Для нахождения этого определенного интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям:
$$ int_0^pi xsin x dx = egin u = x & du = dx \ dv = sin x dx & v = -cos x end = $$
$$ = -xcos x igg |_0^pi — int_0^pi (-cos x)dx = — (picdot cos pi — 0cdot cos 0) + int_0^pi cos x dx = $$
$$ = -(pi cdot (-1) — 0cdot 1) + int_0^pi cos x dx = pi + int_0^pi cos x dx = $$
Обратите внимание на то, что при вычислении $ uv $ мы использовали формулу Ньютона-Лейбница. Теперь дорешиваем второй интеграл опять же с учетом этой же формулы и записываем ответ:
$$ = pi +sin x igg |_0^pi=pi + (sin pi — sin 0)=pi + (0 — 0)=pi $$
Введите функцию, для которой необходимо вычислить интеграл
Калькулятор предоставляет ПОДРОБНОЕ решение определённых интегралов.
Этот калькулятор находит решение определенного интеграла от функции f(x) с данными верхними и нижними пределами.
Примеры
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
С применением синуса и косинуса
Гиберболические синус и косинус
Гиберболические тангенс и котангенс
Гиберболические арксинус и арккосинус
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
Правила ввода выражений и функций
© Контрольная работа РУ — калькуляторы онлайн
Решение прикладных задач сводится к вычислению интеграла, но не всегда это возможно сделать точно. Иногда необходимо знать значение определенного интеграла с некоторой степенью точности, к примеру, до тысячной.
Существуют задачи, когда следовало бы найти приближенное значение определенного интеграла с необходимой точностью, тогда применяют численное интегрирование такое, как метод Симпосна, трапеций, прямоугольников. Не все случаи позволяют вычислить его с определенной точностью.
Данная статья рассматривает применение формулы Ньютона-Лейбница. Это необходимо для точного вычисления определенного интеграла. Будут приведены подробные примеры, рассмотрены замены переменной в определенном интеграле и найдем значения определенного интеграла при интегрировании по частям.
Когда функция y = y ( x ) является непрерывной из отрезка [ a ; b ] ,а F ( x ) является одной из первообразных функции этого отрезка, тогда формула Ньютона-Лейбница считается справедливой. Запишем ее так ∫ a b f ( x ) d x = F ( b ) — F ( a ) .
Данную формулу считают основной формулой интегрального исчисления.
Чтобы произвести доказательство этой формулы, необходимо использовать понятие интеграла с имеющимся переменным верхним пределом.
Когда функция y = f ( x ) непрерывна из отрезка [ a ; b ] , тогда значение аргумента x ∈ a ; b , а интеграл имеет вид ∫ a x f ( t ) d t и считается функцией верхнего предела. Необходимо принять обозначение функции примет вид ∫ a x f ( t ) d t = Φ ( x ) , она является непрерывной, причем для нее справедливо неравенство вида ∫ a x f ( t ) d t ‘ = Φ ‘ ( x ) = f ( x ) .
Зафиксируем, что приращении функции Φ ( x ) соответствует приращению аргумента ∆ x , необходимо воспользоваться пятым основным свойством определенного интеграла и получим
Φ ( x + ∆ x ) — Φ x = ∫ a x + ∆ x f ( t ) d t — ∫ a x f ( t ) d t = = ∫ a x + ∆ x f ( t ) d t = f ( c ) · x + ∆ x — x = f ( c ) · ∆ x
где значение c ∈ x ; x + ∆ x .
Зафиксируем равенство в виде Φ ( x + ∆ x ) — Φ ( x ) ∆ x = f ( c ) . По определению производной функции необходимо переходить к пределу при ∆ x → 0 , тогда получаем формулу вида Φ ‘ ( x ) = f ( x ) . Получаем, что Φ ( x ) является одной из первообразных для функции вида y = f ( x ) , расположенной на [ a ; b ] . Иначе выражение можно записать
F ( x ) = Φ ( x ) + C = ∫ a x f ( t ) d t + C , где значение C является постоянной.
Произведем вычисление F ( a ) с использованием первого свойства определенного интеграла. Тогда получаем, что
F ( a ) = Φ ( a ) + C = ∫ a a f ( t ) d t + C = 0 + C = C , отсюда получаем, что C = F ( a ) . Результат применим при вычислении F ( b ) и получим:
F ( b ) = Φ ( b ) + C = ∫ a b f ( t ) d t + C = ∫ a b f ( t ) d t + F ( a ) , иначе говоря, F ( b ) = ∫ a b f ( t ) d t + F ( a ) . Равенство доказывает формулу Ньютона-Лейбница ∫ a b f ( x ) d x + F ( b ) — F ( a ) .
Приращение функции принимаем как F x a b = F ( b ) — F ( a ) . С помощью обозначения формулу Ньютона-Лейбница принимает вид ∫ a b f ( x ) d x = F x a b = F ( b ) — F ( a ) .
Чтобы применить формулу, обязательно необходимо знать одну из первообразных y = F ( x ) подынтегральной функции y = f ( x ) из отрезка [ a ; b ] , произвести вычисление приращения первообразной из этого отрезка. Рассмотрим несколько примером вычисления, используя формулу Ньютона-Лейбница.
Произвести вычисление определенного интеграла ∫ 1 3 x 2 d x по формуле Ньютона-Лейбница.
Рассмотрим, что подынтегральная функция вида y = x 2 является непрерывной из отрезка [ 1 ; 3 ] , тогда и интегрируема на этом отрезке. По таблице неопределенных интегралов видим, что функция y = x 2 имеет множество первообразных для всех действительных значений x , значит, x ∈ 1 ; 3 запишется как F ( x ) = ∫ x 2 d x = x 3 3 + C . Необходимо взять первообразную с С = 0 , тогда получаем, что F ( x ) = x 3 3 .
Воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница и получим, что вычисление определенного интеграла примет вид ∫ 1 3 x 2 d x = x 3 3 1 3 = 3 3 3 — 1 3 3 = 26 3 .
Ответ: ∫ 1 3 x 2 d x = 26 3
Произвести вычисление определенного интеграла ∫ — 1 2 x · e x 2 + 1 d x по формуле Ньютона-Лейбница.
Заданная функция непрерывна из отрезка [ — 1 ; 2 ] , значит, на нем интегрируема. Необходимо найти значение неопределенного интеграла ∫ x · e x 2 + 1 d x при помощи метода подведения под знак дифференциала , тогда получаем ∫ x · e x 2 + 1 d x = 1 2 ∫ e x 2 + 1 d ( x 2 + 1 ) = 1 2 e x 2 + 1 + C .
Отсюда имеем множество первообразных функции y = x · e x 2 + 1 , которые действительны для всех x , x ∈ — 1 ; 2 .
Необходимо взять первообразную при С = 0 и применить формулу Ньютона-Лейбница. Тогда получим выражение вида
∫ — 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e x 2 + 1 — 1 2 = = 1 2 e 2 2 + 1 — 1 2 e ( — 1 ) 2 + 1 = 1 2 e ( — 1 ) 2 + 1 = 1 2 e 2 ( e 3 — 1 )
Ответ: ∫ — 1 2 x · e x 2 + 1 d x = 1 2 e 2 ( e 3 — 1 )
Произвести вычисление интегралов ∫ — 4 — 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x и ∫ — 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x .
Отрезок — 4 ; — 1 2 говорит о том, что функция, находящаяся под знаком интеграла, является непрерывной, значит, она интегрируема. Отсюда найдем множество первообразных функции y = 4 x 3 + 2 x 2 . Получаем, что
∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x = 4 ∫ x d x + 2 ∫ x — 2 d x = 2 x 2 — 2 x + C
Необходимо взять первообразную F ( x ) = 2 x 2 — 2 x , тогда, применив формулу Ньютона-Лейбница, получаем интеграл, который вычисляем:
∫ — 4 — 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = 2 x 2 — 2 x — 4 — 1 2 = 2 — 1 2 2 — 2 — 1 2 — 2 — 4 2 — 2 — 4 = 1 2 + 4 — 32 — 1 2 = — 28
Производим переход к вычислению второго интеграла.
Из отрезка [ — 1 ; 1 ] имеем, что подынтегральная функция считается неограниченной, потому как lim x → 0 4 x 3 + 2 x 2 = + ∞ , тогда отсюда следует, что необходимым условием интегрируемости из отрезка. Тогда F ( x ) = 2 x 2 — 2 x не является первообразной для y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ — 1 ; 1 ] , так как точка O принадлежит отрезку, но не входит в область определения. Значит, что имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ — 1 ; 1 ] .
Ответ: ∫ — 4 — 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x = — 28 , имеется определенный интеграл Римана и Ньютона-Лейбница для функции y = 4 x 3 + 2 x 2 из отрезка [ — 1 ; 1 ] .
Перед использованием формулы Ньютона-Лейбница нужно точно знать о существовании определенного интеграла.
Замена переменной в определенном интеграле
Когда функция y = f ( x ) является определенной и непрерывной из отрезка [ a ; b ] , тогда имеющееся множество [ a ; b ] считается областью значений функции x = g ( z ) , определенной на отрезке α ; β с имеющейся непрерывной производной, где g ( α ) = a и g β = b , отсюда получаем, что ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( z ) ) · g ‘ ( z ) d z .
Данную формулу применяют тогда, когда нужно вычислять интеграл ∫ a b f ( x ) d x , где неопределенный интеграл имеет вид ∫ f ( x ) d x , вычисляем при помощи метода подстановки.
Произвести вычисление определенного интеграла вида ∫ 9 18 1 x 2 x — 9 d x .
Подынтегральная функция считается непрерывной на отрезке интегрирования, значит определенный интеграл имеет место на существование. Дадим обозначение, что 2 x — 9 = z ⇒ x = g ( z ) = z 2 + 9 2 . Значение х = 9 , значит, что z = 2 · 9 — 9 = 9 = 3 , а при х = 18 получаем, что z = 2 · 18 — 9 = 27 = 3 3 , тогда g α = g ( 3 ) = 9 , g β = g 3 3 = 18 . При подстановке полученных значений в формулу ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( z ) ) · g ‘ ( z ) d z получаем, что
∫ 9 18 1 x 2 x — 9 d x = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z 2 + 9 2 ‘ d z = = ∫ 3 3 3 1 z 2 + 9 2 · z · z d z = ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z
По таблице неопределенных интегралов имеем, что одна из первообразных функции 2 z 2 + 9 принимает значение 2 3 a r c t g z 3 . Тогда при применении формулы Ньютона-Лейбница получаем, что
∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 3 3 3 = 2 3 a r c t g 3 3 3 — 2 3 a r c t g 3 3 = 2 3 a r c t g 3 — a r c t g 1 = 2 3 π 3 — π 4 = π 18
Нахождение можно было производить, не используя формулу ∫ a b f ( x ) d x = ∫ α β f ( g ( z ) ) · g ‘ ( z ) d z .
Если при методе замены использовать интеграл вида ∫ 1 x 2 x — 9 d x , то можно прийти к результату ∫ 1 x 2 x — 9 d x = 2 3 a r c t g 2 x — 9 3 + C .
Отсюда произведем вычисления по формуле Ньютона-Лейбница и вычислим определенный интеграл. Получаем, что
∫ 9 18 2 z 2 + 9 d z = 2 3 a r c t g z 3 9 18 = = 2 3 a r c t g 2 · 18 — 9 3 — a r c t g 2 · 9 — 9 3 = = 2 3 a r c t g 3 — a r c t g 1 = 2 3 π 3 — π 4 = π 18
Ответ: ∫ 9 18 2 x 2 x — 9 d x = π 18
Интегрирование по частям при вычислении определенного интеграла
Если на отрезке [ a ; b ] определены и непрерывны функции u ( x ) и v ( x ) , тогда их производные первого порядка v ‘ ( x ) · u ( x ) являются интегрируемыми, таким образом из этого отрезка для интегрируемой функции u ‘ ( x ) · v ( x ) равенство ∫ a b v ‘ ( x ) · u ( x ) d x = ( u ( x ) · v ( x ) ) a b — ∫ a b u ‘ ( x ) · v ( x ) d x справедливо.
Формулу можно использовать тогда, необходимо вычислять интеграл ∫ a b f ( x ) d x , причем ∫ f ( x ) d x необходимо было искать его при помощи интегрирования по частям.
Произвести вычисление определенного интеграла ∫ — π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x .
Функция x · sin x 3 + π 6 интегрируема на отрезке — π 2 ; 3 π 2 , значит она непрерывна.
Пусть u ( x ) = х , тогда d ( v ( x ) ) = v ‘ ( x ) d x = sin x 3 + π 6 d x , причем d ( u ( x ) ) = u ‘ ( x ) d x = d x , а v ( x ) = — 3 cos π 3 + π 6 . Из формулы ∫ a b v ‘ ( x ) · u ( x ) d x = ( u ( x ) · v ( x ) ) a b — ∫ a b u ‘ ( x ) · v ( x ) d x получим, что
∫ — π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = — 3 x · cos x 3 + π 6 — π 2 3 π 2 — ∫ — π 2 3 π 2 — 3 cos x 3 + π 6 d x = = — 3 · 3 π 2 · cos π 2 + π 6 — — 3 · — π 2 · cos — π 6 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 — π 2 3 π 2 = 9 π 4 — 3 π 2 + 9 sin π 2 + π 6 — sin — π 6 + π 6 = 9 π 4 — 3 π 2 + 9 3 2 = 3 π 4 + 9 3 2
Решение примера можно выполнить другим образом.
Найти множество первообразных функции x · sin x 3 + π 6 при помощи интегрирования по частям с применением формулы Ньютона-Лейбница:
∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = u = x , d v = sin x 3 + π 6 d x ⇒ d u = d x , v = — 3 cos x 3 + π 6 = = — 3 cos x 3 + π 6 + 3 ∫ cos x 3 + π 6 d x = = — 3 x cos x 3 + π 6 + 9 sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ — π 2 3 π 2 x · sin x 3 + π 6 d x = — 3 cos x 3 + π 6 + 9 sincos x 3 + π 6 — — — 3 · — π 2 · cos — π 6 + π 6 + 9 sin — π 6 + π 6 = = 9 π 4 + 9 3 2 — 3 π 2 — 0 = 3 π 4 + 9 3 2
Ответ: ∫ x · sin x x 3 + π 6 d x = 3 π 4 + 9 3 2
|
