Интегрирование чётных и нечётных функций

При вычислении определенных интегралов от четных и нечетных функций полезно иметь в виду следующие формулы:

(в предположении, что f(x) – непрерывная на симметричном относительно начала координат отрезке [-a;a] функция).

Пример 5. Вычислить: .

Решение: подынтегральная функция чётная, поэтому

1.6. Интеграл от периодической функции по периоду

Пусть фуккция f(x) – непрерывная, периодическая с периодом Т, т.е. f(x+T)=f(x).

Для такой функции имеет место следующее свойство: интеграл от периодической функции по периоду не зависит от положения интервала интегрирования: , (т.е. на любом промежутке длины Тинтеграл от периодической функции имеет одно и то же значение).Пример Пример 6. Вычислить: .

Решение: подынтегральная функция имеет период T=π, поэтому из верхнего и нижнего периодов можно вычесть 2π, полученный интеграл будет равен данному:

ПРИЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

2.1. Геометрические приложения определенного интеграла

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9826 — | 7691 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

Сначала вспомним, что такое чётность функции. Функция является чётной, если для неё выполнено условие . Для того, чтобы проверить этот факт, ВМЕСТО нужно подставить , простейшие примеры:

, проверка: ,
, проверка: ,
, и он, как многие помнят, тоже чётный: ,

таким образом, все перечисленные функции являются чётными.

Теперь рассмотрим определённый интеграл вида . Легко заметить, что отрезок интегрирования симметричен относительно нуля.

Если подынтегральная функция является чётной, то интеграл можно вычислить по половине отрезка, а результат – удвоить: .

Почему? …догадались? Рассмотрим конкретный пример с чертежом:

Пример 21
Вычислить определенный интеграл

Хоть и очевидно, но проверим функцию на чётность:

И, согласно правилу, на симметричном относительно нуля отрезке наш интеграл можно «споловинить»:

А сейчас геометрическая интерпретация: график любой чётной функция, в частности , симметричен относительно оси , и теперь-то всем понравится геометрический смысл определённого интеграла:)

Определенный интеграл численно равен площади фигуры, которая заштрихована серым цветом. Но, в силу чётности подынтегральной функции и симметрии её графика, достаточно вычислить площадь синей фигуры, а результат удвоить. Одинаковые же половинки!

Возможно, некоторые скажут: «Да зачем это всё нужно? – можно ведь и так вычислить определенный интеграл». Можно. Давайте вычислим:

Но удобно ли было подставлять отрицательный нижний предел? Не очень-то. И «минус» тут частенько теряют. Поэтому гораздо проще и приятнее подставить ноль.

Замечу также, что это ещё был простой демонстрационный пример, на практике всё бывает хуже, особенно, когда имеешь дело с двойными и тройными интегралами, где вычислений и так хватает.
Разминочный интеграл для самостоятельного решения:

Пример 22

И обратите внимание, что когда вам предложено ПРОСТО ВЫЧИСЛИТЬ определенный интеграл, то чертеж выполнять не нужно! Достаточно убедиться в чётности функции (как правило, устно) и перед решением сделать соответствующий письменный комментарий. Кстати, о птичках:
Пример 23
1) Вычислить определенный интеграл: .
2) Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линией и осью на промежутке .

Внимание! Это две РАЗНЫЕ задачи! Решаем:

1) Подынтегральная функция является чётной, отрезок интегрирования симметричен относительно нуля, поэтому:
– определённый интеграл получился отрицательным, и так бывает!

2) Теперь задача на нахождение площади фигуры:

На отрезке график функции расположен ниже оси , поэтому:
– площадь отрицательной быть не может! Знак «минус» в формуле и не позволил.

Заметьте, что чётность косинуса никто не отменял, поэтому мы опять споловинили отрезок и удвоили интеграл.
Творческий пример для самостоятельного решения + новинка:

Пример 24
Вычислить площадь круга, ограниченного окружностью

Напоминаю, что уравнение задаёт окружность радиуса с центром в начале координат; а функции – верхнюю и нижнюю полуокружности соответственно.

Новизна же состоит в ранее не встречавшейся замене , где новые пределы интегрирования удобно отыскать из обратной функции . И, конечно, приятно, что ответ известен заранее, по школьной формуле, площадь круга:

Забавно, что формула и выводится с помощью этого интеграла.

Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате ,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Читайте также:

Float average_value(int, int); // Прототип функции
I. Взгляды командования иностранных армий на использование мотопехотной (танковой) ротной тактической группы в обороне. Возможный состав ротных тактических групп.
I. Место и роль МПВО в советском военном строительстве. Структура и функции МПВО к началу Великой Отечественной войны.
II. ФУНКЦИИ ЦЕНТРАЛЬНОГО БАНКА.
Ordm;. Сведение кратных интегралов к повторным интегралам.
Абсолютная сходимость несобственных интегралов.
Алгоритм разложения функции в ряд Тейлора
Алгоритмы распределения памяти с использованием внешней памяти
Аналитическое получение дискретной передаточной функции из непрерывной с помощью ZOH
Асимптоты графика функции
Асимптоты графика функции.
Атмосфера, ее состав и строение. Функции атмосферы.

Лекция 40. Вычисление определенного интеграла. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Некоторые приложения определенных интегралов. Понятие о несобственных интегралах.

Подстановка в определенных интегралах.

Пусть y = f(x) – непрерывная на промежутке [a; b] оси ox функция, а — непрерывная на промежутке [α; β] функция, имеющая к тому же на [α;β] непрерывную производную (то есть x=φ(t) – непрерывно дифференцируемая на [α; β] функция). Кроме того, будем считать, что когда переменная t меняется от α до β, то переменная x = φ(t) меняется от a до b. Таким образом, φ(α) = b и φ(β) = b. Тогда при вычислении можно совершить подстановку по следующей схеме:

x	a b
t	α β

(1)

Докажем правомочность схемы (1). Пусть

(2)

Здесь F(x) – некоторая первообразная для функции f(x). То есть F΄(x) = f(x). Но тогда, по правилу вычисления производной сложной функции,

(3)

Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница

(4)

Равенство результатов (2) и (4) и доказывает правомочность схемы (1).

Кстати, сравнивая схему (1) вычисления определенных интегралов с помощью подстановки с аналогичной схемой вычисления неопределенных интегралов, можно увидеть и то, что в этих схемах общее, и то, что различно.

Примечание. На практике часто бывает удобнее делать подстановку не вида x = φ(t), а вида t = φ(x).

Вычисление определенных интегралов по частям.

Мы уже знаем, что по частям можно вычислять неопределенные интегралы. Для этого используется уже полученная формула . Но по частям можно вычислять и определенные интегралы. Это делается по внешне похожей формуле (5):

(5)

Здесь и – любыедве непрерывные на [a; b] функции, имеющие на этом промежутке и непрерывные производные и (то есть и — непрерывно дифференцируемые на [a; b] функции).

Докажем формулу (5). Учтем, что

(6)

Функция , стоящая в этом равенстве справа, согласно указанных выше условий для функций и , является непрерывной на промежутке [a; b]. Значит, существует определенный интеграл от нее: