональных чисел, а — дробных.

Свойства

Пусть A,B,C — произвольные множества. Тогда

Компьютерные реализации

В пакете функции Complement . В пакете setdiff .

Дополнение множества

Определение

Если из контекста следует, что все рассматриваемые множества являются подмножествами некоторого фиксированного универсального множества X , то определяется операция дополнения:

Свойства

  • Операция дополнения является унарной операцией на булеане 2 X .
  • Законы дополнения:

В частности, если оба A и непусты, то является разбиениемX .

  • Операция дополнения является инволюцией:

  • Законы де Моргана:
  • Законы разности множеств:

См. также

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Дополнение множества" в других словарях:

Дополнение (теория множеств) — Дополнение в теории множеств это семейство элементов, не принадлежащих данному множеству. Содержание 1 Разность множеств 1.1 Определение 1.2 Примеры 1.3 Свойства … Википедия

Дополнение (математика) — Дополнение в теории множеств это семейство элементов, не принадлежащих данному множеству. Содержание 1 Разность множеств 1.1 Определение 1.2 Примеры 1.3 Свойства … Википедия

ДОПОЛНЕНИЕ — операция, к рая ставит в соответствие подмножеству Мданного множества Xдругое подмножество так, что если известны Ми N, то тем или иным способом может быть восстановлено множество X. В зависимости от того, какой структурой наделено множество X,… … Математическая энциклопедия

Дополнение графа — Граф Петерсена (слева) и его дополнение (справа). В теории графов дополнением или обратным к графу G называется такой граф H, имеющий то же множество вершин, что и G, но в котором две несовпадающие вершины смежны тогда и только тогда, когда они… … Википедия

дополнение к множеству — такое множество не А, когда A + не А = 1, где 1 обозначает некоторую предметную область (универсальный класс). Пусть A будет множеством млекопитающих, а областью нашего рассуждения будет множество позвоночных животных. Тогда дополнением к нему… … Словарь терминов логики

ДИЗЪЮНКТНОЕ ДОПОЛНЕНИЕ — множества А множество всех элементов х векторной решетки (векторной структуры) X, дизъюнктных множеству (см. Дизъюнктные элементы). кроме того, если X векторная условно полная решетка, то Add является наименьшей компонентой пространства X,… … Математическая энциклопедия

Плотные и неплотные множества — понятия множеств теории (См. Множеств теория). Множество Е называется плотным на М, если каждая точка множества М является предельной точкой (См. Предельная точка) Е, т. е. в любой окрестности имеются точки, принадлежащие Е. Плотные… … Большая советская энциклопедия

Мера множества — У этого термина существуют и другие значения, см. Мера. Мера множества неотрицательная величина, интуитивно интерпретируемая как размер (объем) множества. Собственно, мера это некоторая числовая функция, ставящая в соответствие каждому… … Википедия

КАТЕГОРИЯ МНОЖЕСТВА — топологическая характеристика массивности множества. Множество Етопологич. пространства Xназ. множеством первой категории на X, если оно представимо в виде конечной или счетной суммы множеств, нигде не плотных на X. В противном случае Еназ.… … Математическая энциклопедия

Существование перечислимого неразрешимого множества — В данной статье будет доказан теорема о существовании перечислимого, но неразрешимого множества. Напомню, что по теореме Поста перечислимое множества разрешимо тогда и только тогда, когда его дополнение перечислимо.Основные определения, такие как … Википедия