Примеры решения задач с векторами
Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.
Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.
Теоретический материал по теме — координаты вектора.
Запись означает, что вектор имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.
Задание. Заданы векторы и . Найти координаты вектора
Решение.
Задание. Вектор . Найти координаты вектора
Решение.
Задание. Найти координаты вектора , если
Решение.
Длина (модуль) вектора
Теоретический материал по теме — длина вектора.
Задание. Найти длину вектора
Решение. Используя формулу, получаем:
Задание. Найти длину вектора
Решение. Используя формулу, получаем:
Угол между векторами
Теоретический материал по теме — угол между векторами.
Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов , а их длины . Найти угол между векторами и .
Решение. Косинус искомого угла:
Задание. Найти угол между векторами и
Решение. Косинус искомого угла
Задание. Найти угол между векторами и
Решение. Косинус искомого угла:
Разложение вектора по ортам координатных осей
Теоретический материал по теме — разложение вектора по ортам.
Задание. Зная разложения вектора по базисной системе векторов: , записать координаты этого вектора в пространстве.
Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что , получаем, что
Задание. Вектор задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.
Решение. Координаты вектора — это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:
Скалярное произведение векторов
Теоретический материал по теме — скалярное произведение векторов.
Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.
Решение. Так как из условия , , а , то
Задание. Найти скалярное произведение векторов и
Решение. Скалярное произведение
Векторное произведение векторов
Теоретический материал по теме — векторное произведение векторов.
Задание. Найти векторное произведение векторов и
Решение. Составляем определитель и вычисляем его:
Смешанное произведение векторов
Теоретический материал по теме — смешанное произведение векторов.
Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах , ,
Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов , и :
Формула
Пусть есть вектор $ overline
, overline, overline
, overline, overline
Достаточно представить вектор $ overline
$$ overline
+ eta overline + gamma overline
В координатной форме эта запись выглядит так:
$$ egin
Суть разложения в том, что необходимо найти коэффициенты $ alpha, eta, gamma $ такие, чтобы выполнялись три равенства из системы одновременно
Примеры решения
Пример |
Разложить вектор $ overline = (2,3,1) $, $ overline |
Решение |