Движение материальной точки по плоской кривой

До сих пор мы молчаливо предполагали, что во время движения орты постоянны и дифференцировать их по времени нет необходимости. Это предположение справедливо не всегда. Например. Оно не справедливо, если происходит криволинейное движение. Простейший случай такого движения – движение по окружности или, в более общем случае – по плоской кривой. Кривая называется плоской, если все её точки лежат в одной плоскости (см. рис. 1). Как легко заметить, орты координат при этом изменяют своё направление, то есть зависят от времени.

В случае вращения по окружности с постоянной по модулю скоростью известно, что на материальную точку действует центростремительная сила

,

где – масса материальной точки, – модуль её скорости, – радиус окружности, – радиус-вектор, проведенный из центра окружности в ту точку, где в данный момент находится материальная точка. Знак минус указывает, что действующая на материальную точку сила направлена к центру окружности.

При движении по плоской кривой формулу для центростремительной силы можно обобщить. Для этого надо сделать несколько шагов.

Выделим на плоской кривой L произвольные точки A и B. Построим окружности, касающиеся этих точек; стрелки указывают радиусы и , проведенные из центров окружностей в точки касания. Соответствующие радиусы (не векторы) называются радиусами кривизны в точках и . Обратная величина, например, , называется кривизной кривой L в точке . Кривая должно быть плавной. В точке излома (в физике таких кривых не бывает) кривизна не определена. Для прямой линии кривизна стремится к нулю (радиус кривизны бесконечен). В точке кривизна считается положительной, в точке – отрицательной.

Если точка движется со скоростями и , то на неё действуют центростремительные силы , определяемые указанной формулой. Это, в частности, означает, что они движутся с центростремительным ускорением

или .

Но это не полное ускорение материальной точки. Для того, чтобы найти полное ускорение учтем, что при движении по плоской кривой скорость имеет вид

,

где – вектор, касательный к рассматриваемой точке (например, к точке В , см. рис. 1), причем он зависит от времени, — модуль скорости в этой точке.

Чтобы найти ускорение надо продифференцировать скорость:

.

Первое слагаемое называется тангенциальным (касательным) ускорением,

,

и учитывает поворот касательного орта (для движения по прямой тангенциальное ускорение равно нулю), второе слагаемое – центростремительное ускорение,

,

и учитывает изменение модуля скорости.

Таким образом, полное ускорение равно

,

а так как радиус, проведенный в точку касания перпендикулярен касательной, модуль полного ускорения равен

.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9468 — | 7450 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Рассмотрим движение материальной точки по произвольной кривой. Для простоты, будем считать эту кривую плоской, все точки такой кривой лежат в одной плоскости.

Предположим, что в момент времени t материальная точка оказалась в точке M кривой (рис. 2.7.1). Возьмем два положения материальной точки — в момент времени t-Dt (точка M₁) и момент времени t+Dt (точка M₂). Через три точки M₁, M и M₂ можно провести единственную окружность. На рис. 2.7.1 это окружность C₁. Уменьшим приращение времени Dt и через новые точки проведем окружность C₂. Дальнейшее уменьшение Dt приведет к последовательности окружностей . В курсе математического анализа доказывается, что у этой последовательности существует предел (окружность C на рис. 2.7.1).

Соприкасающейся окружностью в точке M плоской кривой называется предел последовательности окружностей, проходящих через три точки рассматриваемой кривой, одна из которых точка M, при неограниченном приближении двух других точек к точке M.

Центр соприкасающейся окружности и ее радиус называются соответственно центром кривизны и радиусом кривизны рассматриваемой кривой в точке M.

Пользуясь результатами предыдущего параграфа, можно найти ускорение в некоторой точке M криволинейной траектории.

a = a_n + a_t., (2.7.1)

где — тангенциальное ускорение, — нормальное ускорение, R_M – радиус кривизны траектории в точке M.

Физический метод определения радиуса кривизны.

Найдем, для примера, радиус кривизны параболы в некоторой точке M. Парабола – это траектория движения тела, брошенного под углом к горизонту (см. рис. 2.7.2). Ускорение тела a = g можно представить как сумму нормального и тангенциального ускорений: g = a_n + a_t. Т.к. , то радиус кривизны R_M параболы в некоторой точке M вычисляется по формуле: = . Проекции скорости v_x(t) и v_y(t) рассчитываются по формулам из §5.

В зависимости от формы траектории движение можно подразделять на прямолинейное и криволинейное. Чаще всего можно столкнуться с криволинейными движениями, когда траектория представлена в виде кривой. Примером такого вида движения является путь тела, брошенного под углом к горизонту, движение Земли вокруг Солнца, планет и так далее.

Рисунок 1 . Траектория и перемещение при криволинейном движении

Мгновенная скорость при криволинейном движении

Криволинейным движением называют движение, траектория которого представляет собой кривую линию. Если тело движется по криволинейной траектории, то вектор перемещения s → направлен по хорде, как показано на рисунке 1 , а l является длиной траектории. Направление мгновенной скорости движения тела идет по касательной в той же точке траектории, где в данный момент располагается движущийся объект, как показано на рисунке 2 .

Рисунок 2 . Мгновенная скорость при криволинейном движении

Криволинейное движение материальной точки называют равномерным тогда, когда модуль скорости постоянный (движение по окружности), и равноускоренным при изменяющемся направлении и модуле скорости (движение брошенного тела).

Криволинейное движение всегда ускоренное. Это объясняется тем, что даже при неизмененном модуле скорости, а измененном направлении, всегда присутствует ускорение.

Для того чтобы исследовать криволинейное движение материальной точки, применяют два метода.

Путь разбивается на отдельные участки, на каждом из которых его можно считать прямолинейным, как показано на рисунке 3 .

Рисунок 3 . Разбиение криволинейного движения на поступательные

Теперь для каждого участка можно применять закон прямолинейного движения. Такой принцип допускается.

Разбиение на движения по дугам

Самым удобным методом решения считается представление пути в качестве совокупности нескольких движений по дугам окружностей, как показано на рисунке 4 . Количество разбиений будет намного меньше, чем в предыдущем методе, кроме того, движение по окружности уже является криволинейным.

Рисунок 4 . Разбиение криволинейного движения на движения по дугам окружностей

Для записи криволинейного движения необходимо уметь описывать движение по окружности, произвольное движение представлять в виде совокупностей движений по дугам этих окружностей.

Исследование криволинейного движения включает в себя составление кинематического уравнения, которое описывает это движение и позволяет по имеющимся начальным условиям определить все характеристики движения.

Дана материальная точка, движущаяся по кривой, как показано на рисунке 4 . Центры окружностей O 1 , O 2 , O 3 располагаются на одной прямой. Необходимо найти перемещение
s → и длину пути l во время движения из точки А в В .

Решение

По условию имеем, что центры окружности принадлежат одной прямой, отсюда:

s → = R 1 + 2 R 2 + R 3 .

Так как траектория движения – это сумма полуокружностей, то:

A B = π R 1 + R 2 + R 3 .

Ответ: s → = R 1 + 2 R 2 + R 3 , l

A B = π R 1 + R 2 + R 3 .

Дана зависимость пройденного телом пути от времени, представленная уравнением s ( t ) = A + B t + C t 2 + D t 3 ( C = 0 , 1 м / с 2 , D = 0 , 003 м / с 3 ) . Вычислить, через какой промежуток времени после начала движения ускорение тела будет равно 2 м / с 2