Внутри коробки лежат 32 мячика

1) 2 2) 3 3) 4 4) 32

Решение (вариант 1):

красные клубки шерсти составляют 1/8 от всех, …

поэтому сообщение о том, что первый вынутый клубок шерсти – красный, соответствует выбору одного из 8 вариантов

выбор 1 из 8 вариантов – это информация в 3 бита (по таблице степеней двойки)

правильный ответ – 2.

Решение (вариант 2, использование формулы Шеннона):

красные клубки шерсти составляют 1/8 от всех, поэтому вероятность того, что первый вынутый клубок шерсти – красный, равна 1/8

по формуле Шеннона находим количество информации в битах:

бита.

правильный ответ – 2.

Задачи для самостоятельного решения

(Информатика. Задачник – практикум в 2 т. / Л. А. Залогова, М. А. Плаксин, С. В. Русаков и др. Под ред. И. Г. Семакина, Е. К. Хеннера: Том 1. – 2-е изд. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2005. – 304 с.: ил.)

В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько информации несет сообщение о том, что достали черный шар?

В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о том, что достали белый карандаш, несет 4 бита информации. Сколько белых карандашей было в корзине?

В ящике лежат перчатки (белые и черные). Среди них – 2 пары черных. Сообщение о том, что из ящика достали пару черных перчаток, несет 4 бита информации. Сколько всего пар перчаток было в ящике?

В классе 30 человек. За контрольную работу по математике получено 6 пятерок, 15 четверок, 8 троек и 1 двойка. Какое количество информации в сообщении о том, что Иванов получил четверку?

Известно, что в ящике лежат 20 шаров. Из них 10 – черных, 5 – белых, 4 – желтых и 1 красный. Какое количество информации несут сообщения о том, что из ящика случайным образом достали черный шар, белый шар, желтый шар, красный шар?

За четверть ученик получил 100 оценок. Сообщение о том, что он получил четверку, несет 2 бита информации. Сколько четверок ученик получил за четверть?

Для ремонта школы использовали белую, синюю и коричневую краски. Израсходовали одинаковое количество банок белой и синей краски. Сообщение о том, что закончилась банка белой краски, несет 2 бита информации. Синей краски израсходовали 8 банок. Сколько банок коричневой краски израсходовали на ремонт школы?

В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18 черных шаров. Сообщение о том, что из корзины достали белый шар, несет 2 бита информации. Сколько всего в корзине шаров?

Ответ или решение 1

Данное задание нам предстоит решить через формулу Хартли.

1) Сперва для удобства вычисления обыкновенную дробь переведем в десятичную.

4/32 = 4 / 32 = 0,125 — вероятность того, что достали именно красный клубок.

2) Теперь воспользуемся формулой Хартли:

I = -log₂0,125 = -(-3) = 3 бита.

Цели урока:

• Обучающая – формирование у учащихся понимания вероятности, равновероятных событий, не равновероятных событий; вероятностного подхода к измерению информации;
• Развивающая – развивать умение качественно оценивать поставленную задачу для правильного выбора способа решения задачи; развивать самостоятельность; логическое мышления учащихся.
• Воспитательная – формировать интерес к предмету, навыки контроля и самоконтроля; чувство ответственности, деловые качества учащихся.

Тип урока: урок изучения нового материала.

Оборудование: компьютерный класс, оборудованный компьютерами Pentium I и выше, лицензионное ПО: операционная система Windows 97/2000/XP, MS Office 2000 и выше, интерактивная доска, проектор.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Объяснение нового материала (сопровождается презентацией – приложение 1):

Введение понятия “количество информации”

— Можно ли измерить количество вещества и как именно?

— Можно ли определить количество энергии?

— Можно ли измерить количество информации и как это сделать? (правильного ответа на этот вопрос учащиеся не дадут).

Оказывается, то информацию также можно измерять и находить ее количество. Об этом мы и поговорим с вами на уроке.

Существуют два подхода к измерению информации. Один из них называется содержательный или вероятностный.

Количество информации, заключенное в сообщении, определяется объемом знаний, который несет это сообщение человеку. Этот подход субъективный (зависит от конкретного человека). Разные люди, получившие одно и то же сообщение, по-разному оценивают количество информации, содержащееся в нем. Это происходит от того, что знания людей о событиях, о которых идет речь в сообщении, различны

Пример. Первоклассник изучает таблицу умножения. Учитель сообщает ему, что 2 х 2 = 4. Первоклассник этого раньше не знал, поэтому такое сообщение содержит для него информацию. А для ученика 5 класса таблица умножения хорошо известна, поэтому из такого сообщения информацию он не получит.

Допустим, вы бросаете монету, загадывая, что выпадет: орел или решка? Есть всего два варианта возможного результата бросания монеты. Причем, ни один из этих вариантов не имеет преимущества перед другим. В таком случае говорят, что они равновероятны.

Так вот, в этом случае перед подбрасыванием монеты неопределенность знаний о результате равна двум. Игральный кубик с шестью гранями может с равной вероятностью упасть на любую из них. Значит, неопределенность знаний о результате бросания кубика равна шести.

Следовательно, можно сказать так: неопределенность знаний — это количество возможных результатов события (бросания монеты, кубика; вытаскивания жребия и пр.)

На экзамен приготовлено 20 билетов.

• Чему равно количество событий, которые могут произойти при вытягивании билета? (20)
• Равновероятны эти события или нет? (да)
• Чему равна неопределенность знаний ученика перед тем как он вытянет билет? (20)
• Во сколько раз уменьшится неопределенность знания после того как ученик билет вытянул? (20)
• Зависит ли этот показатель от номера вытянутого билета? (нет)

Вернемся к примеру с монетой. Предположим, что у монеты обе стороны “орел”.

• Существует ли неопределенность знаний перед броском в этом случае? Почему? (нет, заранее знаем, что выпадет “орел”)
• Получите вы новую информацию после броска? (нет, ответ знаем заранее)
• Будет ли информативным сообщение о результате броска? (не будет, поскольку оно не принесло новых и полезных знаний)
• Чему равно количество информации в этом случае? (нулю, так как данное сообщение является неинформативным)

Информация при данном подходе рассматривается как знание для человека.

За единицу измерения информации принимается уменьшение неопределенности знаний человека в 2 раза.

Эта единица называется битом и является минимальной единицей информации.

Игра “Угадай число”.

Один из учеников загадывает число из интервала от 1 до 16. Учитель задает вопросы, ученик на них отвечает, и весь класс вместе с учителем заполняют следующую таблицу:

Один из учеников загадывает число в интервале от 1 до 8, второй – отгадывает это число, пользуясь приведенной выше стратегией игры.

Учитель сам объявляет количество полученных бит информации – 3, а затем спрашивает у учащихся их результат.

Существует формула, которая связывает между собой количество возможных событий и количество информации.

N — количество возможных вариантов,

I — количество информации.

Если из этой формулы выразить количество информации, то получится I= log₂N.

Неравновероятные события.

В жизни же мы сталкиваемся не только с равновероятными событиями, но и событиями, которые имеют разную вероятность реализации.

1. Когда сообщают прогноз погоды, то сведения о том, что будет дождь, более вероятно летом, а сообщение о снеге — зимой.

2. Если вы — лучший ученик в классе, то вероятность сообщения о том, что за контрольную работу вы получили 5, больше, чем вероятность получения двойки.

3. Если в мешке лежат 20 белых шаров и 5 черных, то вероятность достать черный шар меньше, чем вероятность вытаскивания белого.

Как вычислить количество информации в таком сообщении?

Для этого необходимо использовать следующую формулу:

I = , где р — вероятность отдельного события.

Это формула Хартли.

1. В корзине лежат 8 мячей разного цвета (красный, синий, желтый, зеленый, оранжевый, фиолетовый, белый, коричневый). Какое количество информации несет в себе сообщение о том, что из корзины будет вынут мяч красного цвета?

Так как возможности вынуть мяч каждого из возможных цветов равновероятны, то для определения количества информации, содержащегося в сообщении о выпадении мяча красного цвета, воспользуемся формулой I= log₂N.

Имеем I= log₂8= 3 бита.

2. В корзине лежат 8 черных шаров и 24 белых. Сколько информации несет сообщение о том, что достали черный шар?

8+24=32 – общее количество шаров в корзине;

8/32 = 0,25 – вероятность того, что из корзины достали черный шар;

I= — log₂ 0,25 = — (-2) = 2 бита.

3. В корзине лежат 32 клубка шерсти. Среди них – 4 красных. Сколько информации несет сообщение о том, что достали клубок красной шерсти?

4/32 = 1/8 – вероятность того, что из корзины достали клубок красной шерсти;

I= — log₂ (1/8) = — (-3) = 3 бита.

4. В коробке лежат 64 цветных карандаша. Сообщение о том, что достали белый карандаш, несет 4 бита информации. Сколько белых карандашей было в коробке?

Пусть в коробке было х белых карандашей.

Вероятность того, что достали белый карандаш, равна – х/64.

Количество информации сообщения о том, что достали белый шар, равно I= — log₂ (х/64) бит, что по условию задачи составляет 4 бита, т.е. имеет место уравнение:

Значит, в коробке было 4 белых карандаша.

Ответ: 4 карандаша

5. В корзине лежат белые и черные шары. Среди них 18 черных шаров. Сообщение о том, что из корзины достали белый шар, несет 2 бита информации. Сколько всего в корзине шаров.

Пусть в корзине — х белых шаров

Тогда всего шаров – (х + 18).

Вероятность того, что достали белый шар равна – .

Количество информации сообщения о том, что достали белый шар, равно

I= — log₂ бит, что по условию задачи составляет 2 бита, т.е. имеет место уравнение:

В корзине было 6 белых шаров.

Следовательно, всего в корзине – (6+18)=24 шара

4. Подведение итогов урока: оценка работы класса и учащихся, отличившихся на уроке.

1. В ящике лежат 36 красных и несколько зеленых яблок. Сообщение “Из ящика достали зеленое яблоко” несет 2 бита информации. Сколько яблок в ящике?

2. В концертном зале 270 девушек и несколько юношей. Сообщение “Первым из зала выйдет юноша” содержит 4 бита информации. Сколько юношей в зале.

3. В корзине 15 яблок, 15 груш и 30 слив. Сколько бит информации несет сообщение о том, что из корзины извлечена груша?

4. В коробке лежат 16 разноцветных фломастеров. Какое количество информации содержит сообщение, что из коробки достали фиолетовый фломастер?

Литература.

1. О.Л. Соколова “Универсальные поурочные разработки по информатике”, М., “ВАКО”, 2007
2. Л.Залогова, М.Плаксин “Задачник-практикум” в двух томах, под редакцией И.Семакина, Е.Хеннера, том 1, М., БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004
3. Ф.Ф. Лысенко, Л.Н.Евич “Информатика и ИКТ” Подготовка к ЕГЭ, Ростов-на-Дону, “Легион-М”, 2009.