Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по некоторому закону функция , определенная на множестве , то говорят, что на множестве задана функциональная последовательность . Множество называется областью определения последовательности .
Если для некоторого числовая последовательность сходится, то говорят, что последовательность функций сходится в точке . Последовательность функций, сходящуюся в каждой точке , называют сходящейся на множестве .
Если для всех , то говорят, что последовательность на множестве сходится к функции . Эту функцию называют предельной функцией последовательности.
Равномерная сходимость функциональных последовательностей
Пусть задана последовательность функций и предельная функция . Говорят, что последовательность функций равномерно сходится на множестве к функции если
$$forall varepsilon >0 quad exists n_< varepsilon >in mathbb
ight| 0" /> мы можем выбрать номер 
, начиная с которого все последующие члены ряда будут меньше 
, 
. Значит последовательность сходится равномерно к нулю на .
Аналогично вводим понятие функциональных рядов. Пусть каждому натуральному числу ставится в соответствие по некоторому закону функция , определенная на множестве . Формально говоря нам дана функциональная последовательность .
Выражение вида называется функциональным рядом. Если для некоторого числовой ряд сходится, то говорят, что функциональный ряд сходится в точке . Функциональный ряд, сходящийся в каждой точке , называют сходящимся на множестве .
Сумма первых членов ряда называется его частичной суммой. Заметим, что частичная сумма сама является функцией. Мы получаем функциональную последовательность .
Изучим сходимость ряда
$$x^2 + frac <1+x^2>+ dots + frac <(1+x^2)^n>+ dots,$$
Где — действительное число. Этот ряд сходится при всех . При мы имеем бесконечно убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем , . Таким образом:
$$x^2 + frac <1+x^2>+ dots + frac <(1+x^2)^n>+ dots = frac<1-frac<1><1+x^2>> = 1 + x^2 .$$
При каждый член ряда равен нулю и тогда сумма всего ряда равна нулю.
Равномерная сходимость функциональных рядов
Пусть задан функциональный ряд , члены которого являются функциями, определенными на множестве . Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве , если последовательность его частичных сумм равномерно сходящаяся на множестве . Согласно определению равномерной сходимости последовательности функции, существует такая функция , что
$$forall varepsilon >0 quad exists n_< varepsilon >in mathbb
ight| 0 quad exists n_< varepsilon >in mathbb
ight| 0 quad exists n_< varepsilon >in mathbb
ight| 0
Идёт приём заявок
Подать заявку 
Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Выбранный для просмотра документ Открытый урок.ppt
Описание презентации по отдельным слайдам:
Пусть функции определены на некотором множестве Х. Тогда последовательность называется функциональной, а множество Х – областью определения функциональной последовательности.
Пусть функциональная последовательность определена на некотором множестве Е и пусть Если числовая последовательность сходится, то последовательность сходится в точке , т.е. Понятно, что а зависит от выбора точки и может быть поставлено в соответствие этой точке:
Последовательность , сходящаяся в каждой точке , называется сходящейся на множестве Е. Область сходимости — множество всех точек, на которых сходится последовательность .
Пусть последовательность сходится на множестве Е, т.е. сходится в каждой точке этого множества. Тогда, как отмечалось выше, каждой точке х ϵ Е можно поставить в соответствие значение предела числовой последовательности значений функций в данной точке. В этом случае на множестве Е будет определена функция , значение которой в любой точке равно пределу последовательности . Функцию называют предельной функцией последовательности на множестве Е и пишут: или
Рассмотрим последовательности с их предельными функциями:
Равномерная сходимость: (1) (2)
Для того чтобы последовательность функций , определенных на множестве Е, сходилась равномерно на этом множестве к функции , необходимо и достаточно, чтобы
Критерий Коши равномерной сходимости последовательности Для того чтобы последовательность функций сходилась равномерно на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши:
Алгоритм исследования функциональной последовательности на равномерную сходимость 1.Найти предельную функцию 2.Ввести в рассмотрение функцию 3. Исследовать функцию на Е и найти наибольшее значение на Е (если наибольшего значения нет, то находим ). 4.Найти 5. Полученное значение сравнить с нулем и сделать вывод о сходимости функциональной последовательности.
Т.к. на промежутке — единственная точка максимума, то в ней достигается супремум В силу четности функции он же является супремумом на R. + — 5. Следовательно, 0
+ — 5.Следовательно, 0 Т.к. на промежутке — единственная точка максимума, то в ней достигается супремум В силу четности функции он же является супремумом на R.
Выбранный для просмотра документ Урок.docx
Сценарий урока по теме:
«Функциональная последовательность. Равномерная сходимость
в курсе дисциплины «Математический анализ» у студентов высших учебных заведений
Автор: Лучинский Михаил Михайлович, учитель математики муниципального автономного общеобразовательного учреждения лицея № 4 (ТМОЛ)
г. Таганрог, Ростовская область
образовательные: – отработка умений систематизировать, обобщать знания о последовательностях, закрепить и усовершенствовать накопленные знания;
воспитательные: – воспитание познавательной активности, чувства ответственности, культуры общения, культуры диалога;
развивающие: — развитие зрительной памяти, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.
Тип урока: ознакомление с новым материалом, постановка новой учебной задачи.
Вид урока: комбинированный.
-экран, мультимедийный проектор, компьютер;
-задания для самостоятельной работы.
Организационный момент, объявление целей урока ( 2 мин.)
Добрый день, ребята!
Сегодня на уроке мы познакомимся с новой темой «Функциональная последовательность. Равномерная сходимость функциональной последовательности», а так же обобщим знания о последовательностях, закрепим и усовершенствуем накопленные знания.
Актуализация знаний студентов, постановка учебной задачи (25 мин.)
Аналогично числовым последовательностям, функциональные последовательности задаются формулой n -го члена, аналитическое выражение которого зависит от натурального аргумента п и непрерывного аргумента x , пробегающего некоторое множество. Рассмотрим примеры функциональных последовательностей.
На данном слайде представлена функциональная последовательность, заданная формулой n -го члена и своей областью определения. На чертеже вы видите графики 1,3 и 5 членов данной последовательности.
На слайде, как и в предыдущем случае, мы видим функциональную последовательность, заданную формулой n -го члена со своей областью определения. На чертеже представлены графики 1,4 и 7 членов данной последовательности.
Теперь попытаемся ввести понятие о сходимости функциональной последовательности.
Пусть нам дана функциональная последовательность 
с областью определения Е и точка 
Если мы рассмотрим данную последовательность в этой точке, то получим 
, а как называется полученный объект? (ответ- числовая последовательность). Ранее, когда мы говорили о числовой последовательности, какие важные понятия, связанные с ней, мы изучили? (ответ- понятие предела и понятие сходимости числовой последовательности) . Так давайте же разберемся, когда функциональная последовательность сходится? У кого какие предложения? ( предполагаемый ответ- функциональна последовательность называется сходящейся в точке 
, если соответствующая числовая последовательность значений функции сходится в данной точке).
Давайте посмотрим, действительно ли высказанное предположение верно?
Да, это так- слайд 5…..в конце слайда- к этому мы вернемся чуть позже.
А как же теперь определить сходимость функциональной последовательности на множестве? (ответ- если сходится в каждой точке множества)- слайд 6.
Как видно из данного определения, исследование функциональной последовательности на сходимость приводит к решению двух задач:
Необходимо выяснить область сходимости последовательности;
Найти предельную функцию, для которой область сходимости функциональной последовательности является областью определения.
Совершенствование практических навыков (30 мин.)
А сейчас мы решим задачу на нахождение области сходимости функциональной последовательности и ее предельной функции: слайд 8.
При х>0 данная последовательность будет знакоположительной, а при х — знакопеременной, поэтому рассмотрим следующие случаи:
Ребята, что собой представляет функция, стоящая в числителе, при 
? (ответ- бесконечно убывающая геометрическая геометрическая прогрессия), а в знаменателе?
Теперь рассмотрим примеры на нахождение предельной функции:
Дана функциональная последовательность со своей областью определения. На чертеже вы видите графики 1,2 и 10 членов данной последовательности. Найдем предел…..
Кто мне подскажет, как находится данный предел? (ответ- произведение бесконечно малой на ограниченную, в пределе 0). Вы видите, что красным цветом выделен график предельной функции.
Слайд 10: Дана функциональная последовательность со своей областью определения. На чертеже вы видите графики 1,2 и 3 членов данной последовательности. Найдем предел…..
Как вычисляется данный предел? (ответ- заменяем на эквивалентную, в пределе 0). Как и в прошлом примере, красным цветом обозначен график предельной функции.
Рассмотрим последовательности с их предельными функциями- слайд 11.
Посмотрите пожалуйста на данный слайд. На нем мы видим: красным цветом изображен график предельной функции, синим цветом- график первого члена данной последовательности, а зеленым- соответственно график n -го члена данной функциональной последовательности. Сейчас мы посмотрим движение графика к своей предельной функции при изменении n . Мы видим горб, передвигающийся с возрастанием n справа налево. Точки последовательных кривых с возрастанием n бесконечно приближаются к оси х , но в целом ни одна кривая не примыкает к этой оси.
Теперь рассмотрим вторую последовательность: слайд 13. Так же, как и на предыдущем слайде, мы видим: красным цветом изображен график предельной функции, синим цветом- график первого члена данной последовательности, а зеленым- соответственно график n -го члена данной функциональной последовательности. Сейчас мы посмотрим движение графика к своей предельной функции при изменении n . Мы видим горб, передвигающийся с возрастанием n справа налево. В данном случае кривые сразу на всем своем протяжении примыкают к оси х.
Чем отличается наблюдаемая вами картина в первом случае от второго случая? (ответ- во втором случае происходит прилипание графика к своей предельной функции, нежели в случае 1).
А сейчас давайте посмотрим, чем отличается обычная сходимость функциональной последовательности к своей предельной функции от равномерной? Есть ли у вас предложения? (ответ- номер не зависит от х ).
Ребята, сейчас мы рассмотрим очень важный критерий- критерий равномерной сходимости последовательности функций, с помощью него мы будем исследовать все функциональные последовательности и выяснять, сходится ли функциональная последовательность к своей предельной функции или нет.
Как и для числовых последовательностей, для функциональных так же существует критерий Коши сходимости последовательности: слайд 16. Мы им пользоваться не будем, поэтому я вам сообщаю его только для справки.
Мы уже сегодня много говорили с вами о функциональных последовательностях, об их сходимостях. Давайте же теперь запишем алгоритм, с помощью которого вы будете исследовать функциональную последовательность на равномерную сходимость:
Вернемся теперь к ранее рассмотренным двум функциональным последовательностям и исследуем их на равномерную сходимость:
Закрепление изученного материала (25 мин.)
Ребята, чтобы закрепить знания, которые вы получили сегодня на уроке, предлагаю вам выполнить самостоятельную работу в парах, она заключается в следующем: сейчас вы сядете за компьютеры, у каждой пары на экране есть по 2 видеофайла. Откройте их и посмотрите на движение графика функциональной последовательности, затем выдвиньте гипотезу о виде сходимости: равномерная либо неравномерная, запишите свои гипотезы на листик и сдайте мне. А теперь возьмите еще по листику и проведите аналитические рассуждения, и выясните, подтвердилась ваша гипотеза или нет. Работа на скорость. Работу пары, которая выполнит первой, мы обсудим.
Подведение итогов урока (5 мин.)
Ребята, сегодня на уроке вы познакомились с новой темой: «Функциональная последовательность. Равномерная сходимость функциональной последовательности», закрепили полученные ранее знания о последовательностях. Вы научились определять сходимость функциональной последовательности как в точке, так и на всем множестве, рассмотрели критерий равномерной сходимости функциональной последовательности и выполнили с помощью него самостоятельную работу. Надеюсь, что вам понравилась сегодняшняя лекция и в дальнейшем на практике вы с легкостью примените полученные знания. Спасибо за урок, до свидания!