Порядок решения задач на определение реакций опор балок

  • Выбираем систему координат. Можно ось x направить вдоль балки, ось y – вертикально вверх. Ось z будет направлена перпендикулярно плоскости рисунка, на нас. Центр системы координат можно выбрать в одной из точек опор балки.
  • Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций.
  • Если есть распределенная нагрузка, то заменяем ее равнодействующей силой. Величина этой силы равна площади эпюры. Точка приложения силы находится в центре тяжести эпюры. Так если нагрузка q равномерно распределена на отрезке AB , то ее равнодействующая имеет величину Q = q· | AB | и приложена посередине отрезка AB .
  • Составляем уравнения равновесия для действующих сил. В общем случае они имеют вид:
    .
    Спроектируем это векторное уравнение на оси координат. Тогда сумма проекций сил на каждую из осей координат равна нулю:
    (1) .
    Находим проекции сил на оси координат и составляем уравнения (1). Для плоской системы сил, последнее уравнение, с проекциями на ось z , не используется.
  • Составляем уравнения равновесия для моментов сил. Сумма моментов сил относительно произвольной оси A′A′′ равна нулю:
    (2) .
    Чтобы составить это уравнение, мы должны выбрать ось, относительно которой вычисляются моменты. Ось лучше выбрать так, чтобы сделать вычисления более простыми. Чаще всего оси выбирают так, чтобы они проходили через точки опор балки, перпендикулярно плоскости рисунка.
  • Решаем уравнения и получаем значения реакций опор.
  • Делаем проверку результата. В качестве проверки можно выбрать какую-нибудь ось, перпендикулярную плоскости рисунка, и относительно нее подсчитать сумму моментов сил, действующих на балку, включая найденные реакции опор. Сумма моментов должна равняться нулю.

Пример решения задачи на определение реакций опор балки

Жесткая балка, линейные размеры которой указаны на рисунке 1, закреплена в точках А и В. На балку действуют пара сил с моментом М, равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q и две силы P и G, место приложения которых показано на рисунке.
Определить реакции опор балки в точках A и В, вызываемые указанными нагрузками.

Дано:
P = 20,2 Н ; G = 22,6 Н ; q = 2 Н/м ; M = 42,8 Н·м ; a = 1,3 м ; b = 3,9 м ; α = 45° ;

Решение задачи

Проводим оси x и y системы координат. Начало системы координат поместим в точку A . Ось x направим горизонтально, вдоль балки. Ось y – вертикально. Ось z перпендикулярна плоскости рисунка и направлена на нас. На рисунке она не указана.

Отбрасываем опоры и заменяем их силами реакций.
В шарнире A , разложим силу реакции на составляющие и вдоль осей координат.
Реакция , в подвижной опоре на катках, направлена вертикально. Предполагаемые направления реакций опор выбираем по своему усмотрению, наугад. Если ошибемся с направлением реакции, то получим отрицательное значение, что будет говорить о том, что соответствующая сила реакции направлена в противоположную сторону.

Заменим равномерно распределенную нагрузку q равнодействующей . Абсолютное значение равнодействующей равно площади эпюры:
Н .
Точка приложения равнодействующей находится в центре тяжести эпюры. Поскольку эпюра представляет собой прямоугольник, то ее центр тяжести находится в точке C – посередине отрезка AD :
AC = CD = b/2 = 1,95 м .

Уравнения равновесия для сил

Определяем проекции сил на оси координат.

Разложим силу на составляющие вдоль координатных осей:
.
Абсолютные значения составляющих:
.
Вектор параллелен оси x и направлен в противоположную от нее сторону. Вектор параллелен оси y и также направлен в противоположную сторону. Поэтому проекции силы на оси координат имеют следующие значения:
.

Остальные силы параллельны осям координат. Поэтому они имеют следующие проекции:
;
;
;
;
.

Составляем уравнения равновесия для сил.
Сумма проекций всех сил на ось x равна нулю:
;
;
;
(П1) .

Сумма проекций всех сил на ось y равна нулю:
;
;
;
(П2) .

Уравнения равновесия для моментов

Итак, мы уже составили два уравнения для сил: (П1) и (П2). Но в них есть три неизвестные величины: , и . Чтобы их определить, нам нужно составить еще одно уравнение.

Составим уравнение равновесия для моментов сил. Для этого нам нужно выбрать ось, относительно которой мы будем вычислять моменты. В качестве такой оси возьмем ось, проходящую через точку A , перпендикулярно плоскости рисунка. За положительное направление выберем то, которое направлено на нас. Тогда, по правилу правого винта, положительным направлением закручивания будет направление против часовой стрелки.

Находим моменты сил относительно выбранной оси.
Силы , и пересекают ось. Поэтому их моменты равны нулю:
; ; .

Сила перпендикулярна плечу AB . Ее момент:
.
Поскольку, относительно оси A , сила направлена против часовой стрелки, то ее момент положительный.

Сила перпендикулярна плечу AK . Поскольку, относительно оси A , эта сила направлена по часовой стрелки, то ее момент имеет отрицательное значение:
.

Аналогичным способом находим моменты остальных сил:
;
.
Момент от пары сил M не зависит от точек приложения сил, входящих в пару:
.

Составляем уравнение равновесия. Сумма моментов сил относительно оси A равна нулю:
;

;
;
(П3) .

Решение уравнений равновесия

Итак, для трех неизвестных величин, мы получили три уравнения:
(П1) .
(П2) .
(П3) .

Решаем эти уравнения. Вычисляем расстояния.
м;
м;
м;
м.

Из уравнения (П1) находим:
Н.
Из уравнения (П3) находим:

Н.
Из уравнения (П2) имеем:
Н.
Абсолютное значение реакции опоры в точке A :
Н.

Проверка правильности решения

Чтобы проверить, правильно ли мы определили реакции опор балки, найдем сумму моментов сил относительно другой оси. Если мы нашли реакции правильно, то она должна равняться нулю.

Возьмем ось, проходящую через точку E . Вычисляем сумму моментов сил относительно этой оси:

.
Найдем погрешность вычисления суммы моментов. Найденные силы мы округлили до двух знаков после запятой. То есть погрешность определения реакций опор составляет 0,01 Н . Расстояния, по порядку величины, примерно равны 10 м. Тогда погрешность вычисления суммы моментов составляет около 10·0,01 = 0,1 Нм . Мы получили значение -0,03 Нм . Эта величина отличается от нуля не более, чем на величину погрешности. То есть, с учетом погрешности вычислений, сумма моментов относительно другой оси равна нулю. Значит решение правильное, силы реакций найдены верно.

Второй способ решения

Первым способом мы составили два уравнения для сил и одно – для моментов. Задачу можно решить другим способом, составив два уравнения для моментов и одно для сил.

Воспользуемся тем, что сумма моментов сил равна нулю относительно любой оси. Возьмем вторую ось, которая проходит через точку B перпендикулярно плоскости рисунка. Сумма моментов сил относительно этой равна нулю:
.
Вычисляем моменты сил относительно оси B .
; ; ;
;
;
;
;
.

Сумма моментов сил относительно оси B равна нулю:
;

;
;
(П4) ;

Итак, вторым способом, мы также имеем три уравнения:
(П1) .
(П3) ;
(П4) .

Здесь каждое уравнение содержит только одну неизвестную величину. Реакции и определяются из тех же уравнений, что и ранее. Находим силу из уравнения (П4):

Н.

Значение реакции совпало со значением, полученным первым способом из уравнения (П2).

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 14-10-2017

Для двухопорной балки определить реакции опор

ВариантF1, кНF2, кНМ, кНмℓ1, мℓ2, мℓ3, м
2,0 4,0 5,0 2,0 3,0 1,0 2,0 1,0 4,0 1,56,0 4,0 3,0 3,0 3,0 4,0 5,0 6,0 3,0 4,52,0 2,0 2,0 5,0 4,0 5,0 3,0 3,0 3,0 4,0

ПРИМЕР 2 Определить реакции опор двухопорной балки (рисунок — 4)

Определить реакции опор RАУ и RВУ

1 Обозначаем опоры буквами А и В. Отбрасываем связи (опоры А и В), заменяем их действие реакциями. Так как задана параллельная система сил, то реакции в опорах будут только вертикальные А и В. Выбираем систему координат ХУ с началом в левой опоре и чертим расчетную схему балки (рисунок 5)

2 Для полученной плоской параллельной системы сил составляем уравнение равновесия:

F1*2.0+m1+F2*3.0-m2-Rву*0,6=0 (3)

F1*8,0+m1+RАУ*6.0-F2*3.0-m2=0 (4)

3 Решаем систему уравнений.

Из уравнения (3) находим RВУ:

Rву =

Из уравнения (4) находим RАУ:

4 Для проверки правильности решения составим сумму протекций всех сил

то есть реакции определены верно.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Лучшие изречения: При сдаче лабораторной работы, студент делает вид, что все знает; преподаватель делает вид, что верит ему. 9373 — | 7304 — или читать все.

78.85.5.224 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.

Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно

1. Освобождаются от опор и заменяют их действие на балку опорными реакциями.

В задачах данной работы балки прикреплены к ос­нованию с помощью одной шарнирно-неподвижной и второй шарнирно-подвижной опоры. В шарнирно-непо­движной опоре в общем случае действия нагрузки воз­никают две реакции: горизонтальная НА и вертикаль­ная Va. В шарнирно-подвижной опоре при любой на­грузке возникает одна реакция — по направлению опор­ного стержня — VB.

2. Определяют плечо силы, не перпендикулярное к оси балки. Плечо силы определяется относительно обеих опор. Для этого из каждой точки опоры опускают на си­ 8 у или линию ее действия перпендикуляры — они яв­ляются плечами силы относительно левой и правой опоры. Рассматривая прямоугольный треугольник, об­разованный осью балки, линией действия силы и пер­пендикуляром, находят величину каждого плеча. Если наклонных сил несколько, то для каждой находят пле­чо относительно обеих опор.

3.Составляют уравнения равновесия:

Решая уравнения, находят неизвестные реакции VА, VВ и НА.

4.Выполняют проверку решения по уравнению ΣΥ=0. ;

Пример 2. Определить опорные реакции балки, по­казанной на рис. 4, а.

Решение: 1 Освобождаемся от опор и заменяем их действие реакциями опор. Левая опора шарнирно-неподвижная, в ней возникают две реакции Va а НА. Правая опора шарнирно-подвижная, в ней возникает одна ре­акция— вертикальная VB (рис. 4,6).

2. Определим плечо силы F1 относительно опоры А. Для этого из точки А опустим перпендикуляр на линию действия силы F1 и из треугольника ADE определим пле­чо силы F1: hA = (а+ е) cos 40° = (1,5+ 2,0) cos40° = 3,5 · 0,766 = 2,681 м.

Плечо силы F1 относительно опоры В определим из треугольника BDG: hВ = с cos 40° = 2,5-0,766= 1,915 м.

Составляем уравнения равновесия. Первое урав­нение принимает вид

ΣМА= — М + F1 hA + q2 (с + d) (a + e + — VB(a + e + с) — F2(а + е + с + d) = 0

или — 25 + 70 · 2,68 + 20 ·3,5 ·5,25 — VB ·6— 15·7 = 0,

— 25 + 70.2,68 + 20.3,5-5,25— 15-7 откуда VB = кН

Второе уравнение принимает вид

ΣMB=-M+VA (а + е + с)- q1 (а + а) (а + е + с) – F1·hВ – q2(с + d)( )-F2·d=0

или — 25 + VА .6—10 ·3 · 6 — 70 ·1,915 – 20 ·3,5 · 0,75 — 15 ·7 = 0,

откуда VA = 25+10-3-6+ 70.1,915+ 20-3,5-0,75+ 15-1/ 6 – 408,3/6 =67,76 кН

Третье уравнение принимает вид НА + F1 cos 50° = 0, откуда

HА = — F1cos 50° = -70 · 0,643 =-45,01 кН.

Знак «минус» означает, что НА направлена в сторо­ну, противоположную показанной на рис. 4, б.

4. Выполним проверку

или 67,76- 10 ·3 -70 ·0,766 -20 ·3,5+ 70,68 + 15=0;

Ответ: VА = 67,76 кН; VB = 70,68 кН; НА = —45,01 кН.

Задание для расчетно-графической работы 2. Определить опор­ные реакции балки на двух опорах по данным одного из вариантов, показанных на рис.5