Квадраты чисел от 1 до 25
Конечно, необязательно зубрить столбики цифр, два числа всегда можно перемножить на бумаге или воспользоваться калькулятором. Но, чем больше значений вы будете помнить наизусть, тем быстрее будете решать простые примеры. Экономить время экзамена для более сложных заданий, это очень важно. А еще важнее "узнавать в лицо" квадраты, чтобы догадаться какие из формул сокращенного умножения можно применить.
Например, чем отличаются эти два выражения x 2 − 259 и x 2 − 529 ?
Тем, что первое плохо раскладывается на множители, а второе хорошо:
А как об этом догадаться, если не знать, являются ли 259 и 529 квадратами целых чисел?
Итак, учим. В следующей таблице числа расположены обычным образом — по возрастанию в столбике.
| 1 2 = 1 | 6 2 = 36 | 11 2 = 121 | 16 2 = 256 | 21 2 = 441 |
| 2 2 = 4 | 7 2 = 49 | 12 2 = 144 | 17 2 = 289 | 22 2 = 484 |
| 3 2 = 9 | 8 2 = 64 | 13 2 = 169 | 18 2 = 324 | 23 2 = 529 |
| 4 2 = 16 | 9 2 = 81 | 14 2 = 196 | 19 2 = 361 | 24 2 = 576 |
| 5 2 = 25 | 10 2 = 100 | 15 2 = 225 | 20 2 = 400 | 25 2 = 625 |
Если считаете, что выучили таблицу, хотя бы в первом приближении, то проверьте, как это повлияло на ваш устный счет.
Квадратные корни
Прежде чем переходить к заучиванию значений корней, давайте еще раз посмотрим на таблицу квадратов. Обратите внимание на то, что результаты всегда заканчиваются цифрами 1, 4, 5, 6, 9, 0 и никогда не заканчиваются цифрами 2, 3, 7, 8. Причём, 1-цу в конце дают числа, заканчивающиеся на 1 или 9, 4-ку дают 2 или 8, 9-ку дают 3 или 7, 6-ку дают 4 или 6. Если же число было кратным 5, то при возведении в квадрат последние две цифры 00 или 25.
| 1 2 = 1 | 2 2 = 4 | 3 2 = 9 | 4 2 = 16 | 5 2 = 25 |
| 9 2 = 81 | 8 2 = 64 | 7 2 = 49 | 6 2 = 36 | 10 2 = 100 |
| 11 2 = 121 | 12 2 = 144 | 13 2 = 169 | 14 2 = 196 | 15 2 = 225 |
| 19 2 = 361 | 18 2 = 324 | 17 2 = 289 | 16 2 = 256 | 20 2 = 400 |
| 21 2 = 441 | 22 2 = 484 | 23 2 = 529 | 24 2 = 576 | 25 2 = 625 |
Если вы запомните этот вариант таблицы квадратов, то таблицу корней, фактически, можно не учить. Вы легко будете подбирать "претендента" на значение корня и быстро проверять его умножением. Для разнообразия таблицу корней упорядочим по убыванию.
Все три верхние таблицы надо учить вместе, а проверять взразброс.
Степени чисел 2, 3 и 5
Помнить значения степеней часто встречающихся чисел важно для быстрого решения показательных и логарифмических уравнений, неравенств и систем. Более того, если вам, например, число 81 ничего "не говорит" о том, что оно степень 3-ки, то вы и не догадаетесь, что это есть именно показательное или логарифмическое уравнение, неравенство .
Кроме того, степени двойки особенно важно знать любителям компьютера, и тем, кто хочет лучше знать информатику, и тем, кто просто желает "полноценно" использовать своё свободное время, играя в компьютерные игры. Помните, что наши самые умные компьютеры умеют считать только до 2-ух? "Раз" = 0 — нет сигнала, "два" = 1 — есть сигнал.
| 2 0 = 1 | 2 6 = 64 | 3 0 = 1 | 5 0 = 1 |
| 2 1 = 2 | 2 7 = 128 | 3 1 = 3 | 5 1 = 5 |
| 2 2 = 4 | 2 8 = 256 | 3 2 = 9 | 5 2 = 25 |
| 2 3 = 8 | 2 9 = 512 | 3 3 = 27 | 5 3 = 125 |
| 2 4 = 16 | 2 10 = 1 024 | 3 4 = 81 | 5 4 = 625 |
| 2 5 = 32 | 2 20 = 1 048 576 | 3 5 = 243 | 5 5 = 3 025 |
Обратите внимание:
2 0 байта = 1 байт;
2 10 байта = 1024 байта = 1 килобайт;
2 20 байта = 1048576 байта = 1024 килобайта = 1 мегабайт;
2 30 байта = 1073741824 байта = 1048576 килобайт = 1024 мегабайта = 1 гигабайт.
В отличие от компьютера, человек умеет считать до 10. У нас самая распространенная система счисления — десятичная. Поэтому степени десятки самые простые, я даже не стала помещать их в таблице. Сколько нулей после (или до) единицы — такая и степень.
Логарифмы
Поэтому, если вы уже выучили таблицу степеней, то с таблицей логарифмов проблем быть не должно. Только давайте вспомним обозначения:
- обычное — logax,
по определению получается, если y = logax, то a y = x ; - десятичный логарифм — lgx,
это то же самое, что log10x, просто логарифм по "любимому" основанию получил "уменьшительное прозвище"; - натуральный логарифм — lnx,
то же самое, что logex, этот логарифм любят ученые-экспериментаторы, поэтому ему тоже дали "уменьшительное прозвище".
| lg1 = 0 | lg0,1 = −1 | log24 = 2 | log39 = 2 | log525 = 2 | ln2 ≈0,7 |
| lg10 = 1 | lg0,01 = −2 | log28 = 3 | log327 = 3 | log5125 = 3 | ln3 ≈1,1 |
| lg100 = 2 | lg0,001 = −3 | log216 = 4 | log381 = 4 | log5625 = 4 | ln10 ≈2,3 |
| lg1000 = 3 | lg0,0001 = −4 | log232 = 5 | log3243 = 5 | log53025 = 5 |
Натуральный логарифм показывает в какую степень нужно возвести иррациональное число e, чтобы получить x. Поскольку иррациональные числа бесконечны, учить их трудно, а иногда и бессмысленно. Минимум, который нужно помнить, потому что часто встречается, помещен в последней таблице. Здесь значения натурального логарифма даны, скорее для справки, чем для запоминания. Десятичный логарифм, как и положено, самый легкий — просто считаем нули.
Значения тригонометрических функций для основных углов
| Функция | Угол α | ||||
| 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | |
| 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | |
| sinα | 0 | 1/2 | √2 _ /2 | √3 _ /2 | 1 |
| cosα | 1 | √3 _ /2 | √2 _ /2 | 1/2 | 0 |
| tgα | 0 | √3 _ /3 | 1 | √3 _ | — |
| ctgα | — | √3 _ | 1 | √3 _ /3 | 0 |
Если Вам тяжело запомнить все значения из этой таблицы, то выучите только значения для sinα. Строка для функции cosα содержит эти же величины, но в обратном порядке. Значения tgα всегда можно вычислить по формуле sinα/cosα, а значения ctgα – как 1/tgα.
Или параллельно с заучиванием значений функций для основных углов поработайте с тригонометрическим кругом.
Простые числа в пределах 100
Если число имеет только два делителя — само число и единица, то оно называется простым. Например, 19 делится без остатка только на 19 и на 1: 19/19 = 1 и 19/1 = 19. Ответ на вопрос, зачем нужно знать простые числа, также прост — чтобы не делать бесплодных попыток найти несуществующие делители.
| 2 | 11 | 23 | 31 | 41 | 53 | 61 | 71 | 83 | 97 |
| 3 | 13 | 29 | 37 | 43 | 59 | 67 | 73 | 89 | |
| 5 | 17 | 47 | 79 | ||||||
| 7 | 19 |
Обратите внимание, числа из каждого десятка расположены в одном столбике. Рекомендую так и запоминать. Постепенно. Сначала до 20, потом до 30. и, наконец, в последнем десятке только число 97.
Постоянные
В школьной математике широко используются два иррациональных числа π и e. Особенно часто втречается число π и его доли. Например, в тригонометрии угол в π/3 радиана соответствует углу 60°. Чаще всего во время вычислений мы не используем значения этих чисел, а только их символьные обозначения. Обычно, так же записываем ответ. Но при выборе корней, при решении неравенств, при любом сравнении, требуются хотя бы приблизительные численные значения. Придётся запомнить.
| π ≈ 3,1416 | π/2 ≈ 1,5708 | e ≈ 2,7182 |
| 2π ≈ 6,2832 | π/3 ≈ 1,0472 | e 2 ≈ 7,3890 |
| 3π ≈ 9,4248 | π/4 ≈ 0,7854 | √e ≈ 1,6487 − |
| 4π ≈ 12,5663 | π 2 ≈ 9,8696 |
Рекомендуемая литература: компактные справочные материалы, например, такие, как справочник "Математика" В.А. Гусева и А.Г. Мордковича или брошюра "Как готовиться к экзамену по математике" Ивлиевой E.Г.
Есть вопросы? пожелания? замечания?
Обращайтесь —
mathematichka@yandex.ru
Внимание, ©mathematichka. Прямое копирование материалов на других сайтах запрещено. Ставьте гиперссылку.
21 сентября 2013
Сегодня мы научимся быстро без калькулятора возводить большие выражения в квадрат. Под большими я подразумеваю числа в пределах от десяти до ста. Большие выражения крайне редко встречаются в настоящих задачах, а значения меньше десяти вы и так умеете считать, потому что это обычная таблица умножения. Материал сегодняшнего урока будет полезен достаточно опытным ученикам, потому что начинающие ученики просто не оценят скорость и эффективность этого приема.
Для начала давайте разберемся вообще, о чем идет речь. Предлагаю для примера сделать возведение произвольного числового выражения, как мы обычно это делаем. Скажем, 34. Возводим его, умножив само на себя столбиком:
1156 — это и есть квадрат 34.
Проблему данного способа можно описать двумя пунктами:
1) он требует письменного оформления;
2) в процессе вычисления очень легко допустить ошибку.
Сегодня мы научимся быстрому умножению без калькулятора, устно и практически без ошибок.
Итак, приступим. Для работы нам потребуется формула квадрата суммы и разности. Давайте запишем их:
Что нам это дает? Дело в том, что любое значение в пределах от 10 до 100 представимо в виде числа $a$, которое делится на 10, и числа $b$, которое является остатком от деления на 10.
Например, 28 можно представить в следующем виде:
Аналогично представляем оставшиеся примеры:
Что дает нам такое представление? Дело в том, что при сумме или разности, мы можем применить вышеописанные выкладки. Разумеется, чтобы сократить вычисления, для каждого из элементов следует выбрать выражение с наименьшим вторым слагаемым. Например, из вариантов $20+8$ и $30-2$ следует выбрать вариант $30-2$.
Аналогично выбираем варианты и для остальных примеров:
Почему следует стремиться к уменьшению второго слагаемого при быстром умножении? Все дело в исходных выкладках квадрата суммы и разности. Дело в том, что слагаемое $2ab$ с плюсом или с минусом труднее всего считается при решении настоящих задач. И если множитель $a$, кратный 10, всегда перемножается легко, то вот с множителем $b$, который является числом в пределах от одного до десяти, у многих учеников регулярно возникают затруднения.
Можете самостоятельно попробовать рассчитать оба разложения, и вы убедитесь, что разложение с наименьшим вторым слагаемым считается проще. А мы перейдем к примерам, которые посчитаем без калькулятора:
Вот так за три минуты мы сделали умножение восьми примеров. Это меньше 25 секунд на каждое выражение. В реальности после небольшой тренировки вы будете считать еще быстрее. На подсчет любого двухзначного выражения у вас будет уходить не более пяти-шести секунд.
Но и это еще не все. Для тех, кому показанный прием кажется недостаточно быстрым и недостаточно крутым, предлагаю еще более быстрый способ умножения, который однако работает не для всех заданий, а лишь для тех, которые на единицу отличаются от кратных 10. В нашем уроке таких значений четыре: 51, 21, 81 и 39.
Казалось бы, куда уж быстрее, мы и так считаем их буквально в пару строчек. Но, на самом деле, ускориться можно, и делается это следующим образом. Записываем значение, кратное десяти, которое наиболее близкое нужному. Например, возьмем 51. Поэтому для начала возведем пятьдесят:
Значения, кратные десяти, поддаются возведению в квадрат намного проще. А теперь к исходному выражению просто добавляем пятьдесят и 51. Ответ получится тот же самый:
И так со всеми числами, отличающимися на единицу.
Если значение, которое мы ищем, больше, чем то, которое мы считаем, то к полученному квадрату мы прибавляем числа. Если же искомое число меньше, как в случае с 39, то при выполнении действия, из квадрата нужно вычесть значение. Давайте потренируемся без использования калькулятора:
Как видите, во всех случаях ответы получаются одинаковыми. Более того, данный прием применим к любым смежным значениям. Например:
При этом нам совсем не нужно вспоминать выкладки квадратов суммы и разности и использовать калькулятор. Скорость работы выше всяких похвал. Поэтому запоминайте, тренируйтесь и используйте на практике.
Ключевые моменты
С помощью этого приема вы сможете легко делать умножение любых натуральных чисел в пределах от 10 до 100. Причем все расчеты выполняются устно, без калькулятора и даже без бумаги!
Для начала запомните квадраты значений, кратных 10:
Далее — выкладки квадрата суммы или разности, в зависимости от того, к какому опорному значению ближе наше искомое выражение. Например:
Как считать еще быстрее
Но это еще не все! С помощью данных выражений моментально можно сделать возведение в квадрат чисел, «смежных» с опорными. Например, мы знаем 152 (опорное значение), а надо найти 142 (смежное число, которое на единицу меньше опорного). Давайте запишем:
Обратите внимание: никакой мистики! Квадраты чисел, отличающиеся на 1, действительно получаются из умножения самих на себя опорных чисел, если вычесть или добавить два значения:
Почему так происходит? Давайте запишем формулу квадрата суммы (и разности). Пусть $n$ — наше опорное значение. Тогда они считаются так:
— это и есть формула.
— аналогичная формула для чисел, больших на 1.
Надеюсь, данный прием сэкономит вам время на всех ответственных контрольных и экзаменах по математике. А у меня на этом все. До встречи!
Идёт приём заявок
Подать заявку 
Для учеников 1-11 классов и дошкольников
Описание презентации по отдельным слайдам:
Как возводить числа от 11 до 19 в квадрат?!
Как возводить числа от 11 до 19 в квадрат?! Без калькулятора Без решения в столбик
Да очень просто!
Для этого просто нужно Данное число умножить на 10; Прибавить к результату число десятков первого результата Прибавить квадрат числа, стоящего в разряде единиц!
Объясню на примере: Возвести в квадрат число 19 Решение: 19*10 = 190 190 + 90 = 280 280 + 92 = 280 + 81 = 361 192 = 190 + 90 + 81 = 361
Закрепим полученные знания: 112 = 110 + 10 + 1 = 121 122 = 120 + 20 + 4 = 144 132 = 130 + 30 + 9 = 169 142 = 140 + 40 + 16 = 196 152 = 150 + 50 + 25 = 225 162 = 160 + 60 + 36 = 256 172 = 170 + 70 + 49 = 289 182 = 180 + 80 + 64 = 324
Спасибо за внимание!
- Айрапетова Виктория СергеевнаНаписать 952 02.04.2018
Номер материала: ДБ-1391556
- 02.04.2018 124
- 02.04.2018 864
- 02.04.2018 103
- 02.04.2018 268
- 02.04.2018 322
- 02.04.2018 82
- 02.04.2018 302
- 02.04.2018 835
Не нашли то что искали?
Вам будут интересны эти курсы:
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение редакции может не совпадать с точкой зрения авторов.
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако редакция сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.