График зависимости угла поворота от времени

Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены:

Если:
перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) ?,
скорость u — угловая скорость ?,
ускорение a — угловое ускорение ?

Угол поворота

Во всех уравнения вращательного движения углы задаются в радианах, сокращенно (рад).

Если
? — угловое перемещение в радианах,
s — длина дуги, заключенной
между сторонами угла поворота,
r — радиус,
то по определению радиана

Соотношение между единицами угла

Обратите внимание: Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только в тех случаях, когда ее можно спутать с градусом. Поскольку радиан равен отношению длин двух отрезков
(1рад = 1м/ 1м = 1), он не имеет размерности.

Соотношение между угловой скоростью, угловым перемещением и временем для всех видов движения по окружности наглядно видны на графике угловой скорости (зависимость ? от t). Поэтому графику можно определить, какой угловой скоростью обладает тело в тот или иной момент времени и на какой угол с момента начала движения оно повернулось (он характеризуется площадью под кривой).

Кроме того, для представления соотношений между названными величинами используют график углового перемещения (зависимость ? от t) и график углового ускорения (зависимость ? от t).

Число оборотов

Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f. Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.

Единица СИ частоты (или числа оборотов)

В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.

Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.

Если
n — число оборотов,
f — частота,
T — продолжительность одного оборота, период,
? — угловое перемещение,
N — полное число оборотов,
t — время, продолжительность вращения,
? — угловая частота,
то

Период

Угловое перемещение

Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2?:

Угловая скорость

Из формулы для одного оборота следует:

Обратите внимание:
• формулы справедливы для всех видов вращательного движения — как для равномерного движения, так и для ускоренного. В них могут входить постоянные величины, средние значения, начальные и конечные значения, а также любые мгновенные значения.
• вопреки своему названию число оборотов n — это не число, а физическая величина.
• следует различать число оборотов n и полное число оборотов N.

Равномерное движение тела по окружности

Говорят, что тело движется по окружности равномерно, если его угловая скорость постоянна, т.е. тело за равные промежутки времени поворачивается на один и тот же угол.

? — угловая скорость (постоянная в течение времени t)
? — угловое перемещение
t — время поворота на угол ?

Поскольку на графике угловой скорости площадь прямоугольника соответствует угловому перемещению, имеем:

Постоянная угловая скорость — есть отношение углового перемещения (угла поворота) ко времени, затраченному на это перемещение.

Единица СИ угловой скорости:

Равномерно ускоренное движение по окружности без начальной угловой скорости

Тело начинает двигаться из состояния покоя, и его угловая скорость равномерно возрастает.

? — мгновенная угловая скорость тела в момент времени t
? — угловое ускорение, постоянное в течение времени t
? — угловое перемещение тела за время t, (? в радианах)
t — время

Поскольку на графике скорости угловое перемещение равно площади треугольника, имеем:

Поскольку вращение тела начинается из состояния покоя, изменение угловой скорости ?? равно достигнутой в результате ускорения угловой скорости ?. Поэтому формула принимает следующий вид:

Равномерно ускоренное движение по окружности с начальной угловой скоростью

Начальная скорость тела, равная ?0 в момент t = 0, изменяется равномерно на величину ??. (Угловое ускорение при этом постоянно.)

?0 — начальная угловая скорость
? — конечная угловая скорость
? — угловое перемещение тела за время t в радианах
t — время
? — угловое ускорение постоянное в течение времени t

Поскольку на графике скорости угловое перемещение соответствует площади трапеции под кривой скорости, имеем:

Так как площадь трапеции равна сумме площадей образующих ее треугольника и прямоугольника, получаем:

Далее из графика скорости следует

Совместив формулы мы получим

После преобразования получаем выражение, не содержащее времени:

Неравномерно ускоренное движение тела по окружности

Движение тела по окружности будет неравномерно ускоренным, если изменение угловой скорости происходит не пропорционально времени, т. е. если угловое ускорение не остается постоянным. В этом случае и угловая скорость и угловое ускорение являются функциями времени.

Связь величин ?, ? и ? представлена на соответствующих графиках.

Мгновенная угловая скорость

Полный угол поворота тела в любой момент времени можно определить по графику углового перемещения. Чем круче график, тем больше в данный момент времени мгновенная угловая скорость.

? — угол между касательной и осью времени t
? — мгновенная угловая скорость
? — угловое перемещение к моменту времени t

Мгновенной угловой скоростью называется первая производная функции ? = ?(t) по времени.

Обратите внимание:
1) чтобы вычислить мгновенную угловую скорость ?, необходимо знать зависимость углового перемещения от времени.
2) формула углового перемещения при равномерном движении тела по окружности и формула углового перемещения при равномерно ускоренном движении по окружности без начальной угловой скорости являются частными случаями формулы (2) соответственно для ? = 0 и ? = const.

Из формул следует:

Проинтегрировав обе части выражения, получим

Угловое перемещение есть интеграл по времени от угловой скорости.

Обратите внимание:
Для вычисления углового перемещения ? необходимо знать зависимость угловой скорости от времени.

Средняя угловая скорость

Средняя угловая скорость для некоторого интервала времени

Среднее число оборотов определяется аналогично формуле:

Вращательное движение тела, формулы

При вращательном движении твердого тела все элементы его массы, не лежащие на оси вращения, совершают движение по окружности. Аналогично и материальная точка, находящаяся на расстоянии r > 0 от оси вращения, также совершает движение по окружности, как и любое тело, достаточно удаленное от оси вращения.

Линейное перемещение Sл, линейная скорость uл и линейное ускорение aл при таком движении связаны между собой обычными для поступательного движения соотношениями.

Кроме того, эти величины связаны определенным образом с угловым перемещением ?, угловой скоростью ? и угловым ускорением ?.

Примечание:Формулы справедливы для постоянных, мгновенных и средних величин, во всех случаях движения тела по окружности.

Векторные величины, характеризующие вращательное движение тела

Угловая скорость и угловое ускорение тела являются векторными величинами. Эти векторы направлены вдоль оси вращения (аксиальные векторы), а их длина определяет величину соответствующих характеристик вращательного движения. Направление векторов определяется по правилу буравчика, т. е. совпадает с направлением поступательного движения буравчика, рукоятка которого движется в том же направлении, что и тело.

Определение:Если тело участвует одновременно в нескольких вращательных движениях, то результирующая угловая скорость определяется по правилу векторного (геометрического) сложения:

Величина результирующей угловой скорости определяется по аналогии с формулой (Сложение движений):

или, если оси вращения перпендикулярны друг другу

Примечание: Результирующее угловое ускорение определяется аналогичным образом. Графически результирующую можно найти как диагональ параллелограмма скоростей или ускорений.

• Попроси больше объяснений
• Следить
• Отметить нарушение

Emka1 09.06.2014

Ответ

Угловое ускорение
ε=Δω/t
На участке 0-6: ε=200/6=33.3 рад/с²
На участке 6-8: ε=0
На участке 8-10 (и далее): ε=(0-(-200))/2=100 рад/с²
Строим график ε(t)

Угловой путь
φ=φ₀+εt²/2
На участке 0-6: φ₀=0: φ₁=33.3*6²/2=600 рад
На участке 6-8: φ₀=600 рад: φ₂=600 рад
На участке 8-10: φ₀=600 рад; φ₃=600+100*2²=800 рад
Строим график φ(t)

За первые 6 с угловое ускорение постоянно и равно 33,3 рад/с². Поэтому среднее значение за этот промежуток времени тоже равно 33,3 рад/с²

Кикоин А.К. Формулы кинематики для вращательного движениях //Квант. — 1983. — № 11. — С. 25-26.

По специальной договоренности с редколлегией и редакцией журнала "Квант"

Для описания движения материальной точки или поступательного движения твердого тела пользуются следующими кинематическими величинами: перемещением (

vec s), скоростью (

vec upsilon) и ускорением (

vec a). Сами они и их проекции на оси координат связаны между собой кинематическими формулами. Например, для прямолинейного равномерного движения перемещение от времени зависит так:

vec s = vec upsilon t) или (

s_x = upsilon_x t),

где t — время, отсчитываемое от некоторого начального момента. При прямолинейном равноускоренном движении с начальной скоростью (

vec upsilon_0) формулы кинематики имеют вид:

egin vec upsilon = vec upsilon_0 + vec a t \ vec s = vec upsilon_0 t + frac<vec a t^2> <2>end) ,

egin upsilon_x = upsilon_ <0x>+ a_x t \ s_x = upsilon_ <0x>t + frac <2>\ upsilon^2_x — upsilon^2_ <0x>= 2 a_x s_x end) .

Но при вращательном движении тела величинами (

vec a) пользоваться неудобно, так как различные точки тела за один и тот же промежуток времени совершают разные перемещения и движутся с различными скоростями и ускорениями. Поэтому для описания вращательного движения вводятся специальные, так называемые угловые величины: угол поворота φ, угловая скорость ω (о них говорится в учебнике «Физика 8») и угловое ускорение (

varepsilon = frac<omega — omega_0> <Delta t>= frac<Delta omega><Delta t>) (о нем в учебнике не говорится). Для различных точек вращающегося тела они одинаковы.

Угловые величины связаны с величинами (

vec a), которые, в отличие от угловых, называют линейными, простыми соотношениями:

egin s = r varphi \ upsilon = r omega \ a = r varepsilon end) .

Здесь s — модуль перемещения данной точки тела (при малых перемещениях s — это длина дуги), r — радиус окружности, по которой она движется, υ — модуль скорости точки, а — модуль касательной проекции ускорения [1] .

Из-за такой простой связи угловых и линейных величин кинематические формулы для вращательного движения во всем подобны кинематическим формулам, приведенным выше.

При равномерном вращении тела (угловая скорость постоянна) зависимость угла поворота φ от времени имеет вид:

varphi = omega t) .

При равноускоренном вращении угловая скорость ω изменяется со временем по формуле

omega = omega_0 + varepsilon t) ,

где ω — начальная угловая скорость. Зависимость угла поворота от времени выражается формулой

Точно так же между углом поворота и иловой скоростью существует связь:

omega^2 — omega^2_0 = 2 varepsilon varphi) .

Вообще любая формула кинематики вращательного движения тела получается из соответствующей формулы кинематики точки (или поступательного движения тела) простой заменой линейной величины соответствующей угловой.

В заключение отметим (в учебнике «Физика 8» об этом не говорится), что величины φ, ω и ε тоже считаются векторными. (Нужно же отличать повороты или вращения по часовой стрелке от поворотов или вращений против часовой стрелки!) Принимается, что векторы угловых величин направлены вдоль оси вращения тела по правилу правого винта: если мысленно вращать правый винт так, как вращается тело, то направление поступательного движения винта укажет направление соответствующего вектора (см. рисунок). Правда, для углового ускорения это правило несколько усложняется: вектор ускорения совпадает по направлению с направлением движения винта, если угловая скорость возрастает по модулю, и направлен в противоположную сторону, если угловая скорость уменьшается.