Исследовать на ограниченность функцию примеры

• Попроси больше объяснений
• Следить
• Отметить нарушение

Andreyk2002 20.10.2017

Ответ

3. Имеем дело с параболой. Вычислим координаты вершины Xв=-3/-2=3/2=1,5
Yв=-(3/2)^2+3*(3/2)+1=3,25
Так как по свойствам параболы мы знаем, что ветви направленны будут вниз, то значений функции больше значения вершины параболы существовать не будет. Отсюда следует, что функция ограничена сверху.

4. Имеем дело с параболой. Вычислим координаты вершины Xв=3/4=0,75
Yв=2*(0,75)^2-3*(0,75)-1=-2,125
Так как по свойствам параболы мы знаем, что ветви направленны будут вверх, то значений функции меньше значения вершины параболы существовать не будет. Отсюда следует, что функция ограничена снизу.

Никакими другими точками любая парабола ограничена быть не может.

В 7-м и 8-м классах вы изучали некоторые свойства функций. Сейчас мы их соберем вместе, в один параграф, напомним их суть и геометрический смысл и договоримся о том, в каком порядке будем перечислять эти свойства при чтении графика функции. Обратите внимание: во всех определениях фигурирует числовое множество X, являющееся частью области определения функции: X с D(f). На практике чаще всего встречаются случаи, когда X — числовой промежуток (отрезок, интервал, луч и т.д.).

Функцию у = f(х) называют возрастающей на множестве X с D(f), если для любых двух точек х₁ и х₂ множества X, таких, что х₁ f(x₂).

На практике удобнее пользоваться следующими формулировками: функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции; функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

В 7-м и 8-м классах мы использовали следующее геометрическое истолкование понятий возрастания или убывания функции: двигаясь по графику возрастающей функции слева направо, мы как бы поднимаемся в горку (рис. 55); двигаясь по графику убывающей функции слева направо, как бы спускаемся с горки (рис. 56).
Обычно термины «возрастающая функция», «убывающая функция» объединяют общим названием монотонная функция, а исследование функции на возрастание или убывание называют исследованием функции на монотонность.

Отметим еще одно обстоятельство: если функция возрастает (или убывает) в своей естественной области определения, то обычно говорят, что функция возрастающая (или убывающая) — без указания числового множества X.

Исследовать на монотонность функцию:

а) у = х 3 + 2; б) у = 5 — 2х.

а) Возьмем произвольные значения аргумента х₁ и х₂ и пусть х₁ -2х₂; далее имеем 5 — 2.x₁ > 5 — 2х₂, т.е. f(х₁) > f(х₂).

Итак, из х₁ f(х₂), а это означает, что заданная функция убывает (на всей числовой прямой).

Функцию у — f(х) называют ограниченной снизу на множестве X с D (f), если все значения функции на множестве X больше некоторого числа (иными словами, если существует число m такое, что для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) >m).

Функцию у = f(х) называют ограниченной сверху на множестве X с D (f), если все значения функции меньше некоторого числа (иными словами, если существует число М такое, что для любого значения х є X выполняется неравенство f(х) f(х₀).

Число М называют наибольшим значением функции у = f(x) на множестве X С D(f), если:
1) в Х существует такая точка х₀, что f(x₀) = М;
2) для всех x из X выполняется неравенство
Наименьшее значение функции мы обозначали и в 7-м, и в 8-м классах символом у, а наибольшее — символом у.

Если множество X не указано, то подразумевается, что речь идет об отыскании наименьшего или наибольшего значения функции во всей области определения.

Достаточно очевидны следующие полезные утверждения:

1) Если у функции существует Y, то она ограничена снизу.
2) Если у функции существует Y, то она ограничена сверху.
3) Если функция не ограничена снизу, то Y не существует.
4) Если функция не ограничена сверху, то Y не существует.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции
Решение.

Достаточно очевидно, особенно если прибегнуть к помощи графика функции (рис. 52), что = 0 (этого значения функция достигает в точках х = -3 и х = 3), а = 3 (этого значения функция достигает в точке х = 0.
В 7-м и 8-м классах мы упоминали еще два свойства функций. Первое назвали свойством выпуклости функции. Считается, что функция выпукла вниз на промежутке X, если, соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка (рис. 59). непрерывность Функция выпукла вверх на промежутке X, если, функции соединив любые две точки ее графика (с абсциссами из X) отрезком прямой, мы обнаружим, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка (рис. 60).

Второе свойство — непрерывность функции на промежутке X — означает, что график функции на промежутке X — сплошной, т.е. не имеет проколов и скачков.

На самом деле в математике все обстоит, как говорится, «с точностью до наоборот»: график функции изображается в виде сплошной линии (без проколов и скачков) только тогда, когда доказана непрерывность функции. Но формальное определение непрерывности функции, достаточно сложное и тонкое, нам пока не по силам. То же самое можно сказать и о выпуклости функции. Обсуждая указанные два свойства функций, будем по-прежнему опираться на наглядно-интуитивные представления.

А теперь проведем смотр наших знаний. Вспомнив о тех функциях, которые мы с вами изучали в 7-м и 8-м классах, уточним, как выглядят их графики, и перечислим свойства функции, придерживаясь определенного порядка, например такого: область определения; монотонность; ограниченность; , ; непрерывность; область значений; выпуклость.

Впоследствии появятся новые свойства функций, соответственно будет меняться и перечень свойств.

1. Постоянная функция у = С

График функции у = С изображен на рис. 61 — прямая, параллельная оси х. Это настолько неинтересная функция, что нет смысла перечислять ее свойства.

Графиком функции у = кх + m является прямая (рис. 62, 63).

Свойства функции у = кх + m:

1)
2) возрастает, если к > 0 (рис. 62), убывает, если к 2 является парабола с вершиной в начале координат и с ветвями, направленными вверх, если к > О (рис. 64), и вниз, если к 2 :

Для случая к> 0 (рис. 64):

1) D(f) = (-оо,+оо);
2) убывает на луче (-оо, 0], возрастает на луче [0, +оо);
3) ограничена снизу, не ограничена сверху;
4) = не существует;
5) непрерывна;
6) Е(f) = [0,+оо);
7) выпукла вниз.

Обратите внимание: на промежутке (-оо, 0] функция убывает, а на промежутке [0, +оо) функция возрастает. Эти промежутки называют промежутками монотонности функции у = кх 2 . Понятие промежутка монотонности будем использовать и для других функций.

Для случая к = (-оо, 0];
7) выпукла вверх.

График функции у = f(х) строится по точкам; чем больше точек вида (х; f(х)) мы возьмем, тем более точное представление о графике получим. Если этих точек взять достаточно много, то и представление о графике сложится более полное. Именно в этом случае интуиция и подсказывает нам, что график надо изобразить в виде сплошной линии (в данном случае в виде параболы). А уж затем, читая график, мы делаем выводы о непрерывности функции, о ее выпуклости вниз или вверх, об области значений функции. Вы должны понимать, что из перечисленных семи свойств «законными» являются лишь свойства 1), 2), 3), 4) — «законными» в том смысле, что мы в состоянии обосновать их, ссылаясь на точные определения. Об остальных свойствах у нас имеются только наглядно-интуитивные представления. Кстати, в этом нет ничего плохого. Из истории развития математики известно, что человечество часто и долго пользовалось различными свойствами тех или иных объектов, не зная точных определений. Потом, когда такие определения удавалось сформулировать, все становилось на свои места.

Графиком функции является гипербола, оси координат служат асимптотами гиперболы (рис. 66, 67).

1) D(f) = (-00,0)1U (0,+оо);
2) если к > 0, то функция убывает на открытом луче (-оо, 0) и на открытом луче (0, +оо) (рис. 66); если к 0, то функция выпукла вверх при х 0, т.е. на открытом луче (0, +оо) (рис. 66). Если к О и выпукла вниз при х 2 + Ьх + с
Графиком функции является парабола с вершиной в точке
и с ветвями, направленными вверх, если а > 0 (рис. 70), и вниз,
если а

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Монотонность и ограниченность функции
на множестве

актуализировать и сформулировать определения монотонности и ограниченности функции на множестве;

формировать умение определять данные свойства по графику и аналитической записи функции.

1. Сопоставьте графики функций и задающих их формул.

2. Найдите область определения функции, заданной формулой.

3. Объяснение нового материала.

1. Объяснение проводим согласно пункту учебника. Напоминаем известные из курса алгебры основной школы такие свойства функции, как монотонность (возрастание либо убывание на множестве), ограниченность (снизу или сверху на множестве).

2. При рассмотрении понятия монотонности функции особое внимание следует уделить словесной формулировке, так как она является «рабочей». Прежде чем вводить сами определения, можно предложить учащимся выполнить следующие задания:

1) Укажите промежутки возрастания и убывания функций.

2) Нарисуйте схематично график функции, возрастающей на промежутках (–  ; –2) и (5; +  ) и убывающей на промежутке (–2; 5).

3. Разбираем на примере 1 со с. 11 учебника исследование функции на монотонность с использованием неравенств.

4. Напоминая определение ограниченной функции, просим учащихся схематично изобразить графики элементарных функций и выбрать среди них ограниченные.

5. Разбираем пример 2 со с. 12 учебника исследования функции на ограниченность с помощью неравенств.

4. Формирование умений и навыков.

Задания, выполняемые на этом уроке, можно разбить на 2 группы.

1-я группа . Исследование функции на монотонность с использованием свойств числовых неравенств.

2-я группа . Исследование функции на ограниченность с использованием свойств числовых неравенств.

№ 2.1 (а; б), № 2.2 (а; б), № 2.3 (а; б), № 2.4 (а; б), № 2.5 (а; б).

б) Обозначим Если то, по свойствам числовых неравенств, и, далее, то есть значит, данная функция убывает на всей числовой прямой.

б) Обозначим

Если х ₁ > х ₂ , то х ₁ + 2 > х ₂ + 2, но так как при х х + 2 х

б) Обозначим

Если х ₁ > х ₂ , то

значит, данная функция убывает на всей числовой прямой.

б) Обозначим

Если х ₁ > х ₂ , то и, далее,

значит, данная функция убывает на D ( f ).

б)

Если х > 0, то график функции представляет собой ветвь гиперболы и ограничен снизу, а функция – ограничена сверху прямой у = 0.

График данной функции получен сдвигом графика функции на две единицы вверх, значит, функция ограничена сверху прямой у = 2.

Ответ : ограничена сверху.

б)

С одной стороны, очевидно, что значит, функция ограничена снизу.

Рассмотрим функцию Графиком является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина в точке с координатами ( х ₀ ; у ₀ ), где Значит, функция сверху не ограничена.

Ответ : ограничена снизу.

– Дайте определение функции убывающей (возрастающей) на множестве.

– Какая функция называется монотонной?

– Какая функция называется ограниченной снизу (сверху) на множестве?

– Какие способы исследования функции на монотонность и ограниченность?

Домашнее задание : № 2.1 (в) – № 2.7 (в).