Интеграл от синуса по таблице интегрирования равен: $$ int sin x dx = — cos x + C $$
Словами это читается так: интеграл от синуса равен сумме отрицательного косинуса и произвольной постоянной.
Пример 1
Найти интеграл от синус 2x: $$ int sin 2x dx $$
Решение
Напрямую интеграл взять не получится, так как аргумент синуса и знака дифференциала отличаются. Выполняем подведение под дифференциал $ 2x $ и добавляем перед интегралом дробь $ frac<1> <2>$:
$$ int sin 2x dx = frac<1> <2>int sin 2x d(2x) = -frac<1> <2>cos 2x + C $$
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ int sin 2x dx = -frac<1> <2>cos 2x + C $$
Пример 2
Найти интеграл от синуса в квадрате: $$ int sin^2 x dx $$
Решение
В данном случае необходимо воспользоваться одной из тригонометрических формул. Конкретно формулой понижения степени синуса: $$ sin^2 x = frac<1-cos 2x> <2>$$
Заменяем выражение под интегралом:
$$ int sin^2 x dx = int frac<1-cos 2x> <2>dx = frac<1> <2>int (1-cos 2x) dx = $$
$$ = frac<1> <2>int 1dx — frac<1> <2>int cos 2x dx = frac<1><2>x — frac<1><2>cdotfrac<1><2>int cos 2x d(2x) = $$
Ответ
$$ int sin^2 x dx = frac<1><2>x — frac<1><4>sin 2x + C $$
Пример 3
Найти интеграл от синуса в кубе: $$ int sin^3 x dx $$
Решение
Здесь нужно вспомнить свойство степеней и учесть: $$ sin^3 x = sin x cdot sin^2 x $$
Подставляем, полученное выражение в интеграл и заносим $ sin x $ под знак дифференциала:
$$ int sin^3 x dx = int sin x sin^2 x dx = — int sin^2 x d(cos x) = $$
Далее используем свойство $ sin^2 x = 1 — cos^2 x $:
$$ = -int (1-cos^2 x) d(cos x) = -int d(cos x) + int cos^2 x d(cos x) = $$
$$ = — cos x + frac<cos^3 x> <3>+ C = frac<1> <3>cos^3 x — cos x + C $$
Ответ
$$ int sin^3 x dx = frac<1> <3>cos^3 x — cos x + C $$
Пример 4
Вычислить определенный интеграл от синуса: $$ int_0^pi sin x dx $$
Решение
Вычисление начнем как в случае с неопределенным интегралом и в конце используем формулу Ньютона-Лейбница $ int_a^b f(x) dx = F(x) igg |_a^b = F(b)-F(a) $:
$$ int_0^pi sin x dx = -cos x igg |_0^pi = -cos pi + cos 0 = -(-1) + 1 = 1+1=2 $$
Решение
Используем интегрирование по частям:
пусть и пусть dx.
Интеграл от синуса есть минус косинус:
Теперь решаем под-интеграл.
Интеграл от произведения функции на константу есть эта константа на интеграл от данной функции:
Подынтегральное выражение можно преобразовать из произведения тригонометрических функций в сумму
Рассмотрим интегралы, в которых подынтегральная функция представляет собой произведение синусов и косинусов первой степени от икса, умноженного на разные множители, то есть интегралы вида
(1)
Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами
(2) (3) (4) можно преобразовать каждое из произведений в интегралах вида (31) в алгебраическую сумму и проинтегрировать по формулам
(5)
(6)
Решение. По формуле (2) при
Применяя далее формулу (5), получим
Решение. По формуле (3) при получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:
Применяя далее формулу (6), получим
Решение. По формуле (4) при получаем следующее преобразование подынтегрального выражения:
Применяя формулу (6), получим
Интеграл произведения степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента
Рассмотрим теперь интегралы от функций, представляющих собой произведение степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента, т.е.
(7)
В частных случаях один из показателей (m или n) может равняться нулю.
При интегрировании таких функций используется то, что чётную степень косинуса можно выразить через синус, а дифференциал синуса равен cos x dx (или чётную степень синуса можно выразить через косинус, а дифференциал косинуса равен — sin x dx ) .
Следует различать два случая: 1) хотя бы один из показателей m и n нечётный; 2) оба показателя чётные.
Пусть имеет место первый случай, а именно показатель n = 2k + 1 — нечётный. Тогда, учитывая, что
Подынтегральное выражение представлено в таком виде, что одна его часть – функция только синуса, а другая – дифференциал синуса. Теперь с помощью замены переменной t = sin x решение сводится к интегрированию многочлена относительно t. Если же только степень m нечётна, то поступают аналогично, выделяя множитель sinx, выражая остальную часть подынтегральной функции через cos x и полагая t = cos x . Этот приём можно использовать и при интегрировании частного степеней синуса и косинуса, когда хотя бы один из показателей — нечётный. Всё дело в том, что частное степеней синуса и косинуса — это частный случай их произведения: когда тригонометрическая функция находится в знаменателе подынтегрального выражения, её степень — отрицательная. Но бывают и случаи частного тригонометрических функций, когда их степени — только чётные. О них — следующем абзаце.
Если же оба показателя m и n – чётные, то, используя тригонометрические формулы
понижают показатели степени синуса и косинуса, после чего получится интеграл того же типа, что и выше. Поэтому интегрирование следует продолжать по той же схеме. Если же один из чётных показателей — отрицательный, то есть рассматривается частное чётных степеней синуса и косинуса, то данная схема не годится. Тогда используется замена переменной в зависимости от того, как можно преобразовать подынтегральное выражение. Такой случай будет рассмотрен в следующем параграфе.
Пример 4. Найти интеграл от тригонометрической функции
Решение. Показатель степени косинуса – нечётный. Поэтому представим
и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos xdx ). Тогда получим
Возвращаясь к старой переменной, окончательно найдём
Пример 5. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Показатель степени косинуса, как и в предыдущем примере – нечётный, но больше. Представим
и произведём замену переменной t = sin x (тогда dt = cos xdx ). Тогда получим
и получим
Возвращаясь к старой переменной, получаем решение
Пример 6. Найти интеграл от тригонометрической функции
Решение. Показатели степени синуса и косинуса – чётные. Поэтому преобразуем подынтегральную функцию так:
Во втором интеграле произведём замену переменной, полагая t = sin2x . Тогда (1/2)dt = cos2xdx . Следовательно,
Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 7. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Использование метода замены переменой
Метод замены переменной при интегировании тригонометрических функций можно применять в случаях, когда в подынтегральном выражении присутствует только синус или только косинус, произведение синуса и косинуса, в котором или синус или косинус — в первой степени, тангенс или котангенс, а также частное чётных степеней синуса и косинуса одного и того же аргумента. При этом можно производить перестановки не только sinx = t и sinx = t , но и tgx = t и ctgx = t .
Пример 8. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной: , тогда . Получившееся подынтегральное выражение легко интегрируется по таблице интегралов:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
Пример 9. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Преобразуем тангенс в отношение синуса и косинуса:
.
Произведём замену переменной: , тогда . Получившееся подынтегральное выражение представляет собой табличный интеграл со знаком минус:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Пример 10. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Произведём замену переменной: , тогда .
Преобразуем подынтегральное выражение, чтобы применить тригонометрическое тождество :
Производим замену переменной, не забывая перед интегралом поставить знак минус (смотрите выше, чему равно dt ). Далее раскладываем подынтегральное выражение на множители и интегрируем по таблице:
.
Возвращаясь к первоначальной переменной, окончательно получаем:
.
Найти интеграл от тригонометрической функции самостоятельно, а затем посмотреть решение
Пример 11. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Универсальная тригонометрическая подстановка
Универсальную тригонометрическую подстановку можно применять в случаях, когда подынтегральное выражение не подпадает под случаи, разобранные в предыдущих параграфах. В основном, когда синус или косинус (или и то, и другое) находятся в знаменателе дроби. Доказано, что синус и косинус можно заменить другим выражением, содержащим тангенс половины исходного угла следующим образом:
где .
Тогда .
Но заметим, что универсальная тригонометрическая подстановка часто влечёт за собой довольно сложные алгебраические преобразования, поэтому её лучше применять, когда никакой другой метод не работает. Разберём примеры, когда вместе с универсальной тригонометрической подстановкой используются подведение под знак дифференциала и метод неопределённых коэффициентов.
Пример 12. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда .
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда
Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 2. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим
К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 13. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда .
Дроби в числителе и знаменателе умножаем на , а двойку выносим и ставим перед знаком интеграла. Тогда
.
Чтобы в результате преобразований прийти к табличному интегралу, попытаемся получить в знаменателе полный квадрат. Для этого умножим числитель и знаменатель подынтегрального выражения на 3. Применяем интегрирование подведением под знак дифференциала. Получим
К полученному результату преобразований можем теперь применить табличный интеграл 21. В результате получаем окончательное решение:
.
Пример 14. Найти интеграл от тригонометрической функции
.
Решение. Решение. Воспользуемся универсальной тригонометрической подстановкой. Тогда
Используем метод неопределённых коэффициентов. Получим следующее подынтегральное выражение:
Чтобы найти коэффициенты, решим систему уравнений:
Используем подведение под знак дифференциала:
К последнему слагаемому применяем замену переменной , тогда . Получаем:
Преобразуем и вернём на место первоначальную переменную и окончательно получим решение: