Дан прямой круговой конус с вершиной м

Код для использования на сайте:

Скопируйте этот код и вставьте себе на сайт

Для скачивания поделитесь материалом в соцсетях

После того как вы поделитесь материалом внизу появится ссылка для скачивания.

Подписи к слайдам:

Подготовка к ЕГЭ.

Учитель: Шарова Светлана Геннадьевна,

МБОУ «Гимназия», г. Урюпинск, Волгоградская область

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса . Круг – основанием конуса. Точка Р – вершиной конуса. Образующие конической поверхности – образующими конуса. ОР – высота конуса

РАВ — осевое сечение

Сечение плоскостью перпендикулярной к его оси

Задача №1. Радиус основания конуса с вершиной S и центром основания О равен 5, а его высота равна . Точка М – середина образующей SA конуса, а точки N и B лежат на основании конуса, причем прямая MN параллельна образующей конуса SB.

Докажите, что угол ANO – прямой.
Найдите угол между прямой BM и плоскостью основания конуса, если АВ=8.

a) М- середина SA, MN SB, N- середина АВ

b) Пусть Н- середина АO

Задача №2. Точки А, В и С лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем А и С диаметрально противоположны. Точка М – середина ВС.

a) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью АВС такой же угол, как и прямая АВ с плоскостью SBC.

b) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если АВ=6, ВС=8, AS=

Задача №3. На окружности основания конуса с вершиной S отмечены точки А, В и С так, что АВ=ВС. Медиана АМ треугольника ACS пересекает высоту конуса.

Точка N- середина отрезка AC. Докажите, что угол MNB прямой.
Найдите угол между прямыми AM и SB, если AS=2, AC=

a) Так как медиана АМ треугольника ACS пересекает высоту конуса, то плоскость ACS содержит высоту конуса. Значит, АС – диаметр основания конуса и SN – его высота.

Пусть К – середина ВС, тогда искомый угол будет равен углу АМК

Задача №4. Дан прямой круговой конус с вершиной М. Осевое сечение конуса – треугольник с углом при вершине М. Образующая конуса равна . Через точку М проведено сечение конуса, перпендикулярное одной из образующих.

Докажите, что полученный в сечении треугольник тупоугольный.
Найдите площадь сечения.

a) Пусть треугольник МАВ – искомое сечение, перпендикулярное образующей МК, и пусть Т- точка его пересечения с диаметром, проходящим через точку К.

Тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами с границами L и L1, называется цилиндром

Сечение цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси

Задача №1. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания – точка С1, причем СС1- образующая цилиндра, а АС- диаметр основания . Известно, что

a) Докажите, что угол между прямыми ВС и АС1 равен

b)Найдите расстояние от точки В до АС1.

a) Пусть ВВ1- образующая цилиндра, тогда ВВ1С1С — прямоугольник

Задача №2. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания – точки В1 и С1, причем ВВ1- образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

Докажите, что угол АВС1 прямой.
Найдите угол между прямыми ВВ1 и АС1, если АВ=6, ВВ1=15, В1С1=8.

a)Рассмотрим пл., проходящую через ось цилиндра и АС1. Обозначим точку пересечения этой пл. и окружности основания, содержащую точку А, через точку С. Тогда СС1- образующая, АС- диаметр.

Задача №3. Диаметр окружности основания цилиндра равен 26, образующая цилиндра равна 21. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 24 и 10. Расстояние между этими хордами равно

Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по разные стороны от этой плоскости.
Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Задача № 4. В одном основании прямого кругового цилиндра с высотой 12 и радиусом основания 6 проведена хорда АВ, равная радиусу основания, а в другом его основании проведён диаметр CD, перпендикулярный АВ. Построено сечение ABMN, проходящее через прямую АВ перпендикулярно прямой CD так, что точка С и центр основания цилиндра, в котором проведен диаметр CD, лежат с одной стороны от сечения.

Докажите, что диагонали этого сечения равны между собой.
Найдите объем пирамиды CABNM

Задачи для самостоятельного решения.

1. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А и В, а на окружности другого основания – точки В1 и С1, причем ВВ1- образующая цилиндра, а отрезок АС1 пересекает ось цилиндра.

Докажите, что угол АВС1 прямой.
Найдите площадь боковой поверхности, если АВ=16, ВВ1=5, В1С1=12.

2. В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки А, В и С, а на окружности другого основания – точка С1, причем СС1- образующая цилиндра, а АС- диаметр основания . Известно, что

a) Докажите, что угол между прямыми ВС и АС1 равен

b)Найдите объем цилиндра.

3. В конусе с вершиной S и центром основания О радиус основания равен 13, а высота равна . Точки А и В – концы образующих, М – середина SA, N- точка в плоскости основания такая, что прямая MN параллельна прямой SB.

Докажите, что ANO – прямой угол.
Найдите угол между MB и плоскостью основания, если АВ=10.

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Алексеевская средняя общеобразовательная школа

Тема: ПРЯМОЙ КРУГОВОЙ КОНУС.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА ПЛОСКОСТЯМИ

Тема: ПРЯМОЙ КРУГОВОЙ КОНУС.

СЕЧЕНИЕ КОНУСА ПЛОСКОСТЯМИ.

Цель урока: разобрать определения конуса и подчинённых понятий (вершина, основание, образующие, высота, ось);

рассмотреть сечения конуса, проходящие через вершину, в том числе осевые;

способствовать развитию пространственного воображения учащихся.

Образовательная: изучить основные понятия тела вращения (конус).

Развивающая: продолжить формирование умений навыков анализа, сравнения; умений выделять главное, формулировать выводы.

Воспитательная: воспитание у учащихся интереса к обучению, привитие навыков коммуникативного общения.

Тип урока: лекция.

Методы обучения: репродуктивный, проблемный, частично – поисковый.

Оборудование: таблица, модели тел вращения, мультимедийное оборудование.

На предыдущих уроках мы уже познакомились с телами вращения и более подробно остановились на понятии цилиндра. На таблице вы видите два чертежа и работая в парах сформулируйте правильно вопросы по пройденной теме.

П. Проверка домашнего задания.

Работу в парах с использованием тематической таблицы (призма, вписанная в цилиндр и призма, описанная около цилиндра).

Например, в парах и индивидуально учащиеся могут задать вопросы:

— Что такое круговой цилиндр (образующая цилиндра, основания цилиндра, боковая поверхность цилиндра)?

— Какая призма называется описанной около цилиндра?

— Какая плоскость называется касательной к цилиндру?

— Какой призмой является призма ABCDEABCDE? (Прямой.)

— Докажите, что она является прямой призмой.

(по желанию 2 пары учащихся у доски выполняют работу)

III. Актуализация опорных знаний.

По материалу планиметрии:

• свойства средней линии треугольника;

По материалу стереометрии:

• угол между прямой и плоскостью.

IV. Изучение нового материала.

(учебно — методический комплект «Живая математика», приложение 1.)

После представленного материала предлагается план работы:

1. Определение конуса.

2. Определение прямого конуса.

3. Элементы конуса.

4. Развертка конуса.

5. Получение конуса как тела вращения.

6. Виды сечений конуса.

Ответы на эти вопросы учащиеся самостоятельно находят в п.184-185, сопровождая их рисунками.

Валеологическая пауза: Устали? Давайте перед следующим практическим этапом работы отдохнём!

· Массаж рефлекторных зон на ушной раковине, отвечающих за работу внутренних органов;

· Массаж рефлекторных зон на ладонях рук;

· Гимнастика для глаз(зажмурить и резко открыть глаза);

· Растяжка позвоночника (поднять руки вверх, подтянуться правой, а затем левой рукой)

· Дыхательная гимнастика, направленная на процесс насыщения кислородом головного мозга (резко вдохнуть носом 5 раз)

Составляется тематическая таблица (совместно с учителем), сопровождая заполнение таблицы вопросами и полученным материалом из различных источников (учебник и компьютерная презентация)

«Конус. Усеченный конус».

1. Конусом (прямым, круговым) называется тело, полученное при вращении прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей катет.

Точка М — вершина конуса, круг с центром О – основание конуса,

треугольник МВС —осевое сечение,

Конус — геометрическое тело в евклидовом пространстве, которое можно получить путем объединения каждого луча, который исходит из одной точки (вершина конуса) и которые проходят через плоскую поверхность.

Бывает, конусом называется часть тела, которая имеет ограниченный объём и которая получена путем объединения каждого отрезка, которые соединяют вершину и точки плоской поверхности. Последняя, в таком случае, является основанием конуса, а конус называется опирающимся на данное основание.

Когда основание конуса является многоугольником – это уже пирамида.

Круговой конус — это тело, состоящее из круга (основание конуса), точки, которая не лежит в плоскости этого круга (вершина конуса и всех отрезков, которые соединяют вершину конуса с точками основания).

Отрезки, которые соединяют вершину конуса и точки окружности основания, называют образующими конуса. Поверхность конуса состоит из основания и боковой поверхности.

Прямой конус – это конус, в котором прямая, которая соединяет вершину конуса и центр основания, перпендикулярна плоскости основания.

Прямой круговой конус – это тело, которое получено вращением прямоугольного треугольника вокруг его катета как оси.

Высота конуса – это перпендикуляр, который опущен из вершины конуса на плоскость основания. Основание высоты в прямом конусе совпадает с центром основания.

Ось прямого кругового конуса – это прямая, которая содержит его высоту.

Сечение конуса плоскостью, который проходит через вершину конуса – это равнобедренный треугольник, боковые стороны этого треугольника являются образующими конуса.

Равнобедренным треугольником оказывается и осевое сечение конуса. Это сечение, проходящее через ось конуса.

Плоскость, которая параллельна основанию конуса и которая пересекает конус, отсекает от него конус меньшего размера. Оставшаяся часть является усеченным конусом.

Пирамида, вписанная в конус, это пирамида, у которой основание является многоугольником, вписанным в окружность основания конуса, а его вершина — это вершина конуса. Боковые ребра пирамиды, которая вписана в конус, становятся образующими конуса.

Касательная плоскость к конусу — это плоскость, которая проходит через образующую конуса и которая перпендикулярна плоскости осевого сечения, содержащей эту образующую.

Пирамида, описанная около конуса это пирамида, у которой основанием является многоугольник, который описан около основания конуса, а вершина совпадает с вершиной конуса. Плоскости боковых граней описанной пирамиды — это касательные плоскости конуса.

Площадь боковой поверхности правильной n-угольной пирамиды, вписанной в конус:

где P_n – периметр основания пирамиды, а l_n — апофема.

При неограниченном увеличении n периметр основания P_n неограниченно приближается к длине С окружности основания конуса, а апофема l_n — к длине l образующей. Значит, боковая поверхность пирамиды неограниченно приближается к ½Cl. Поэтому величину ½ Cl принимают как площадь боковой поверхности конуса.

То есть, площадь боковой поверхности конуса определяют с помощью формулы:

где R — радиус основания конуса, а l — длина образующей.

По тому же принципу: для площади боковой поверхности усеченного конуса с радиусами оснований R₁, R₂ и образующей l получаем такую формулу:

Прямой и косой круговой конусы с равным основанием и высотой. Эти тела обладают одинаковым объёмом:

Свойства конуса.

Когда площадь основания имеет предел, значит, объём конуса тоже имеет предел и равен третьей части произведения высоты на площадь основания.

где S — площадь основания, H — высота.

Т.о., каждый конус, который опирается на это основание и имеющие вершину, которая находится на плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, так как их высоты одинаковые.

Центр тяжести каждого конуса с объёмом, имеющим предел, находится на четверти высоты от основания.
Телесный угол при вершине прямого кругового конуса можно выразить такой формулой:

где α — угол раствора конуса.

Площадь боковой поверхности такого конуса, формула:

а полная площадь поверхности (то есть сумма площадей боковой поверхности и основания), формула:

где R — радиус основания, l — длина образующей.

Для усечённого конуса (не только прямого или кругового) объём, формула:

где S₁ и S₂ — площадь верхнего и нижнего оснований,

h и H — расстояния от плоскости верхнего и нижнего основания до вершины.

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом — это один из конических сечений.