Значение экспоненты е равно

Экспонента (экспоненциальная функция) — это математическая функция вида y = e×, или у = exp(x), или у = Exp(x) (где основанием степени является число е).

е — это число Эйлера, у него бесконечное количество цифр после запятой, оно трансцендентное и иррациональное. Оно равно округлённо 2,72 (а полностью — 2,718281828459045. ).

Трансцендентным число называется, если оно не удовлетворяет ни одному алгебраическому уравнению. Иррациональным — если его нельзя представить в виде дроби m/n, где n не равно 0.

Несмотря на свою бесконечность, число е является константой. То есть значением, которое никогда не изменяется.

Показательная функция — это математическая функция вида y = a×.

График экспоненты выглядит следующим образом:

Для чего используется экспонента?

Экспонента применяется и в физике, и в технике, и в экономике, особенно при решении задач, связанных с процентами.

Экспоненциальный рост

Мы используем термин экспоненциальный рост, чтобы сказать о стремительном росте чего-либо. Словосочетание чаще всего употребляется по отношению к росту популяции людей или животных/птиц.

Что такое второй замечательный предел

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1655–1705 гг.) вывел число е, когда пытался решить финансовый вопрос. В частности, он пытался понять, как должны начисляться проценты на сумму вклада в банке, чтобы это было наиболее прибыльно для владельца денег.

Он также пытался понять, есть ли лимит у дохода, получаемого в процентах, или он будет увеличиваться бесконечно.

Решая эту задачу, он использовал предел последовательности, а именно второй замечательный предел. Формулу для вычисления числа е можно записать следующим образом (где n — это число, стремящееся к бесконечности):

То есть числу е равняется предел, где n стремится к бесконечности, от 1, плюс 1, разделённый на n, и всё возвести в степень n.

Если подставить в данную формулу вместо n какую-нибудь очень большую цифру, можно получить очень хорошее приближение к е.
Например, подставим 1.000.000 и посчитаем на калькуляторе:

(1 + 1/1000000) ^ 1000000 = 2.7182804691

Как видите, с n = 1.000.000 мы получили достаточно хорошее приближение, с правильными 5 знаками после запятой.

Как определить число е?

Помимо второго замечательного предела, существуют и другие способы для определения числа е:

• через сумму ряда;
• через формулу Муавра — Стирлинга;
• другие.

Сумма ряда

Существует мнение, что этот метод использовал сам Эйлер, когда высчитывал е.

Можно получить приближение е, рассчитав первые 7 частей этой суммы:

И эти вычисления дали нам следующий результат:

Этот метод дал нам точных 4 знака после запятой, и его достаточно легко запомнить.

Формула Муавра — Стирлинга

Также называется просто формула Стирлинга:

И в этом случае чем больше n, тем точнее будет результат.

Как запомнить число е

Можно легко запомнить 9 знаков после запятой, если заметить удивительную закономерность: после "2,7" число "1828" появляется дважды (2,7 1828 1828). В 1828 году родились Лев Толстой и Жюль Верн, а Франц Шуберт умер.

Хотите дальше? Можно и дальше! 15 знаков после запятой! Последующие цифры — это градусы углов в равнобедренном прямоугольном треугольнике ( 45°, 90°, 45°): 2,7 1828 1828 45 90 45.

Интересные факты

Экспоненциальную функцию также называют экспонента.

Показательная функция — это функция вида y=a×, где a — заданное число (основание), x — это переменная.

А если основание = е, с переменной x, то математически логарифм записывается как ln, а не как log. И его называют натуральный логарифм (логарифм с основанием е):

Логарифмическая функция, что обратная к показательной функции y = a×, a > 0, a≠1, пишется как .

Производная и первообразная экспоненциальной функции равны ей самой, т. е. (e×)’ = e×, но (a×)’ = (a×)*ln(a).

Якобу Бернулли в расчётах помогал его брат Иоганн. Один из кратеров на Луне носит их имя.

Число Непера и число Эйлера

Число Непера или Неперово число, число Эйлера — это названия для одного и того же числа е.

Шотландский математик Джон Непер придумал логарифмы. Так как число е является основанием натурального логарифма (ln x), то этому числу присвоили имя математика из Шотландии. Хотя Непер и не вычислял его.

Сам символ e был придуман в 1731 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером. Эйлер занимался вычислениями алгоритмов и вывел его основание. А точнее основание натурального логарифма, которым и является число е.

Изобретение логарифмов в XVII веке (1614 год) шотландским математиком Джоном Непером стало одним из важнейших событий в истории математики.

Узнайте также, что такое Число Пи и Логарифм.

Определение

Экспоненту обозначают так , или .

Число e

Основанием степени экспоненты является число e . Это иррациональное число. Оно примерно равно
е ≈ 2,718281828459045.

Число e определяется через предел последовательности. Это, так называемый, второй замечательный предел:
.

Также число e можно представить в виде ряда:
.

График экспоненты

На графике представлена экспонента, е в степени х.
y ( x ) = е х
На графике видно, что экспонента монотонно возрастает.

Формулы

Основные формулы такие же, как и для показательной функции с основанием степени е .

Выражение показательной функции с произвольным основанием степени a через экспоненту:
.

Частные значения

Пусть y ( x ) = e x . Тогда
.

Свойства экспоненты

Экспонента обладает свойствами показательной функции с основанием степени е > 1 .

Область определения, множество значений

Экспонента y ( x ) = e x определена для всех x .
Ее область определения:
– ∞ .
Ее множество значений:
0 .

Экстремумы, возрастание, убывание

Экспонента является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные ее свойства представлены в таблице.

Обратная функция

Производная экспоненты

Производная е в степени х равна е в степени х:
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Комплексные числа

Действия с комплексными числами осуществляются при помощи формулы Эйлера:
,
где есть мнимая единица:
.

Выражения через гиперболические функции

Выражения через тригонометрические функции

Разложение в степенной ряд

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 25-02-2014 Изменено: 09-06-2018

Экспоненциальная функция может быть определена различными эквивалентными способами. Например, через ряд Тейлора:

или через предел:

Свойства

• , в частности

• Экспонента является единственным решением дифференциального уравнения с начальными данными . Кроме того через экспоненту выражаются общие решения однородных дифференциальных уравнений.

Обратная функция к ней — натуральный логарифм.

Основное функциональное свойство экспоненты, как и всякой показательной функции: .

Непрерывная функция с таким свойством либо тождественно равна 0, либо имеет вид , где c — некоторая константа.

• где sinh и cosh — гиперболические синус и косинус.

Комплексная экспонента

Комплексная экспонента — математическая функция, задаваемая соотношением , где есть комплексное число. Комплексная экспонента определяется как аналитическое продолжение экспоненты вещественного переменного :

Определим формальное выражение

.

Определенное таким образом выражение на вещественной оси будет совпадать с классической вещественной экспонентой. Для полной корректности построения необходимо доказать аналитичность функции , то есть показать, что разлагается в некоторый сходящийся к данной функции ряд. Покажем это:

Сходимость данного ряда легко доказывается:

.

Ряд всюду сходится абсолютно, то есть вообще всюду сходится, таким образом, сумма этого ряда в каждой конкретной точке будет определять значение аналитической функции . Согласно теореме единственности, полученное продолжение будет единственно, следовательно, на комплексной плоскости функция всюду определена и аналитична.

Свойства

• Комплексная экспонента — целаяголоморфная функция на всей комплексной плоскости. Ни в одной точке она не обращается в нуль.
• — периодическая функция с основным периодом 2πi: . В силу периодичности комплексная экспонента бесконечнолистна. В качестве её области однолистности можно выбрать любую горизонтальную полосу высотой .
• Алгебраически, экспонента от комплексного аргумента может быть определена следующим образом: (формула Эйлера)

• В частности, имеет место (тождество Эйлера),

Вариации и обобщения

Аналогично экспонента определяется для элемента произвольной ассоциативной алгебры. В конкретном случае требуется также доказательство того, что указанные пределы существуют.

Матричная экспонента

Экспоненту от квадратной матрицы (или линейного оператора) можно формально определить, подставив матрицу в соответствующий ряд:

Определённый таким образом ряд сходится для любого оператора с ограниченной нормой, поскольку мажорируется рядом для экспоненты нормы Следовательно, экспонента от матрицы всегда определена и сама является матрицей.

С помощью матричной экспоненты легко задать вид решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: уравнение с начальным условием имеет своим решением

Обратная функция

Обратной функцией к экспоненциальной функции является натуральный логарифм. Обозначается :

См. также

Литература

• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Издание 5-е, исправленное. — М.: Наука, 1987. — 688 с.
• Хапланов М. Г. Теория функции комплексного переменного (краткий курс). — Издание 2-е, исправленное. — М.: Просвещение, 1965. — 209 с.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Экспонента" в других словарях:

ЭКСПОНЕНТА — (от лат. exponens показывающий) то же, что показательная кривая или (экспоненциальная) показательная функция … Большой Энциклопедический словарь

ЭКСПОНЕНТА — ЭКСПОНЕНТА, число, обозначающее степень, которое пишется в виде верхнего индекса справа от цифры или символа. Например, в выражении а4=(а3а3а3а) экспонентой является 4. Операции с экспонентами подчиняются некоторым законам. Например, З23З5=3(2+5) … Научно-технический энциклопедический словарь

экспонента — сущ., кол во синонимов: 1 • кривая (56) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

Экспонента — [exponent] показательная функция с основанием, равным иррациональному числу e, т.е. ex. Если показатель Э., еp(x) содержит сложные выражения, используется запись вида ep(x) = exp . Скорость изменения этой функции в точности равна ей самой … Экономико-математический словарь

экспонента — Показательная функция с основанием, равным иррациональному числу e, т.е. ex. Если показатель Э., еp(x) содержит сложные выражения, используется запись вида ep(x) = exp . Скорость изменения этой функции в точности равна ей самой . Число e… … Справочник технического переводчика

ЭКСПОНЕНТА — (экспоненциальная функция) то же, что показательная функция с основанием, равным числу (см.), задаваемая формулой у = е1. Иногда обозначается ехр дг. Экспоненциальная кривая на плоскости является графиком экспоненты, которая встречается в… … Большая политехническая энциклопедия

экспонента — (от лат. exponens показывающий), то же, что показательная кривая или (экспоненциальная) показательная функция. * * * ЭКСПОНЕНТА ЭКСПОНЕНТА (от лат. exponens показывающий), то же, что показательная кривая (см. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ КРИВАЯ) или… … Энциклопедический словарь

экспонента — см. зкспоненциальная функция. Новый словарь иностранных слов. by EdwART, , 2009. экспонента ы, ж. ( … Словарь иностранных слов русского языка

экспонента — eksponentė statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. exponent vok. Exponente, f rus. экспонента, f pranc. exponentielle, f … Automatikos terminų žodynas

экспонента — eksponentė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. exponent vok. Exponente, f rus. экспонента, f pranc. exponentielle, f … Fizikos terminų žodynas