Двойной предел функции двух переменных

6.1.1. Предел функции нескольких переменных. Повторные пределы.

f: R n R задана в некоторой окрестности точки M₀, кроме, может быть, самой точки M₀.

Определение. Число А называется пределом функции

(M может приближаться к М₀ по любому пути).

и .

(M приближается к М₀ соответственно по горизонтали и по вертикали).

Теорема о связи двойного и повторных пределов.

Если  двойной предел и пределы ,,

то  повторные пределы ,и равны двойному.

Замечание 1. Обратное утверждение не верно.

Пример. f (x, y) =

,.

Однако двойной предел =

не существует, так как в любой окрестности точки (0, 0) функция принимает и «далекие » от нуля значения, например, если x = y, то f (x, y) = 0,5.

при движении M к M₀ по любой прямой, двойной предел может не существовать.

Пример. f (x, y) = ,M₀ (0, 0). M (x, y)  M₀ (0, 0)

вдоль осей x = 0 или y = 0 f (x, y) = 0 .

y = kx, k  0 

y = x 2 , 

Вывод: предел (двойной) не существует.

Пример нахождения предела.

f (x, y) = , M₀ (0, 0).

Покажем, что число 0 есть предел функции в точке M₀.

= ,

 – расстояние между точками М и M₀.( воспользовались неравенством ,

которое следует из неравенств )

Зададим  > 0 и пусть  = 2.  2 y 2 .

Очередь просмотра

Очередь

• Удалить все
• Отключить

YouTube Premium

Хотите сохраните это видео?

• Пожаловаться

Пожаловаться на видео?

Выполните вход, чтобы сообщить о неприемлемом контенте.

Понравилось?

Не понравилось?

Текст видео

Занятия и репетиторство по Skype. Facebook: http://facebook.com/matan.channel , ВКонтакте: http://vk.com/matan.channel , Viber: +7 (927) 74-69-502, WhatsApp: +7 (927) 74-69-502.

Что такое предел функции двух переменных, и почему при вычислении пределов функций двух переменных следует учитывать траекторию, по которой переменная точка приближается к своему предельному значению.

Когда мы вычисляем пределы в обычном понимании, то есть, пределы функций одной переменной, мы говорим, что переменная приближается (или стремится) к своему предельному значению, при этом функция ведет себя так-то (стремится к конечному значению, бесконечно растет и так далее).

То же самое происходит и в случае предела функции двух переменных, только в этом случае переменная точка может приближаться к предельному положению разными способами.

Действительно, у переменного числа есть только два направления: слева направо (в сторону убывания) и справа налево (в сторону возрастания). А у переменной точки таких направлений бесконечно много: слева направо, справа налево, по диагонали, по криволинейной траектории — как угодно.

Так вот, предел функции двух переменных существует, если предельное значение функции двух переменных не зависит от траектории, по которой переменная точка приближается к своему предельному значению.

В остальном вычисление пределов функций двух переменных мало отличается от вычисления пределов функций одной переменной: точно так же нужно раскрывать неопределенности, использовать эквивалентность бесконечно малых и так далее.

Просмотрите видео по теме «Предел функции двух переменных», затем перейдите к вопросам по теме «Предел функции двух переменных» и попробуйте самостоятельно вычислит предложенные вам пределы функций двух переменных, и, наконец, проверьте себя, просмотрев ответы на вопросы по теме «Предел функции двух переменных».

Тема «Предел функции двух переменных»: https://youtu.be/m3JkKP6KRNA
Вопросы по теме «Предел функции двух переменных»: https://youtu.be/ZC-BjM5SlA0
Ответы на вопросы по теме «Предел функции двух переменных»: https://youtu.be/_cl2cMNjo4M

Чтобы подробнее ознакомиться с темой «Предел функции двух переменных», перейдите на сайт проекта «Матан».

Кафедра: Высшая математика

по дисциплине «Высшая математика»

Тема: «Предел и непрерывность функций нескольких переменных»

Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самых простых задачах встречаются величины, значения которых определяются совокупностью значений нескольких величин.

Для изучения подобных зависимостей вводится понятие функции нескольких переменных.

Понятие функции нескольких переменных

Определение. Величина u называется функцией нескольких независимых переменных (x , y , z , …, t ), если каждой совокупности значений этих переменных ставится в соответствие определенное значение величины u .

Если переменная является функцией от двух переменных х и у , то функциональную зависимость обозначают

Символ f определяет здесь совокупность действий или правило для вычисления значения z по данной паре значений х и у .

при х = 1 и у = 1 имеем z = 4,

при х = 2 и у = 3 имеем z = 22,

при х = 4 и у = 0 имеем z = 16 и т.д.

Аналогично называется величина u функцией от трех переменных x , y , z , если дано правило, как по данной тройке значений x , y иz вычислить соответствующее значение u :

Здесь символ F определяет совокупность действий или правило для вычисления значения u , соответствующего данным значениям x , y иz .

при х = 2, у = -1 и z = -2 имеем u = -16 и т.д.

Таким образом, если в силу некоторого закона каждой совокупности п чисел (x , y , z , …, t ) из некоторого множества Е ставится в соответствие определенное значение переменной u , то и u называется функцией от п переменных x , y , z , …, t , определенной на множестве Е , и обозначается

Переменные x , y , z , …, t называются аргументами функции, множество Е – областью определения функции.

Областью определения функции называется множество всех значений аргументов, которым соответствуют какие-либо действительные значения функции.

Функция двух переменных z = f ( x , y ) в пространстве представляется некоторой поверхностью. То есть, когда точка с координатами х , у пробегает всю область определения функции, расположенную в плоскости хОу , соответствующая пространственная точка, вообще говоря, описывает поверхность.

Функцию трех переменных u = F ( x , y , z ) рассматривают как функцию точки некоторого множества точек трехмерного пространства. Аналогично, функцию п переменных u = f (x , y , z , …, t ) рассматривают как функцию точки некоторого п -мерного пространства.

Предел функции нескольких переменных

Для того чтобы дать понятие предела функции нескольких переменных, ограничимся случаем двух переменных х и у . По определению функция f ( x , y ) имеет предел в точке (х ₀ , у ₀ ), равный числу А , обозначаемый так:

(пишут еще f ( x , y ) →А при ( x , y ) → (х ₀ , у ₀ )), если она определена в некоторой окрестности точки (х ₀ , у ₀ ), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел

Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция f имеет в точке (х ₀ , у ₀ ) предел, равный А , если она определена в некоторой окрестности точки (х ₀ , у ₀ ) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого ε > 0 найдется такое δ > 0, что

| f ( x , y ) – A | 0 найдется δ-окрестность точки (х ₀ , у ₀ ) такая, что для всех (x , y ) из этой окрестности, отличных от (х ₀ , у ₀ ), выполняется неравенство (3).

Так как координаты произвольной точки (x , y ) окрестности точки (х ₀ , у ₀ ) можно записать в виде х = х ₀ + Δх , у = у ₀ + Δу , то равенство (1) эквивалентно следующему равенству:

Рассмотрим некоторую функции, заданную в окрестности точки (х ₀ , у ₀ ), кроме, быть может, самой этой точки.

Пусть ω = (ω_х , ω_у ) – произвольный вектор длины единица (|ω| 2 = ω_х 2 + ω_у 2 = 1) и t > 0 – скаляр. Точки вида

Пример 2. Рассмотрим в R ₂ функцию

Данная функция в точке (0, 0) на любой прямой y = kx , проходящей через начало координат, имеет предел, равный нулю:

Однако эта функция не имеет предела в точки (0, 0), ибо при у = х 2

коль скоро 0 0 найдется такое N > 0, что для всех х , у , для которых |x | > N , |y | > N , функция f определена и имеет место неравенство