Начнем с постановки задачи.
Пусть нам требуется найти координаты вектора в трехмерном пространстве, который одновременно перпендикулярен двум не коллинеарным векторам и . Если векторы и коллинеарные, то решением задачи будет вектор, перпендикулярный одному из векторов или (о нахождении такого вектора мы говорили в предыдущем пункте).
Одно из решений такой задачи основано на использовании понятия векторного произведения векторов.
Нам известно, что векторное произведение векторов и представляет собой вектор, перпендикулярный одновременно и вектору и . Таким образом, векторное произведение является решением нашей задачи. В координатной форме оно имеет вид
Разберем на примере.
Найдите координаты какого-нибудь вектора, перпендикулярного одновременно двум векторам и .
Решением нашей задачи является векторное произведение заданных векторов. Найдем его (при необходимости смотрите статью вычисление определителя матрицы):
— один из векторов, одновременно перпендикулярный и вектору и .
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Как то на паре, один преподаватель сказал, когда лекция заканчивалась — это был конец пары: "Что-то тут концом пахнет". 8406 — | 8023 — или читать все.
78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Понятие вектора и перпендикулярности векторов
Вначале надо разобраться, что является геометрическим вектором. Для этого сначала введем понятие отрезка.
Отрезком будем называть такую часть прямой, которая ограничена точками с двух сторон.
Концами отрезка будем называть точки, которые его ограничивают.
Для введения определения вектора один из концов отрезка назовем его началом.
Вектором (направленным отрезком) будем называть такой отрезок, у которого обозначено, какая граничная точка его начало, а какая является его концом.
Обозначение: $overline
Иначе одной маленькой буквой: $overline$ (рис. 1).
Нулевым вектором будем называть любую точку, которая принадлежит плоскости.
Введем теперь, непосредственно, определение коллинеарных векторов.
Два ненулевых вектора будем называть перпендикулярными (ортогональными), если они лежат на каких-либо перпендикулярных прямых (рис.2).
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Также введем определение скалярного произведения, которое будет нам необходимо далее.
Скалярным произведением двух данных векторов будем называть такой скаляр (или число), который равняется произведению длин двух этих векторов с косинусом угла между данными векторами.
Математически это может выглядеть следующим образом:
Скалярное произведение также можно найти с помощью координат векторов следующим образом
$overline<α>overline<β>=α_1 β_1+α_2 β_2+α_3 β_3$
Признак перпендикулярности через пропорциональность
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!
Чтобы ненулевые векторы были перпендикулярны между собой, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение этих векторов равнялось нулю.
Необходимость: Пусть нам даны векторы $overline<α>$ и $overline<β>$, которые имеют координаты $(α_1,α_2,α_3)$ и $(β_1,β_2,β_3)$, соответственно, причем они перпендикулярны друг другу. Тогда нам нужно доказать следующее равенство
Так как векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ перпендикулярны, то угол между ними равняется $90^0$. Найдем скалярное произведение данных векторов по формуле из определения 6.
$overline<α>cdot overline<β>=|overline<α>||overline<β>|cos90^circ =|overline<α>||overline<β>|cdot 0=0$
Достаточность: Пусть верно равенство $overline<α>cdot overline<β>=0$. Докажем, что векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ будут перпендикулярны друг другу.
По определению 6, будет верно равенство
Следовательно, векторы $overline<α>$ и $overline<β>$ будут перпендикулярны друг другу.
Доказать, что векторы с координатами $(1,-5,2)$ и $(2,1,3/2)$ перпендикулярны.
Найдем скалярное произведение для этих векторов через формулу, данную выше
$overline<α>cdot overline<β>=1cdot 2+(-5)cdot 1+2cdot frac<3><2>=2cdot 5+3=0$
Значит, по теореме 1, эти вектор перпендикулярны.
Нахождение перпендикулярного вектора к двум данным векторам через векторное произведение
Введем вначале понятие векторного произведения.
Векторным произведением двух векторов будем называть такой вектор, который будет перпендикулярен обоим данным векторам, и его длина будет равняться произведению длин этих векторов с синусом угла между данными векторами, а также этот вектор с двумя начальными имеют туже ориентацию, как и декартова система координат.
Чтобы найти векторное произведение, будем пользоваться формулой
Так как вектор векторного произведения двух векторов перпендикулярен обоим этим векторам, то он и будет иском вектором. То есть, для того, чтоб найти перпендикулярный для двух векторов вектор, нужно просто найти их векторное произведение.
Найти вектор, перпендикулярный к векторам с координатами $overline<α>=(1,2,3)$ и $overline<β>=(-1,0,3)$
Найдем векторное произведение данных векторов.
Так и не нашли ответ
на свой вопрос?
Просто напиши с чем тебе
нужна помощь
Векторное произведение — это псевдовектор, который перпендикулярен плоскости, построенной по двум
сомножителям, которые являются результатом бинарной операции «векторное умножение» над
векторами в трёхмерном евклидовом пространстве.
Векторное произведение не имеет свойств коммутативности и ассоциативности (антикоммутативное)
Векторное произведение помогает в «измерении» перпендикулярности векторов — модуль
векторного произведения двух векторов равен произведению модулей этих векторов, если они
перпендикулярны, и стремится к нулю, если векторы параллельны или антипараллельны.
В отличие от формулы для вычисления по координатам векторов скалярного произведения в
трёхмерной прямоугольной системе координат, формула для векторного произведения зависит
от ориентации прямоугольной системы координат или, говоря другими словами, её «хиральности».
Векторное произведение двух векторов обозначается квадратными скобками:
Свойства векторного произведения векторов.
1. Геометрический смысл векторного произведения векторов.
Векторным произведением вектора на вектор является
вектор , длина его численно соответствует площади
параллелограмма, который построен на векторах и ,
перпендикулярный к плоскости этих векторов и направлен
так, чтоб самое маленькое вращение от к около
вектора происходило против часовой стрелки, если взгляд вести
с конца вектора .
Модуль векторного произведения двух векторов и = площади параллелограмма, который
построен на них:
Площадь треугольника строящегося на векторах и соответствует одной второй модуля
векторного произведения векторов и :
2. Вектор перпендикулярен векторам и , то есть и ;
3. Вектор направлен таким образом, что поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки, если смотришь с конца вектора (в таком случае тройка векторов , и – правая).