Дано общее уравнение прямой записать параметрическое

В данной статье мы рассмотрим параметрическое уравнение прямой на плоскости. Приведем примеры построения параметрического уравнения прямой, если известны две точки этой прямой или если известна одна точка и направляющий вектор этой прямой. Представим методы преобразования уравнения в параметрическом виде в канонический и общий виды.

Параметрическое уравнение прямой L на плоскости представляется следующей формулой:

(1)

Отметим что при записи уравнения прямой в параметрическом виде, направляющий вектор прямой не должен быть нулевым вектором, т.е хотя бы один координат направляющего вектора q должен быть отличным от нуля.

Для построения прямой на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат, заданной параметрическим уравнением (1), достаточно задать параметру t две разные значения, вычислить x и y и провести через эти точки прямую линию. При t=0 имеем точку M₁(x₁, y₁) при t=1, получим точку M₂(x₁+m, y₁+p).

Для составления параметрического уравнения прямой на плоскости L достаточно иметь точку на прямой L и направляющий вектор прямой или две точки, принадлежащие прямой L. В первом случае, для построения параметрического уравнения прямой нужно координаты точки и направляющего вектора вставить в уравнение (1). Во втором случае сначала нужно найти направляющий вектор прямой q=<m, p>, вычисляя разности соответствующих координатов точек M₁ и M₂: m=x₂−x₁, p=y₂−y₁(Рис.1). Далее, аналогично первому случаю, подставить координаты одной из точек (не имеет значение какой именно) и направляющего вектора q прямой в (1).

Можно также вывести формулу параметрического уравнения прямой, проходящей через две точки. Для этого подставим значения m=x₂−x₁, p=y₂−y₁ в (1), получим параметрическое уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂):

(2)

Пример 1. Прямая проходит через точку M=(3,−1) и имеет направляющий вектор q=<−3, 5>. Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Для построения параметрического уравнения прямой, подставим координаты точки и направляющего вектора в уравнение (1):

Пример 2. Прямая проходит через точки M₁=(−5, 2) и M₂=(−2, 3). Построить параметрическое уравнение прямой.

Решение. Воспользуемся формулой (2). Подставим координаты точек M₁ и M₂ в уравнение (2):

Упростим полученное уравнение:

Приведение параметрического уравнения на плоскости к каноническому виду

Выразим параметр t в (1) через переменные x и y:

(3)

Из выражений (3), можем записать каноническое уравнение прямой на плоскости:

(4)

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 3. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

Привести данное уравнение прямой к каноническому виду.

Решение: Выразим параметр t через переменные x и y:

(5)

Из выражений (5), можем записать:

Приведение параметрического уравнения на плоскости к общему виду

Для приведения параметрического уравнения прямой на плоскости к общему виду, в формулах (1) выразим из второго уравнения параметр t через переменную y и подставим в первое уравнение:

(6)

Умножим обе части уравнения (6) на p и группируем элементы уравнения:

(7)

Сделаем обозначения: A=p, B=−m, C=−px₁+my₁. Тогда получим общее уравнение прямой:

Ax+By+C=0.

(8)

Обратное преобразование смотрите здесь.

Пример 4. Прямая на плоскости представлена следующим параметрческим уравнением:

(9)

Привести данное уравнение прямой к общему виду.

Решение: В уравнении (9) имеем: x₁=−5, y₁=0, m=4, p=−2. Подставим эти значения в формулу (7):

(10)

Упростив выражение (10) получим общее уравнение прямой (9):

Пусть l — некоторая прямая пространства. Как и в планиметрии, любой вектор

а =/= 0, коллинеарный прямой l, называется направляющим вектором этой прямой.

Положение прямой в пространстве полностью определяется заданием направляющего вектора и точки, принадлежащей прямой.

Пусть прямая l с направляющим вектором а проходит через точку M₀ , а М — произвольная точка пространства. Очевидно, что точка М (рис. 197) принадлежит прямой l тогда и только тогда, когда вектор (overrightarrow) коллинеарен вектору а, т. е.

Если точки М и M₀ заданы своими радиус-векторами r и r₀ (рис. 198) относительно некоторой точки О пространства, то (overrightarrow) = r — r₀, и уравнение (1) принимает вид

Уравнения (1) и (2) называются векторно-параметрическими уравнениями прямой. Переменная t в векторно-параметрических уравнениях прямой называется параметром.

Пусть точка M₀ прямой l и направляющий вектор а заданы своими координатами:

Тогда, если (х; у; z) — координаты произвольной точки М прямой l, то

и векторное уравнение (1) равносильно следующим трем уравнениям:

$$ egin x = x_0 + ta_1 \ y = y_0 + ta_2 \ z = z_0 + ta_3, ;;tin Rend (3)$$

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Задача 1. Написать параметрические уравнения прямой, проходящей через точку

M₀(-3; 2; 4) и имеющей направляющий вектор а = (2; -5; 3).

В данном случае х₀ = -3, у₀ = 2, z₀ = 4; а₁ = 2; а₂ = -5; а₃ = 3. Подставив эти значения в формулы (3), получим параметрические уравнения данной прямой

$$ egin x = -3 — 2t \ y = 2 — 5t \ z = 4 + 3t, ;;tin Rend $$

Исключим параметр t из уравнений (3). Это можно сделать, так как а =/= 0, и поэтому одна из координат вектора а заведомо отлична от нуля.

Пусть сначала все координаты отличны от нуля. Тогда

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой.

Заметим, что уравнения (4) образуют систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z.

Если в уравнениях (3) одна из координат вектора а, например а₁ равна нулю, то, исключив параметр t, снова получим систему двух уравнений с тремя переменными х, у и z:

Эти уравнения также называются каноническими уравнениями прямой. Для единообразия их также условно записывают в виде (4)

считая, что если знаменатель равен нулю, то равен нулю и соответствующий числитель. Эти уравнения являются уравнениями прямой, проходящей через точку M₀(х₀; у₀, z₀) параллельно координатной плоскости yOz, так как этой плоскости параллелен ее направляющий вектор (0; а₂; а₃).

Наконец, если в уравнениях (3) две координаты вектора а, например а₁ и а₂ равны нулю, то эти уравнения принимают вид

Это уравнения прямой, проходящей через точку M₀(х₀; у₀; z₀) параллельно оси Oz. Для такой прямой х = х₀, y = у₀, a z — любое число. И в этом случае для единообразия уравнения прямой можно записывать (с той же оговоркой) в виде (4)

Таким образом, для любой прямой пространства можно написать канонические уравнения (4), и, наоборот, любое уравнение вида (4) при условии, что хотя бы один из коэффициентов а₁ , а₂ , а₃ не равен нулю, задает некоторую прямую пространства.

Задача 2. Написать канонические уравнения прямой, проходящей через точку M₀(- 1; 1, 7) параллельно вектору а = (1; 2; 3).

Уравнения (4) в данном случае записываются слeдующим образом:

Выведем уравнения прямой, проходящей через две данные точки M₁(х₁; у₁; z₁) и

Это и есть уравнения прямой, проходящей через две точки M₁(х₁; у₁; z₁) и

Задача 3. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M₁(-4; 1; -3) и M₂(-5; 0; 3).

Задача 4. Написать уравнения прямой, проходящей через точки M₁(3; -2; 1) и

После подстановки координат точек M₁ и M₂ в уравнения (5) получим

Как показано выше, уравнения одой и той же прямой можно записать по крайней мере в трех видах: общие уравнения прямой, параметрические уравнения прямой и канонические уравнения прямой. Рассмотрим вопрос о переходе от уравнений прямой одного вида к уравнениям прямой в другом виде.

Во-первых заметим, что если заданы уравнения прямой в параметрической форме, то тем самым заданы точка, через которую проходит прямая и направляющий вектор прямой. Поэтому не составляет труда записать уравнения прямой в канонической форме.

Даны уравнения прямой в параметрической форме

Записать канонические уравнения прямой.

Прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор. Следовательно, канонические уравнения прямой имеют вид

Аналогично решается задача о переходе от канонических уравнений прямой к параметрическим уравнениям прямой.

Переход от канонических уравнений прямой к общим уравнениям прямой рассматривается ниже на примере.

Даны канонические уравнения прямой

Записать общие уравнения прямой.

Запишем канонические уравнения прямой в виде системы двух уравнений

Избавляясь от знаменателей путем умножения обеих частей первого уравнения на 6, а второго уравнения на 4, получим систему

Полученная система уравнений и есть общие уравнения прямой.

Рассмотрим переход от общих уравнений прямой к параметрическим и каноническим уравнениям прямой. Чтобы записать канонические или параметрические уравнения прямой, надо знать точку, через которую проходит прямая, и направляющий вектор прямой. Если определить координаты двух точек и, лежащих на прямой, то в качестве направляющего вектора м можно взять вектор. Координаты двух точек, лежащих на прямой, можно получить как решения системы уравнений, определяющих общие уравнения прямой. В качестве точки, через которую проходит прямая, можно взять любую из точеки. Проиллюстрируем сказанное выше на примере.

Даны общие уравнения прямой

Записать параметрические и канонические уравнения прямой.

Найдем координаты двух точек, лежащих на прямой, как решения этой системы уравнений. Полагая , получим систему уравнений

Решая эту систему, находим . Следовательно, точкалежит на прямой. Полагая, получаем систему уравнений

решая которую находим . Следовательно, прямая проходит через точку. Тогда в качестве направляющего вектора можно взять вектор

Итак, прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор. Следовательно, параметрические уравнения прямой имеют вид

Тогда канонические уравнения прямой запишутся в виде

Другой способ нахождения направляющего вектора прямой по общим уравнениям прямой основан на том, что в этом случае заданы уравнения плоскостей, а значит и нормали к этим плоскостям.

Пусть общие уравнения прямой имеют вид

и— нормали к первой и второй плоскости, соответственно. Тогда векторможно взять в качестве направляющего вектора прямой. В самом деле, прямая, будучи линией пересечения этих плоскостей, одновременно перпендикулярна векторами. Следовательно, она коллинеарна векторуи значит этот вектор можно взять в качестве направляющего вектора прямой. Рассмотрим пример.

Даны общие уравнения прямой

Записать параметрические и канонические уравнения прямой.

Прямая является линией пересечения плоскостей с нормалями и. Берем в качестве направляющего вектора прямой вектор

Найдем точку, лежащую на прямой. Найдем точку, лежащую на прямой. Пусть . Тогда получаем систему

Решая систему, находим .Следовательно, точкалежит на прямой. Тогда параметрические уравнения прямой можно записать в виде

Канонические уравнения прямой имеют вид

Наконец, к каноническим уравнениям можно перейти исключив в одном из уравнений одну из переменных, а затем другую переменную. Рассмотрим этот метод на примере.

Даны общие уравнения прямой