В стране 100 городов между любыми двумя

Ответ или решение 2

Пусть в Республике х городов. Тогда они соединены х(х — 1)/2 дорогами (первый город можно выбрать х способами, второй х-1 способами, потому что нужно взять какой-то другой, и разделить на два, потому что дорога из А в Б и дорога из Б в А — это одна и та же дорога).

При этом за пределами Республики осталось 100 — х городов. Соответственно, из Республики в другие города ведёт х(100 — х) дорог — по одной из каждого города Республики в каждый город за её пределами.

По условию задачи эти величины равны:

х(х — 1)/2 = х(100 — х);

х^2 — х = 200х — 2х^2;

Рассмотрим вариант х = 0. В принципе он возможен, и удовлетворяет условию. Если отделился кусок страны, в пределах которого не находится ни один город, то дорог, соединяющих такие города, будет 0. И столько же дорог соединяют эти отсутствующие города с городами остальной страны.

Ответ: либо в Республике вообще нет городов, либо в ней находится 67 городов.

Для решения этой задачи сосчитаем количество дорог, которые имеются между городами, принадлежащими независимой республике и приравняем их числу дорог, ведущих в остальные города страны.

Дороги между городами в независимой республике

• m — количество городов, которые отошли независимой республике;
• s — количество дорог, соединяющих города независимой республики;
• s1 — количество дорог, ведущих в другие города страны;

Каждый из m городов в независимой республике соединен дорогой с (m — 1) другим городом в республике, при этом число дорог мы посчитаем дважды, тогда число дорог s равно:
s = m (m — 1) / 2;

Дороги, ведущие в другие города страны

После отделения независимой республики в стране осталось 100 — m городов, тогда из независимой республики к ним ведет следующее количество дорог:
s1 = m (100 — m);
В соответствии с условиями задачи, приравняем количество дорог, соединяющих города независимой республики, количеству дорог, ведущих в другие города страны;
s = s1;
m (m — 1) / 2 = m (100 — m);
m ≠ 0;
Разделим обе части уравнения на m:
m — 1 = 2(100 — m);
3m = 201;
m = 67 городов;
Ответ: В независимой республике 67 городов.

Содержание

Задача 1

Есть три брата-акробата. Их средний рост — 1 метр 74 сантиметра.

А средний рост двух из этих братьев: самого высокого и самого низкого — 1 метр 75 сантиметров. Какого роста средний брат? Ответ обоснуйте.

Ответ: 1 метр 72 сантиметра.

Решение. Поскольку средний рост всех трёх — 1 метр 74 сантиметра, суммарный рост всех составляет 5 метров 22 сантиметра. Средний рост двух братьев равен 1 метр 75 сантиметров, поэтому их суммарный рост составляет 3 метра 50 сантиметров. А значит, рост среднего брата составляет 1 метр 72 сантиметра.

Критерии

2 б. Верный ход решения, но допущена арифметическая ошибка.

4 б. Приведён верный ответ и обоснование.

Задача 2

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) равен основанию AC. На основании AC построен квадрат AKLC так, что отрезок KL пересекает боковые стороны треугольника. Докажите, что треугольник BKL равносторонний.

Решение. Отметим точку O — центр описанной окружности треугольника ABC.

Из условия получим, что OA = OC = AC, то есть треугольник AOC равносторонний. Поскольку AKLC — квадрат, имеем AK = KL = LC = AC. Заметим, что BO k LC, поскольку обе прямые перпендикулярны AC, и также BO = LC

Рис. 3: к решению задачи 2

Это означает, что OBLC — параллелограмм. Тогда получаем, что OC = LB.

Аналогично получаем, что KB = AO. Итого получаем, что KB = BL = KL, что и требовалось доказать.

Критерии

2 б. Доказано, что OBLC — параллелограмм, но дальнейших продвижений нет.

4 б. Верное решение.

Задача 3

Назовём трёхзначное число интересным, если хотя бы одна его цифра делится на 3. Какое наибольшее количество подряд идущих интересных чисел может быть? (Приведите пример и докажите, что больше чисел получить нельзя.)

Ответ: 122.

Решение. Числа 289, 290, . . . , 299, 300, . . . , 399, 400, . . . , 409, 410 являются интересными (напомним, что 0 делится на 3), и их всего 122. Докажем, что большего количества быть не может.

Предположим, что нам удалось найти большее количество подряд идущих интересных чисел; выберем из них 123 подряд идущих.

Назовём сотню подряд идущих чисел, у которых разряд сотен одинаков и делится на 3, интересной сотней. Заметим, что до любой интересной сотни идут только 11 интересных чисел, оканчивающихся на 89, 90, . . . , 99, а 12-е число оканчивается на 88 и интересным не будет. Аналогично после интересной сотни идут тоже только 11 интересных чисел, оканчивающихся на 00, . . . , 09, 10, а 12-е число оканчивается на 11 и также не интересное.

Если наша последовательность из 123 чисел пересекается с некоторой интересной сотней, то она содержит хотя бы 12 чисел либо до, либо после этой сотни.

Следовательно, хотя бы одно число в ней не интересное.

Если же наша последовательность из 123 чисел не пересекается с интересной сотней, то она содержит хотя бы одно число, оканчивающееся на 55 (как и на любую другую комбинацию цифр). Но это число не интересное, так как ни один разряд в нём на 3 не делится.

Критерии

0 б. Неверный ответ и неверный (или отсутствующий) пример.

1 б. Приведён верный ответ.

1 б. Приведён верный пример, но в нем неправильно посчитано количество чисел.

2 б. Приведён верный пример и ответ, но нет обоснования, что большее количество чисел невозможно.

4 б. Приведён верный ответ, верный пример и обоснование.

Задача 4

Разность корней квадратного уравнения с действительными коэффициентами 2018x 2 + ax + b = 0 — целое число (при этом сами корни необязательно целые). Докажите, что дискриминант этого уравнения делится на 2018 2 .

Решение. Пусть D — дискриминант этого уравнения. Обозначим корни уравнения через

Тогда , n — целое число.

и D = 2018 2 n 2 , что делится на 2018 2 .

Критерии

2 б. Задача верна решена только для целых a и b.

3 б. Получено выражение для разности корней через дискриминант, но дальнейших продвижений нет.

4 б. Приведено верное доказательство.

Задача 5

Найдите все такие пары натуральных чисел a и b, что

НОД(a; b) — это наибольший общий делитель, то есть наибольшее натуральное число, делящее и a, и b. НОК(a; b) — это наименьшее общее кратное, то есть наименьшее натуральное число, кратное и a, и b.

Решение. Пусть d = НОД(a; b). Заметим, что и НОК, и НОД делятся на d, а значит, и 19 делится на d. Поскольку 19 простое, получаем, что d = 1 или d = 19.

• Если d = 1, то числа a и b взаимно просты, и НОК(a; b) = a·b = 1+19 = 20. Это дает варианты (1 ; 20), (20 ; 1), (4 ; 5), (5 ; 4).
• Если d = 19, то НОК(a; b) = 19 + 19 = 38. Это означает, что a = 19, b = 38 или a = 38, b = 19.

Критерии

1 б. Приведён верный ответ.

2 б. Рассмотрен только один из случаев d = 1 или d = 19.

4 б. Приведён верный ответ и обоснование.

Задача 6

В стране 100 городов. Между любыми двумя городами либо нет соединения, либо налажено авиасообщение, либо есть железная дорога (одновременно и авиасообщения, и железной дороги быть не может). Известно, что если два города соединены с третьим железной дорогой, то между ними есть авиалиния, а если два города соединены с третьим авиалиниями, то между ними есть железная дорога. Из-за стихийного бедствия отменили все авиарейсы в стране. Правительство постановило в некоторых городах разместить центры гуманитарной помощи, причём так, чтобы из каждого города можно было добраться в подобный центр. Докажите, что необходимо открыть хотя бы 20 таких центров.

Решение. Заметим, что никакой город не соединён железной дорогой более чем с двумя другими городами. Действительно, пусть какие-то три города соединены железной дорогой с одним. Тогда все они между собой соединены авиалиниями, что невозможно по условию задачи. Значит, каждый город связан железной дорогой не более чем с двумя другими. Тогда связанные друг с другом железнодорожным сообщением города представляют собой цепочку (возможно, замкнутую). Докажем, что каждая такая цепочка содержит не более 5 вершин. Пусть города A, B, C, D и E стоят последовательно в цепочке. Поскольку A и C соединены с B железными дорогами, между A и C существует авиалиния. Аналогично между C и E существует авиалиния. Тогда между A и E существует железная дорога, и, значит, города соединены по кругу и больше ни с каким другим городом не связаны. Таким образом, в каждой цепочке не более 5 городов. Чтобы из каждого города можно было добраться до гуманитарного центра, его необходимо открыть в каждой такой цепочке. А значит, и центров необходимо построить хотя бы 100 : 5 = 20, что и требовалось доказать.

Критерии

1 б. Доказано, что каждый город соединён железной дорогой не более чем с двумя другими, или эквивалентное утверждение для авиасообщенией.

3 б. Доказано, что в каждой цепочке железнодорожного сообщения не более 5 городов, или эквивалентное утверждение для авиасообщенией.

ч УФТБОЕ 100 ЗПТПДПЧ, НЕЦДХ ЛБЦДЩНЙ ДЧХНС ЗПТПДБНЙ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС ВЕУРПУБДПЮОЩК РЕТЕМЈФ. чУЕ ТЕКУЩ РМБФОЩЕ Й УФПСФ РПМПЦЙФЕМШОПЕ (ЧПЪНПЦОП, ОЕГЕМПЕ) ЮЙУМП ФХЗТЙЛПЧ. дМС МАВПК РБТЩ ЗПТПДПЧ б Й в РЕТЕМЈФ ЙЪ б Ч в УФПЙФ УФПМШЛП ЦЕ, УЛПМШЛП РЕТЕМЈФ ЙЪ в Ч б. уТЕДОСС УФПЙНПУФШ РЕТЕМЈФБ ТБЧОБ 1 ФХЗТЙЛХ. рХФЕЫЕУФЧЕООЙЛ ИПЮЕФ ПВМЕФЕФШ ЛБЛЙЕ-ОЙВХДШ m ТБЪОЩИ ЗПТПДПЧ ЪБ m РЕТЕМЈФПЧ, ОБЮБЧ Й ЪБЛПОЮЙЧ Ч УЧПЈН ТПДОПН ЗПТПДЕ. чУЕЗДБ МЙ ЕНХ ХДБУФУС УПЧЕТЫЙФШ ФБЛПЕ РХФЕЫЕУФЧЙЕ, РПФТБФЙЧ ОБ ВЙМЕФЩ ОЕ ВПМЕЕ m ФХЗТЙЛПЧ, ЕУМЙ
Б) m = 99;
В) m = 100?

тЕЫЕОЙЕ

Б) рХУФШ ЧУЕ 99 ТЕКУПЧ ЙЪ ТПДОПЗП ЗПТПДБ УФПСФ РП 49,6 ФХЗТЙЛПЧ. ьФП ЧПЪНПЦОП, РПУЛПМШЛХ УХННБТОБС УФПЙНПУФШ ЧУЕИ ТЕКУПЧ (ВЕЪ ХЮЈФБ ОБРТБЧМЕОЙК) ТБЧОБ 99·50 ФХЗТЙЛПЧ. фПЗДБ, ЮФПВЩ ЧЩМЕФЕФШ ЙЪ ТПДОПЗП ЗПТПДБ, Б РПФПН ЧЕТОХФШУС Ч ОЕЗП, ОБДП ХЦЕ РПФТБФЙФШ ВПМШЫЕ 99 ФХЗТЙЛПЧ.

В) тБУУНПФТЙН ЧУЕ 99! ЧБТЙБОФПЧ ЛПМШГЕЧЩИ НБТЫТХФПЧ. уХННБТОП Ч ОЙИ ЛБЦДЩК ЧПЪНПЦОЩК РЕТЕМЈФ (У ХЮЈФПН ОБРТБЧМЕОЙК) ЙУРПМШЪПЧБО РП 98! ТБЪ. уМЕДПЧБФЕМШОП, УФПЙНПУФШ ЧУЕИ ЬФЙИ НБТЫТХФПЧ ТБЧОБ 98!·99·100 ФХЗТЙЛПЧ, Б УТЕДОСС УФПЙНПУФШ НБТЫТХФБ – 100 ФХЗТЙЛПЧ. ъОБЮЙФ, ОБКДЈФУС НБТЫТХФ ОЕ ДПТПЦЕ 100 ФХЗТЙЛПЧ.

пФЧЕФ

Б) оЕ ЧУЕЗДБ; В) ЧУЕЗДБ.

ъБНЕЮБОЙС

вБММЩ: 8-9 ЛМ. – 3 + 3, 10-11 ЛМ. – 2 + 2

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .