Извлечение квадрантного корня из числа не единственная операция, которую можно производить с этим математическим явлением. Так же как и обычные числа, квадратные корни складывают и вычитают.

Правила сложения и вычитания квадратных корней

Такие действия, как сложение и вычитание квадратного корня, возможны только при условии одинакового подкоренного выражения.

Можно сложить или вычесть выражения 2 3 и 6 3 , но не 5 6 и 9 4 . Если есть возможность упростить выражение и привести его к корням с одинаковым подкоренным числом, то упрощайте, а потом складывайте или вычитайте.

Действия с корнями: основы

6 50 — 2 8 + 5 12

  1. Упростить подкоренное выражение. Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9).
  2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня.
  3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
  4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Если у вас пример с большим количеством одинаковых подкоренных выражений, то подчеркивайте такие выражения одинарными, двойными и тройными линиями, чтобы облегчить процесс вычисления.

Давайте попробуем решить данный пример:

6 50 = 6 ( 25 × 2 ) = ( 6 × 5 ) 2 = 30 2 . Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 30 2 .

2 8 = 2 ( 4 × 2 ) = ( 2 × 2 ) 2 = 4 2 . Сперва необходимо разложить 8 на 2 множителя: 4 и 2. Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 2 (множитель у корня) и получить 4 2 .

5 12 = 5 ( 4 × 3 ) = ( 5 × 2 ) 3 = 10 3 . Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3. Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить 10 3 .

Результат упрощения: 30 2 — 4 2 + 10 3

30 2 — 4 2 + 10 3 = ( 30 — 4 ) 2 + 10 3 = 26 2 + 10 3 .

В итоге мы увидели, сколько одинаковых подкоренных выражений содержится в данном примере. А сейчас попрактикуемся на других примерах.

  • Упрощаем ( 45 ) . Раскладываем 45 на множители: ( 45 ) = ( 9 × 5 ) ;
  • Выносим 3 из-под корня ( 9 = 3 ) : 45 = 3 5 ;
  • Складываем множители у корней: 3 5 + 4 5 = 7 5 .
  • Упрощаем 6 40 . Раскладываем 40 на множители: 6 40 = 6 ( 4 × 10 ) ;
  • Выносим 2 из-под корня ( 4 = 2 ) : 6 40 = 6 ( 4 × 10 ) = ( 6 × 2 ) 10 ;
  • Перемножаем множители, которые стоят перед корнем: 12 10 ;
  • Записываем выражение в упрощенном виде: 12 10 — 3 10 + 5 ;
  • Поскольку у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, мы можем их вычесть: ( 12 — 3 ) 10 = 9 10 + 5 .

Как мы видим, упростить подкоренные числа не представляется возможным, поэтому ищем в примере члены с одинаковыми подкоренными числами, проводим математические действия (складываем, вычитаем и т.д.) и записываем результат:

( 9 — 4 ) 5 — 2 3 = 5 5 — 2 3 .

Советы:

  • Перед тем, как складывать или вычитать, необходимо обязательно упростить (если это возможно) подкоренные выражения.
  • Складывать и вычитать корни с разными подкоренными выражениями строго воспрещается.
  • Не следует суммировать или вычитать целое число или корень: 3 + ( 2 x ) 1 / 2 .
  • При выполнении действий с дробями, необходимо найти число, которое делится нацело на каждый знаменатель, потом привести дроби к общему знаменателю, затем сложить числители, а знаменатели оставить без изменений.

Складывать и вычитать квадратные корни можно только при условии, что у них одинаковое подкоренное выражение, то есть вы можете сложить или вычесть 2√3 и 4√3, но не 2√3 и 2√5. Вы можете упростить подкоренное выражение, чтобы привести их к корням с одинаковыми подкоренными выражениями (а затем сложить или вычесть их).


Необходимо произвести сложные расчеты, а электронного вычислительного устройства под рукой не оказалось? Воспользуйтесь онлайн программой — калькулятором корней. Она поможет:

  • найти квадратные или кубические корни из заданных чисел;
  • выполнить математическое действие с дробными степенями.
Число знаков после запятой:
√

Что такое квадратный корень

Каждое математическое действие имеет противодействие: сложение→вычитание, умножение→деление, возведение в степень→извлечение корня.

Квадратным корнем из числа a будет число, квадрат которого равен a. Из этого следует ответ на вопрос, как вычислить корень из числа? Нужно подобрать число, которое во второй степени будет равно значению под корнем.

Обычно 2 не пишут над знаком корня. Поскольку это самая маленькая степень, а соответственно если нет числа, то подразумевается показатель 2. Решаем: чтобы вычислить корень квадратный из 16, нужно найти число, при возведении которого во вторую степень получиться 16.

Проводим расчеты вручную

Вычисления методом разложения на простые множители выполняется двумя способами, в зависимости от того, какое подкоренное число:

1.Целое, которое можно разложить на квадратные множители и получить точный ответ.

Квадратные числа — числа, из которых можно извлечь корень без остатка. А множители — числа, которые при перемножении дают исходное число.

8, 25, 36, 49 — квадратные числа, поскольку:

Получается, что квадратные множители — множители, которые являются квадратными числами.

Возьмем 784 и извлечем из него корень.

Раскладываем число на квадратные множители. Число 784 кратно 4, значит первый квадратный множитель — 4 x 4 = 16. Делим 784 на 16 получаем 49 — это тоже квадратное число 7 x 7 = 16.
Применим правило

Извлекаем корень из каждого квадратного множителя, умножаем результаты и получаем ответ.

Ответ.

2.Неделимое. Его нельзя разложить на квадратные множители.

Такие примеры встречаются чаще, чем с целыми числами. Их решение не будет точным, другими словами целым. Оно будет дробным и приблизительным. Упростить задачу поможет разложение подкоренного числа на квадратный множитель и число, из которого извлечь квадратный корень нельзя.

Раскладываем число 252 на квадратный и обычный множитель.
Оцениваем значение корня. Для этого подбираем два квадратных числа, которые стоят впереди и сзади подкоренного числа в цифровой линейки.Подкоренное число — 7. Значит ближайшее большее квадратное число будет 8, а меньшее 4.

между 2 и 4.

Оцениваем значениеВероятнее √7 ближе к 2. Подбираем таким образом, чтобы при умножении этого числа на само себя получилось 7.

2,7 x 2,7 = 7,2. Не подходит, так как 7,2>7, берем меньшее 2,6 x 2,6 = 6,76. Оставляем, ведь 6,76

7.

Вычисляем корень

Как вычислить корень из сложного числа? Тоже методом оценивая значения корня.

При делении в столбик получается максимально точный ответ при извлечении корня.

Возьмите лист бумаги и расчертите его так, чтобы вертикальная линия находилась посередине, а горизонтальная была с ее правой стороны и ниже начала.
Разбейте подкоренное число на пары чисел. Десятичные дроби делят так:

— целую часть справа налево;

— число после запятой слева направо.

Пример: 3459842,825694 → 3 45 98 42, 82 56 94

Допускается, что вначале остается непарное число.

Для первого числа (или пары) подбираем наибольшее число n. Его квадрат должен быть меньше или равен значению первого числа (пары чисел).

Извлеките из этого числа корень — √n. Запишите полученный результат сверху справа, а квадрат этого числа — снизу справа.

У нас первая 7. Ближайшее квадратное число — 4. Оно меньше 7, а 4 =

Вычтите найденный квадрат числа n из первого числа (пары). Результат запишите под 7.

А верхнее число справа удвойте и запишите справа выражение 4_х_=_.

Примечание: числа должны быть одинаковыми.

Подбираем число для выражения с прочерками. Для этого найдите такое число, чтобы полученное произведение не было больше или равнялось текущему числу слева. В нашем случае это 8.Запишите найденное число в верхнем правом углу. Это второе число из искомого корня.

Снесите следующую пару чисел и запишите возле полученной разницы слева.

Вычтите полученное справа произведение из числа слева.

Удваиваем число, которое расположено справа вверху и записываем выражение с прочерками.

Сносим к получившейся разнице еще пару чисел. Если это числа дробной части, то есть расположены за запятой, то и в верхнем правом углу возле последней цифры искомого квадратного корня ставим запятую.

Заполняем прочерки в выражении справа, подбирая число так, чтобы полученное произведение было меньше или равно разницы выражения слева.

Если необходимо большее количества знаков после запятой, то дописывайте возле текущей цифры слева и повторяйте действия: вычитание слева, удваиваем число в верхнем правом углу, записываем выражение прочерками, подбираем множители для него и так далее.

Как думаете сколько времени вы потратите на такие расчеты? Сложно, долго, запутанно. Тогда почему бы не упростить себе задачу? Воспользуйтесь нашей программой, которая поможет произвести быстрые и точные расчеты.

1. Введите желаемое количество знаков после запятой.

2. Укажите степень корня (если он больше 2).

3. Введите число, из которого планируете извлечь корень.