Задачи с простыми числами

Решение задач из задачника Виленкин, Жохов, Чесноков, Шварцбурд за 6 класс по математике на тему:

Глава I. Обыкновенные дроби.
§ 1. Делимость чисел:
4. Простые и составные числа

93 Сколько делителей имеет каждое из чисел 31, 25, 100?
РЕШЕНИЕ

94 С помощью таблицы простых чисел, помещенной на форзаце учебника, определите, какие из чисел 101, 121, 253, 409, 561,563, 863, 997 являются простыми; составными.
РЕШЕНИЕ

95 Докажите, что числа 2968, 3600, 888 888, 676 767 являются составными.
РЕШЕНИЕ

96 Может ли произведение двух простых чисел быть простым числом; составным
РЕШЕНИЕ

97 Может ли площадь квадрата выражаться простым числом, если длина его стороны выражается натуральным числом?
РЕШЕНИЕ

98 Известно, что число m делится на 9. Простым или составным является m?
РЕШЕНИЕ

99 Разложите на два множителя числа: 38; 77; 145; 159.
РЕШЕНИЕ

100 Сколькими способами можно разложить на два множителя числа 18; 42; 55?
РЕШЕНИЕ

101 Верно ли, что все четные числа являются составными?
РЕШЕНИЕ

102 Может ли выражаться простым числом объем куба, длина ребра которого выражается натуральным числом?
РЕШЕНИЕ

103 Вычислите устно 0,014-1,1+0,09; 8,1 + 2,99 + 1,01; 1,88+3,7+0,12; 2,8 + 1,85 + 2,15; 1,07 + 0,88+1,93;
РЕШЕНИЕ

104 Найдите пропущенные числа, если a = 33; 42; 75
РЕШЕНИЕ

105 Выразите в процентах числа: 0,01; 0,29; 0,8; 1.
РЕШЕНИЕ

106 Выразите в виде десятичных дробей 2%, 5%, 10%, 20%, 50%, 68%, 100%, 130%.
РЕШЕНИЕ

107 Длина и ширина прямоугольного параллелепипеда выражаются натуральным числом сантиметров, а высота равна 15 см. Можно ли утверждать, что объем этого параллелепипеда выражается числом кратным 2; 3; 5?
РЕШЕНИЕ

108 Сколько нечетных четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4?
РЕШЕНИЕ

109 Какую цифру нужно приписать к числу 10 слева и справа, чтобы получилось четырехзначное число, делящееся: а) на 9; б) на 3; в) на 6?
РЕШЕНИЕ

110 Выпишите из чисел 215 783, 3 289 775. те, которые кратны 3; 9; делятся без остатка на 3 и 5; кратны 9 и 2.
РЕШЕНИЕ

111 Верно ли, что если число оканчивается цифрой 6, то оно делится на 6? А если число делится на 6, то его запись оканчивается на 6?
РЕШЕНИЕ

112 Какие цифры можно поставить вместо звездочки, чтобы число делилось без остатка на 3 и 5: 241*; 1734*; 43*5?
РЕШЕНИЕ

113 Стакан вмещает 210 г крупы. Крупой наполнили 5/7 стакана. Сколько граммов крупы насыпали в него?
РЕШЕНИЕ

114 Дочь пообещала: Я схожу в булочную и вымою посуду . Можно ли обещание считать выполненным, если дочь вымыла посуду, но не сходила в булочную; сходила и не вымыла; и вымыла, и сходила; не вымыла посуду и не была в булочной? В чем сходство этой задачи с задачей нахождения решений неравенства 2 < x < 6 среди чисел 1; 3; 5; 7.
РЕШЕНИЕ

115 Докажите, что числа 575, 10 053, 3627, 565 656 являются составными.
РЕШЕНИЕ

116 С помощью таблицы простых чисел, помещенной на форзаце учебника, выберете из чисел 122, 132, 153. простые числа.
РЕШЕНИЕ

117 Запишите все делители числа 90. Выпишите из них простые числа.
РЕШЕНИЕ

118 Разложите на два множителя всеми возможными способами числа 30, 33, 42, 99.
РЕШЕНИЕ

119 Периметр прямоугольника 66 дм. Длина его одной стороны составляет 3/11 периметра. Найдите площадь прямоугольника.
РЕШЕНИЕ

120 Найдите значение выражения (15,964:5,2 1,2) · 0,1.
РЕШЕНИЕ

Задачи с решениями. Простые числа. Предлагается 15 задач с подробными решениями.

Просмотр содержимого документа
«Задачи с решениями. Простые числа»

Задачи с решениями. Простые числа

Известно, что p 3 и p — простое число, т.е. оно делится только на единицу и на себя само. Будет ли хотя бы одно из чисел (p + 1) и (p — 1) делиться на 4? А на 5?

Решение:

На 5 ни одно из чисел может не делиться (например, при p = 13). Что же касается 4, то здесь дело другое. Рассмотрим числа p — 1, p, p + 1, p + 2. Из четырех последовательных чисел одно обязательно делится на 4, но это не p (оно простое) и не p + 2 (оно нечётное). Значит, одно из чисел p + 1 или p — 1 будет делиться на 4.

2.Докажите, что любое простое число, большее трех, можно записать в одном из двух видов: 6n + 1 либо 6n — 1, где n — натуральное число.

Решение:

Простое число, большее 3, при делении на 6 не может давать остатки 0, 2, 3, 4 — в любом из этих случаев оно будет составным. Возможны только остатки 1 и 5. Следовательно, простое число можно записать как 6n + 1 или 6n + 5, но 6n + 5 = 6(n + 1) — 1.

3.Может ли сумма двух простых чисел быть простым числом?

Решение: Да, может, но при условии, что одно из этих чисел будет равно 2, иначе мы получим сумму двух нечётных чисел, которая в результате будет чётным числом, следовательно, делится на 2 и не является простым.

4.Может ли сумма двух последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Решение: 2+3=5, 3+4=7, 5+6=11, 6+7=13, 8+9=17; 5, 7, 11, 13, 17 – простые числа;

Попробуем показать это в общем виде:

Пусть n и n+1 два последовательных натуральных числа, значит одно из них чётное и делится на 2. Тогда их сумма будет равна n+n+1 = 2n+1.

Если n2 и n – чётное, то после сокращения n на 2 получится число, большее одного. Тогда данная сумма будет равна произведению двух чисел, больших 1 и меньших её самой (одно из них – это (n+1), другое то, что получилось после сокращения n на 2). Значит, эта сумма не может быть простым числом, так как имеет делители, отличные от 1 и самой себя.

Аналогично рассматривается случай, когда n2 и n – нечётное. (В этом случае, (n+1) – чётное и большее 2.)

Остались два возможных случая: n=1 и n=2. Если n=1, то сумма будет равна 2n+1 = 2?1+1 = 3 – простое число. Если n=2, то 2n+1= 2?2+1=5 – тоже простое число.

Ответ. На основании этого можно сказать, что сумма двух последовательных натуральных чисел может оказаться простым числом

5.Может ли сумма трёх последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Решение: Проведём рассуждения в общем виде:

Пусть n, n+1и n+2 – три последовательных натуральных числа, тогда их сумма равна n+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3(n+1), т.е. всегда делится на 3, следовательно, составное число.

Ответ. Нет, не может, т.к. полученная сумма является составным числом.

6.Может ли сумма четырех последовательных натуральных чисел быть простым числом?

Решение: Пусть n, n+1и n+2 и n+3 – четыре последовательных натуральных числа, тогда их сумма равна n+(n+1)+(n+2)+( n+3) = 4n+6 = 2(2n+3), т.е. всегда делится на 2, следовательно, составное число.

Ответ. Нет, не может, т.к. полученная сумма является составным числом.

7.Может ли любое натуральное число быть представлено в виде произведения простых чисел?

Решение: Разложим число n, где n – составное число и 16≤ n

16=2?2?2?2=2 4 , 18=2?3?3=2?3 2 , 20=2?2?5=2 2 ?5, 22=2?11, 24=2 3 ?3, 25=5 2 , 26=2?13, 27=3³, 28=2²?7, 30 = 2?3?5.

Вывод: Из данного разложения замечаем, что любое указанное n может быть представлено в виде произведения, не более трёх простых множителей.

Возникает вопрос: любое ли натуральное число представимо в виде произведения простых множителей?

Ответ на поставленный вопрос даёт основная теорема арифметики:

Всякое натуральное число n1 либо просто, либо может быть представлено, и притом единственным образом, в виде произведения простых множителей.

8.Может ли площадь квадрата, длина стороны которого выражена натуральным числом, быть простым числом?

Решение: Пусть а – длина стороны квадрата, тогда его площадь равна а 2 . Отсюда следует, что площадь квадрата составное число, т.к. имеет своим делителем ещё и а. Например, если сторона квадрата равна 13, то его площадь равна 169, и 169 имеет делителями 1, 13, 169.

Ответ. Нет, не может.

9.Клиент банка забыл четырёхзначный шифр своего сейфа и помнил лишь, что этот шифр – простое число, а произведение его цифр равно 243. За какое наименьшее число попыток он наверняка сможет открыть свой сейф.

Решение: Пусть abcd – искомое число. Разложим число 243 на простые множители: 243 = 3?3?3?3?3. Тогда возможны несколько случаев:

243 = 3?3?3?9, но тогда число, составленное из этих цифр будет делиться на 3 (по признаку делимости, сумма цифр равна 18, а 18 делится на 3), значит оно составное;

Из четырех цифр 1,3,9,9 можно составить следующие комбинации: 1399, 1993, 1939, 3991, 3199, 3919, 9139, 9193, 9319, 9391, 9913, 9931. По условию задачи числа должны оказаться простыми. Пользуясь таблице простых чисел, оставляем только простые числа: 1993, 1399, 3919, 9931, 9319, 9391. Остаётся 6 простых чисел, это и есть число попыток, за которое клиент банка сможет открыть сейф.

Ответ. За 6 попыток.

10..Вася умножил некоторое число на 10 и получил простое число. А Петя умножил то же самое число на 15, но всё равно получил простое число. Может ли быть так, что никто из них не ошибся?

Решение: 0,2· 10 = 2 и 0,2·15 = 3 – простые числа.

11.Четверо ребят обсуждали ответ к задаче. Коля сказал: "Это число 9". Роман: "Это простое число". Катя: "Это четное число". А Наташа сказала, что это число делится на 15. Один мальчик и одна девочка ответили верно, а двое остальных ошиблись. Какой ответ в задаче на самом деле?

Решение

Если Коля ответил верно, то обе девочки ошиблись, так как число 9 нечётное и не делится на 15. Значит, верный ответ дал Роман. Но простое число не делится на 15, а единственное чётное простое число – это 2.

12. Докажите, что для произвольного натурального числа n найдётся натуральное m такое, что nm + 1 – составное число.

Решение: Можно выбрать m = n + 2, тогда

nm + 1 = n(n + 2) + 1 = n 2 + 2n + 1 = (n + 1) 2

является составным числом.

Или , например, определить m так: если n = 1, то m = 3, в противном случае m = n 2 .

13. Найдите все целые числа n, для которых модуль значения трёхчлена n 2 – 7n + 10 будет простым числом.

Решение: Так как |n 2 – 7n + 10| = |n –2| · |n – 5|,

то следует искать такие n при которых один из множителей последнего произведения равен 1, а второй является простым числом.

Этому требованию удовлетворяют n = 3 и n = 4.

Ответ: n = 3, n = 4.

14.Доказать, что каждое простое число вида 4k + 1 является длиной гипотенузы прямоугольного треугольника, стороны которого выражаются натуральными числами.

Решение: Согласно известной теореме Ферма каждое простое число вида 4k + 1 есть сумма двух квадратов натуральных чисел. Поэтому для такого р верно, что р = а 2 + b 2 , где а и b – некоторые натуральные числа и притом различные (так как р – нечетное), например, а b. Отсюда р 2 = (а 2 – b 2 ) 2 + (2ab) 2 , то есть р является гипотенузой прямоугольного треугольника, катетами которого являются натуральные числа а 2 – b 2 и 2ab.

5 2 = 3 2 + 4 2 , 13 2 = 5 2 + 12 2 , 17 2 = 15 2 + 8 2 , 29 2 = 21 2 + 20 2 .

Замечание. Другие примеры подобных троек можно найти в таблице пифагоровых чисел с наибольшим числом не превосходящим 110 и в таблице примитивных пифагоровых чисел со средними числами, не превосходящими 256.

15.Сколькими способами можно раскрасить круг, разбитый на р равных секторов с помощью n красок, если р – простое число и каждый сектор раскрашиваем одной краской? Две раскраски, совпадающие при повороте круга, считаем одинаковыми.

Решение: Каждый сектор можно раскрасить в любой из n цветов, поэтому для круга с р секторами получим n p раскрасок, среди которых (n p – n) не одноцветных. Каждая из этих раскрасок поворотами переходит в (р – 1) одинаковую с ней, значит, существенно различных не одноцветных раскрасок будет (n p – n)/p, откуда общее число раскрасок равно n + (n p – n)/p.

Представлен ряд задач, связанных с простыми числами — натуральными (целыми положительными) числами, большими 1, не имеющими других делителей, кроме самих себя и единицы.

Рассмотрим сначала такую задачу:

Метод решения этой задачи очевиден. Если n — четное, то оно не простое (составное), иначе следует проверить, являются ли делителем n числа 3, 5, 7. n/3 (проверять до n-1 и даже до n/2 нет необходимости), и если хотя бы для одного числа ответ будет положительным, то число n — составное. Заметим при этом, что число 2 — простое.

Программа на школьном алгоритмическом языке имеет вид:

Можно ускорить вычисления и проверять делимость n на еще меньшее количество чисел — до квадратного корня из n. Если среди проверенных чисел нет делителей числа n, то их нет и среди остальных нечетных чисел. Можно также прекратить вычисления после того, как только встре-тился делитель числа n. С учетом этого приведенная выше программа мо-жет быть модифицирована путем замены имеющегося в ней цикла на следую-щий:

а функция, проверяющая, является ли число n простым, и возвращаю-щая результат логического типа, имеет вид:

Основная часть программы:

Задача 2. Даны натуральные числа a,b (a =3.

Если величина k=0, то это значит, что в указанном интервале простых чисел нет.

Приведем сначала программу с вложенными циклами.

Читаемость приведенной программы значительно улучшается, если про-верку числа n на "простоту" проводить с помощью функции (процедуры), возвращающей результат логического типа. Эта функция отличается от описанной в Задаче 1, тем, что в ней иссле-дуются только нечетные числа.

Школьный алгоритмический язык:

Примечание. Во всех представленных программах случаи a=1,b=1 и a=1,b=2 не рассматривались.

Задача 3. Найти 100 первых простых чисел.

Как и в задаче 2, приведем сначала программы с вложенными циклами. Основные величины, используемые в программах:

• n — число, проверяемое на "простоту";
• simp — величина, назначение которой описано при разборе задачи 2;
• k — количество найденных простых чисел.

Школьный алгоритмический язык:

Программа, использующая функцию:

Имеется еще один метод решения рассматриваемой задачи. Он заключается в том, что все найденные простые числа хранятся в некотором массиве, а делимость очередного кандидата проверяется только на числа из этого массива. При этом уменьшается количество возможных делителей, что приводит к ускорению работы программы. Причем и эту проверку можно ускорить, если проверять делимость очередного числа n только на те элементы массива, значение которых не больше квадратного корня из n. Данный метод особенно эффективен в тех случаях, когда необходимо найти большое количество простых чисел.

Приведем программы, в которых применяется этот метод.

Назначение величин k, n и simp в программах аналогично описанному выше. Дополнительно используемые величины:

• find — массив найденных простых чисел (из 100 элементов);
• limit — величина, равная квадратному корню из n.

Школьный алгоритмический язык:

Задача 4. Дано четное число n>2; проверить для этого числа гипотезу Гольдбаха. Эта гипотеза (по сегодняшний день не опровергнутая и пол-ностью не доказанная) заключается в том, что каждое четное n, большее двух, представляется в виде суммы двух простых чисел. Определить про-цедуру, позволяющую распознавать простые числа).

Для проверки гипотезы следует определить, имеются ли среди пар чисел 2 и n-2, 3 и n-3. n-2 и 2 такие, что числа, их составляющие, — простые.

Приведем сначала программу на школьном алгоритмическом языке. Ве-личины, используемые в ней:

• n — число, применительно к которому проверяется гипотеза;
• item1 — первое число в перечисленных парах чисел;
• k — число пар с простыми составляющими (очевидно, что это число может быть больше 1, например, для n=10: 3 и 7, 5 и 5, 7 и 3).

В программе используется функция Simple, "распознающая" простые числа, описанная в Задаче 1.

Существенного сокращения числа вычислений можно достичь, если учитывать, что:

• для n>4 возможные значения п р о с т ы х составляющих пар — нечетные числа, т.к. единственным простым четным числом является 2;
• можно рассматривать значения item1 только до n/2 (если в этом интервале нет пар чисел с простыми item1 и n-item1, то их нет и среди остальных значений item1).
• можно прекратить вычисления как только будет найдена первая пара простых чисел.

В программах использована величина hypot логического типа, от ко-торой зависит ответ на вопрос о справедливости гипотезы Гольдбаха. В случае положительного ответа на экран выводится также первая найденная пара простых слагаемых item1 и n-item1.

Школьный алгоритмическй язык:

Задача 5. Дано натуральное число n. Выяснить, имеются ли среди n, n+1, . 2n близнецы, т.е. простые числа, разность между которыми равна двум. (Определить процедуру, позволяющую распознавать простые числа).

Величины, используемые в программах (кроме величины n): m — число, проверяемое на "простоту";

• first — начальное значение этого числа;
• k — число пар "близнецов", найденных в рассматриваемом интервале.

Основные этапы решения задачи:

• Ввод значения n.
• Определение значения first (см. задачу 1).
• Поиск чисел-близнецов среди нечетных чисел m от first до 2n и вывод их на экран (с подсчетом количества).

Школьный алгоритмический язык:

Примечание. В условии задачи требовалось только ответить на вопрос, имеются ли близнецы в указанном диапазоне чисел. При необходи-мости строгого соблюдения условий задачи можно не выводить найденные значения близнецов на экран, а выводить только ответ на вопрос в за-висимости от значения k. При этом можно также прекратить поиск после нахождения первой пары чисел-близнецов.

Нетрудно заметить, что в представленных программах значение функции (или величины) Simple для каждого значения m определяется дважды, что нерационально. Этот недостаток можно устранить, если использовать величину was_simple логического, определяющую, являлось ли простым число, пред-шествовавшее расcматриваемому числу m. Естественно, что в этом случае следует проверять значения m до 2n, а не до 2n-2, как это делалось ра-нее.