Примеры решения задач с векторами

Вектора применяются во многих науках, таких как: математика, физика, геометрия и многих других прикладных науках. На практике, они позволяют не делать лишних операций и сократить время выполнения задач. Поэтому, будущим специалистам очень важно понять теорию векторов и научиться решать задачи с ними.

Перед изучением примеров решения задач советуем изучить теоретический материал по векторам, прочитать все определения и свойства. Список тем находится в правом меню.

Теоретический материал по теме — координаты вектора.

Запись означает, что вектор имеет следующие координаты: абсцисса равна 5, ордината равна -2.

Задание. Заданы векторы и . Найти координаты вектора

Решение.

Задание. Вектор . Найти координаты вектора

Решение.

Задание. Найти координаты вектора , если

Решение.

Длина (модуль) вектора

Теоретический материал по теме — длина вектора.

Задание. Найти длину вектора

Решение. Используя формулу, получаем:

Задание. Найти длину вектора

Решение. Используя формулу, получаем:

Угол между векторами

Теоретический материал по теме — угол между векторами.

Задание. Известно, что скалярное произведение двух векторов , а их длины . Найти угол между векторами и .

Решение. Косинус искомого угла:

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла

Задание. Найти угол между векторами и

Решение. Косинус искомого угла:

Разложение вектора по ортам координатных осей

Теоретический материал по теме — разложение вектора по ортам.

Задание. Зная разложения вектора по базисной системе векторов: , записать координаты этого вектора в пространстве.

Решение. Коэффициенты при ортах и есть координатами вектора, поэтому из того, что , получаем, что

Задание. Вектор задан своими координатами: . Записать разложение данного вектора по ортам осей координат.

Решение. Координаты вектора — это коэффициенты при ортах координатных осей в разложении вектора по базисной системе векторов, поэтому искомое разложение:

Скалярное произведение векторов

Теоретический материал по теме — скалярное произведение векторов.

Задание. Вычислить скалярное произведение векторов и , если их длины соответственно равны 2 и 3, а угол между ними 60°.

Решение. Так как из условия , , а , то

Задание. Найти скалярное произведение векторов и

Решение. Скалярное произведение

Векторное произведение векторов

Теоретический материал по теме — векторное произведение векторов.

Задание. Найти векторное произведение векторов и

Решение. Составляем определитель и вычисляем его:

Смешанное произведение векторов

Теоретический материал по теме — смешанное произведение векторов.

Задание. Вычислить объем пирамиды, построенной на векторах , ,

Решение. Найдем смешанное произведение заданных векторов, для это составим определитель, по строкам которого запишем координаты векторов , и :

Формула

Пусть есть вектор $ overline $ и векторы $ overline

, overline, overline $. Как разложить вектор $ overline $ по векторам $ overline

, overline, overline $ ?

Достаточно представить вектор $ overline $ в виде линейной комбинации:

$$ overline = alpha overline

+ eta overline + gamma overline $$

В координатной форме эта запись выглядит так:

$$ egin x= alpha p_x + eta q_x + gamma r_x \ y=alpha p_y + eta q_y + gamma r_y \ z = alpha p_z + eta q_z + gamma r_z end $$

Суть разложения в том, что необходимо найти коэффициенты $ alpha, eta, gamma $ такие, чтобы выполнялись три равенства из системы одновременно

Примеры решения

Составим систему линейных уравнений, используя векторы из условия задачи:

$$ egin 10= 2alpha + 3 eta + 5 gamma \ 3=3 alpha + 7 eta + 4 gamma \ 3 = 1 alpha + 2 eta + 2 gamma end $$

Запишем систему в привычном виде:

$$ egin 2alpha + 3 eta + 5 gamma = 10 \ 3 alpha + 7 eta + 4 gamma = 3 \ alpha + 2 eta + 2 gamma = 3 end $$

Решив систему уравнений любым методом, найдем неизвестные $ alpha, eta, gamma $. К примеру, возьмём метод Крамера.

Найдем главный определитель:

$$ Delta = egin 2 & 3 & 5 \ 3 & 7 & 4 \ 1 & 2 & 2 end = $$

$$ = 2 cdot 7 cdot 2 + 3 cdot 4 cdot 1 + 3 cdot 2 cdot 5 — 5 cdot 7 cdot 1 — 4 cdot 2 cdot 2 — 3 cdot 3 cdot 2 = $$

$$ = 28 + 12 + 30 — 35 — 16 — 18 = 1 $$

Так как $ Delta = 1 $ не равно нулю, то СЛАУ имеет единственное решение.

Вычислим дополнительные определители составленные из столбцов главного путём поочередной замены одного из столбцов на свободные члены системы:

$$ Delta_1 = egin 10 & 3 & 5 \ 3 & 7 & 4 \ 3 & 2 & 2 end = $$

$$ = 10 cdot 7 cdot 2 + 3 cdot 4 cdot 3 + 3 cdot 2 cdot 5 — 5 cdot 7 cdot 3 — 4 cdot 2 cdot 10 — 3 cdot 3 cdot 2 = $$

$$ = 140 + 36 + 30 — 105 — 80 — 18 = 3 $$

$$ Delta_2 = egin 2 & 10 & 5 \ 3 & 3 & 4 \ 1 & 3 & 2 end = $$

$$ = 2 cdot 3 cdot 2 + 10 cdot 4 cdot 1 + 3 cdot 3 cdot 5 — 5 cdot 3 cdot 1 — 4 cdot 3 cdot 2 — 10 cdot 3 cdot 2 = $$

$$ = 12 + 40 + 45 — 15 — 24 — 60 = -2 $$

$$ Delta_3 = egin 2 & 3 & 10 \ 3 & 7 & 3 \ 1 & 2 & 3 end = $$

$$ = 2 cdot 7 cdot 3 + 3 cdot 3 cdot 1 + 3 cdot 2 cdot 10 — 10 cdot 7 cdot 1 — 3 cdot 2 cdot 2 — 3 cdot 3 cdot 3 = $$

$$ = 42 + 9 + 60 — 70 — 12 — 27 = 2 $$

Теперь вычислим коэффициенты $ alpha, eta, gamma $:

Зная постоянные $ alpha, eta, gamma $, запишем разложение вектора $ overline $ по векторам $ overline

, overline, overline $:

$$ overline = 3overline

— 2overline + 2overline $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Идёт приём заявок

Подать заявку

Для учеников 1-11 классов и дошкольников

Практическая работа №1

Тема: «Разложение вектора по трем некомпланарным векторам»

Цель : уметь применять основные определения и теоремы по теме «Разложение вектора по трем некомпланарным векторам» при обосновании этапов решения задач; уметь выполнять чертежи по условию задачи, понимать чертежи, находить на чертежах векторы, уметь раскладывать вектор по данным векторам, используя правило параллелепипеда, параллелограмма, треугольника, знать определение коллинеарных и компланарных векторов.

Оборудование: тетрадь для практических работ, ручка, простой карандаш, линейка, методические рекомендации по выполнению работы.

Методические рекомендации по выполнению практической работы:

Задание №1 . Дан куб с ребром m. Точка К – середина ребра . Разложить вектор по векторам .

Решение: построим заданный куб (рис. 1).

Векторами и задается плоскость квадрата . Третий вектор не лежит в этой плоскости, отсюда заключаем, что три заданных вектора , и некомпланарны, и мы можем выразить через них искомый вектор . Найдем вектор по правилу многоугольника. . Вектор мы по условию обозначили как вектор . Вектор согласно свойствам куба равен вектору , обозначенному за вектор .

Вектор составляет половину вектора , так как точка К – середина ребра по условию: . Вектор согласно свойствам куба, равен вектору , обозначенному как вектор . Имеем:

Так, заданный вектор выражен через три некомпланарных вектора. Осталось найти его длину.

Задание №2. Задан треугольник АВС. Точка М – точка пересечения медиан. Точка О – произвольная точка пространства. Разложить вектор по векторам , и . (рис. 1)

Согласно правилу треугольника .

Продлим отрезок АМ до пересечения со стороной ВС треугольника (рисунок 3), получим точку – середину этой стороны (точка М по условию точка пересечения медиан треугольника). Кроме того, вспомним свойство медиан треугольника: медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая рассекает их в отношении 2:1, считая от вершины. Так, имеем:

Рис. 3. Дополнительное построение к задаче 2

Снова применим правило треугольника:

Задания для самостоятельной работы:

Задание №1. Дан – параллелепипед. Точки К и Т – середины ребер ВС и соответственно. Разложите векторы: а) ; б) в) ;
д) ; е); ж)

Задание №2. Дан АВС D – тетраэдр. Точка М – точка пересечения медиан треугольника АВС, причем =, =, =. Разложите векторы:

Задание №1. Дан – параллелепипед. Причем АК:КВ=3:2, =1:4. Разложите векторы: а) б) в) ; г) ; д) ; е) ; ж)

Задание №2. Дан АВС D – тетраэдр. Точка Т – середина ребра CB , H — точка пересечения медиан треугольника АВС. Разложите векторы:

Контрольные вопросы (ответьте письменно) :

Дайте определение вектора.

Дайте определение нулевого вектора.

Дайте определение длины вектора.

Дайте определение коллинеарных векторов.

Сформулируйте правило треугольника для сложения векторов.

Сформулируйте правило параллелограмма для сложения векторов.

Дайте определение разности векторов.

Дайте определение умножении я вектора на число.

Дайте определение компланарных векторов.

Сформулируйте признак компланарности трех векторов.

Сформулируйте правило параллелепипеда.

Сформулируйте теорему о разложении вектора по трем некомпланарным векторам.

Пример
Разложить вектор $ overline = (10,3,3) $ по векторам $ overline

= (2,3,1) $, $ overline = (3,7,2) $, $ overline = (5,4,2) $

Решение