вероятность математический ожидание дисперсия

На конференцию из трех групп студентов одной специальности выбирают по одному делегату. Известно, что в первой группе 25, во второй — 28 и в третьей — 20 человек. Определить число возможных делегаций, если известно, что каждый студент из любой группы с одинаковой вероятностью может войти в состав делегации.

Согласно теореме о числе комбинаций: Число различных комбинаций элементов, составленных из различных групп, вида (а1, а2, . аr), где аi — элемент i-й группы, содержащей ni элементов, равно

Согласно вышесказанному, получаем ответ задачи:

число возможных делегаций равно:

Ответ: число возможных делегаций равно:

Из букв разрезной азбуки составлено слово «ремонт». Карточки с отдельными буквами перемешивают, затем наугад вытаскивают 4 карточки и раскладывают их в порядке извлечения. Какова вероятность получения при этом слова «море»?

Рассматриваем слов «ремонт». В нем нет повторяющихся букв, всего в нем 6 букв. В слове «море» — 4 буквы. Значит, общее число элементарных исходов равно числу размещений из 6 букв, по 4 буквы:

Слово «море» — т.е. количество благоприятных исходов — получится только в одном случае, так как каждую из букв можно выбрать только одним способом: «м» — можно выбрать одним способом; «о» — можно выбрать одним способом; «р» — можно выбрать одним способом; «е» — можно выбрать одним способом.

Следовательно, искомая вероятность равна:

Ответ: Вероятность получения из слова «ремонт» слова «море»

При одном цикле обзора трех радиолокационных станций, следящих за космическим кораблем, вероятности его обнаружения соответственно равны: 0,7; 0,8; 0,9. Найти вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен:

  • а) тремя станциями;
  • б) не менее чем двумя станциями;
  • в) ни одной станцией

Обозначим через А1, А2, А3 события, состоящие в том, что самолет обнаружен соответственно первой, второй и третей станцией.

Вероятность того, что самолет не обнаружен соответственно первой, второй и третей станцией, вычислим по правилу вычисления вероятностей противоположного события:

  • а) Событие А, состоящее в том, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен тремя станциями равна:
  • б) Событие С состоит в том, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен не менее чем двумя станциями, т.е. или двумя или тремя, равна.

Событие С можно представить в виде:

Указанные слагаемые представляют собой несовместные события, поэтому по теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем:

Так как события независимые, то, применяя теорему умножения вероятностей независимых событий, имеем:

в) Событие В, состоящее в том, что при одном цикле обзора корабль не будет обнаружен ни одной из станций:

  • а) вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен тремя станциями равна
  • б) вероятность того, что при одном цикле обзора корабль будет обнаружен не менее чем двумя станциями равна
  • в) вероятность того, что при одном цикле обзора корабль не будет обнаружен ни одной из станций:

В состав блока входят 6 радиоламп первого типа и 10 второго. Гарантийный срок обычно выдерживают 80% радиоламп первого типа и 90% второго. Найти вероятность того, что:

  • а) наугад взятая радиолампа выдержит гарантийный срок;
  • б) радиолампа, выдержавшая гарантийный срок — первого типа.

событие А — «случайно выбранная радиолампа выдержит гарантийный срок»;

гипотеза Н1 — «выбранная радиолампа в блоке 1-ого типа»

гипотеза Н2 — «выбранная радиолампа в блоке 2-ого типа»

Условная вероятность того, что радиолампа выдержавшая гарантийный срок из блока 1-ого типа: Р(А/Н1)=0,8; условная вероятность того, что радиолампа выдержавшая гарантийный срок из блока 2-ого типа: Р(А/Н2)=0,9.

В соответствии с формулой полной вероятности, получаем:

Радиолампа выдержала гарантийный срок, найдем вероятность того, что она первого типа. Следовательно, произошла гипотеза Н1, при условии что наступило событие А. Вероятность этого события найдем по формуле Байеса, которая служит для переоценки вероятностей гипотез после того, как стало известно, что основное событие произошло. Таким образом,

Ответ: — вероятность того, что наугад взятая радиолампа выдержит гарантийный срок; вероятность того, что радиолампа, выдержавшая гарантийный срок — первого типа равна .

Вероятность работы каждого из семи моторов в данный момент равна 0,8. Найти вероятность того, что в данный момент включены:

  • а) хотя бы один мотор;
  • б) два мотора;
  • в) три мотора.

а) Вероятность того, что в n опытах событие А появится хотя бы один раз, определяется формулой:

где q — вероятность появления события .

Пусть событие А — «в данный момент времени мотор работает»

Значит, вероятность того, что в данный момент включен хотя бы один мотор равна:

б) Искомые вероятности находим с помощью формулы Бернулли:

Пусть событие В — «ровно два мотора в данный момент включены»

По формуле Бернулли

в) Пусть событие С — «ровно три мотора в данный момент включены»

По формуле Бернулли

Ответ: вероятность того, что в данный момент включены:

  • а) хотя бы один мотор
  • б) два мотора
  • в) три мотора

Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 минуту, равно 2. Найти вероятность того, что за 6 минут прибудет 5 самолетов, если поток прибытия самолетов простейший.

По условию, , , . Воспользуемся формулой Пуассона

Искомая вероятность того, что за 6 минут прибудет 5 самолетов, равна:

Ответ: вероятность того, что за 6 минут прибудет 5 самолетов, равна:.

Вероятность перевыполнения плана для СУ-1 равна 0,9, для СУ-2 — 0,8, для СУ-3 — 0,7. СВ Х — число СУ, перевыполнивших план. Записать закон распределения СВ Х. Вычислить М(Х), D(X), у(X). Найти F(x) и построить ее график.

Случайная величина Х может принимать значения: 0, 1, 2, 3.

По условию: вероятность перевыполнения плана для СУ-1 равна 0,9, для СУ-2 — 0,8, для СУ-3 — 0,7. Тогда вероятности противоположных событий равны соответственно: 0,1; 0,2; 0,3 — что план не перевыполнен для СУ-1, для СУ-2, для СУ-3 соответственно.

Вычислим вероятности того, что:

  • 1) ни один из самолетов план не перевыполнил:
  • 2) План перевыполнил один самолет либо СУ-1, либо СУ-2, либо СУ-3:
  • 3) План перевыполнил двумя самолетами:
  • 4) План перевыполнили все самолеты:

Следовательно закон распределения СВ Х можно записать в виде таблицы:

В прямоугольной декартовой системе координат строим точки . И соединяем их последовательно отрезками прямых.

Столбцовая диаграмма, соответствующая данному ряду распределения имеет вид:

Найдем функцию распределения СВ и построим ее график.

При значениях аргумента, лежащих левее первого значения, то есть при .

При значениях х, заключенных в интервале , .

При значениях х, заключенных в интервале ,

При значениях х, заключенных в интервале ,

При значениях х, заключенных в интервале ,

Таким образом, получаем значения и график эмпирической функции распределения:

Математическое ожидание вычисляем по формуле:

Дисперсию вычисляем по формуле:

Среднее квадратическое отклонение вычислим по формуле:

СВ Х задана функцией распределение F(х). Найти:

  • а) плотность распределения вероятностей;
  • б) математическое ожидание и дисперсию СВ Х;
  • в) вероятность попадания СВ Х на отрезок от 1 до 2
  • в) построить графики функций F(x) и f(x)

1) Плотность распределения вероятности

2) Вычислим числовые характеристики случайной величины Х:

Математическое ожидание М(Х)

Cреднее квадратическое отклонение (Х)=

3) Построим графики функций F() и p().

Вероятность того что СВ Х примет значение из интервала равна

2) М(Х)=18, D(X)=6, =2,4495,

Поток заявок, поступающих на телефонную станцию, представляет собой простейший пуассоновский поток. Математическое ожидание числа вызовов за 1 час равно 30. Найти вероятность того, что за минуту поступит не менее двух вызовов.

Пусть событие В состоит в том, что

По условию, , , . Воспользуемся формулой Пуассона

Найдем вероятность того, что за минуту поступит менее двух вызовов.

Искомая вероятность того, что за 1 минуту поступит меньше, чем два вызова, равна:

Следовательно, вероятность того, что за минуту поступит не менее двух вызовов, равна:

Ответ: вероятность того, что за минуту поступит не менее двух вызовов, равна:

Расход сырья на одно изделие случаен. Результаты наблюдений таковы:

Предположив, что расход сырья как при старой, так и при новой технологии имеет нормальное распределение, выяснить, влияет ли технология на средний расход сырья на одно изделие. Принять уровень значимости б=0,05.

Для упрощения расчетов составим таблицу:

середина интервала, xi

Найдем выборочные средние:

Для старой технологии:

для новой технологии

Для старой технологии:

Найдем исправленную дисперсию:

для новой технологии

Найдем исправленную дисперсию:

Исправленные дисперсии различны, поэтому проверим предварительно гипотезу о равенстве генеральных дисперсий, используя критерий Фишера- Снедекора.

Найдем отношение большей дисперсии к меньшей:

В качестве конкурирующей примем гипотезу Н1: D(X)?D(Y). В этом случае критическая область двусторонняя. По таблице критических точек распределения Фишера- Снедекора находим, по уровню значимости б=0,05 и числам степеней свободы и находим критическую точку . Так как — нет оснований опровергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий. Предположение о равенстве генеральных дисперсий выполняется, поэтому сравним средние.

Вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

Подставив числовые значения получаем:

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид: М(Х1)? М(Х2), поэтому критическая область двусторонняя. По уровню значимости 0,05 и числу степеней свободы 20 находим по таблице критическую точку . Так как — то нулевую гипотезу о равенстве средних принимаем. Другими словами выборочные средние различаются не значимо, и технология на средний расход сырья на одно изделие не влияет.

  • 1. Белько И.В., Кузьмич К.К. Высшая математика для экономистов: Экспресс-курс. — М.: Новое знание, 2002.
  • 2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. — М.: Высшая школа, 1988.
  • 3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. — М.: Высшая школа, 1987.
  • 4. Гусак А.А. Бричикова Е.А. Теория вероятностей. Справочное пособие к решению задач. / Изд. 2-е, — Мн.: «Тетрасистем», 2000.

• Испытание — комплекс условий появления какого-либо случайного явления.

• Событие — исход испытания.

• Частота события — отношение числа наступлений события к числу испытаний.

• Вероятность события — мера объективной возможности появления события.

• Достоверное — событие, которое обязательно наступает при испытании.

• Невозможное — событие, которое не может наступить при испытании.

• Несовместные события — наступление одного исключает наступление других.

• Независимые события — вероятности наступления событий не зависят от наступления других событий.

• Полная система событий — совокупность несовместимых событий, хотя бы одно из которых обязательно наступит при испытании.

• Если при испытании может наступить только два события и одно из них исключает наступление другого, то они называются противоположными.

Классическое определение вероятности события:

где А — событие, Р(А) — вероятность события, n — число всех исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных), m – число исходов, связанных с наступлением данного события А.

Пример 1.1.Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков, выпавших на верхних гранях равна 6.

Решение.А – событие, состоящее в том, что сумма выпавших на двух игральных костях очков равна 6. Согласно классическому определению вероятности события: где n=62=36 – число всех возможных исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных); m=5 (1+5=5+1=2+4=4+2=3+3=6) – все возможные варианты получения в сумме 6 очков при подбрасывании двух игральных костей.

Пример 1.2. В городе имеется одиннадцать различных коммерческих банков. Господин «N» открыл по одному счету в пяти различных банках. Позднее четыре банка из одиннадцати изменили ставки процентов по вкладам. Найти вероятность того, что по двум вкладам господина ставки остались неизменными.

Решение. Господин выбирал банки случайным образом. Испытание -выбор пяти банков из имеющихся одиннадцати. А – событие, состоящее в том, что по двум вкладам господина, из имеющихся пяти, ставки остались неизменными, и, следовательно, по трем другим изменились.

Р(А)= , где n= =462 — число всех исходов испытания (несовместных, единственно возможных и равновозможных); m = =21*4=84- число исходов, связанных с наступлением события А (m1— число вариантов выбора двух банков, изимеющихся семи, не изменивших ставки процентов, m2— число вариантов выбора трех банков, из имеющихся четырех, изменивших ставки процентов).

Пример 1.3. Номер телефона включает шесть цифр (от ноля до девяти). Найти вероятность того, что случайно набранный номер окажется верным.

Решение. Испытание — набор любых шести цифр, причем каждая из них может быть любой из десяти — от ноля до девяти. А— событие состоящее в том, что случайно набранный номер верен. Р(А)= , где n=106- число всех исходов испытания (несовместимых, единственно возможных и равновозможных); m=1 – число исходов, связанных с наступлением события А. .

Пример 1.4.Из букв разрезной азбуки составлено слово «ананас». Ребенок, не умеющий читать, рассыпал эти буквы, а затем собрал в произвольном порядке. Найти вероятность того, что у него снова получилось исходное слово.

Решение. А – событие, состоящее в том, что случайно собрано слово «ананас». где n=6! – число всех возможных исходов (несовместных, единственно возможных и равновозможных); m=3!2! – число благоприятных исходов, так как повторяющиеся буквы «а» и «н» можно произвольным образом переставлять между собой.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: Для студента самое главное не сдать экзамен, а вовремя вспомнить про него. 10077 — | 7520 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

  • 10 — 11 классы
  • Математика
  • 6 баллов

Слово «керамзит» составлено из букв разрезной азбуки. Затем карточки с буквами перемешивают, и из них извлекают по очереди четыре карточки. Какова вероятность, что эти четыре карточки в порядке выхода составят слово «река»?

«>