Деление двух отрицательных чисел

Как выполнять деление отрицательных чисел легко понять, вспомнив, что деление — это действие, обратное умножению.

Если « a » и « b » положительные числа, то разделить число « a » на число « b », значит найти такое число « с », которое при умножении на « b » даёт число « a ».

Данное определение деления действует для любых рациональных чисел, если делители отличны от нуля.

Поэтому, например, разделить число « −15 » на число 5 — значит, найти такое число, которое при умножении на число 5 даёт число « −15 ». Таким числом будет « −3 », так как

Примеры деления рациональных чисел.

10 : 5 = 2 , так как 12 · 5 = 10
(−4) : (−2) = 2 , так как 2 · (−2) = −4
(−18) : 3 = −6 , так как (−6) · 3 = −18
12 : (−4) = −3 , так как (−3) · (−4) = 12

Из примеров видно, что частное двух чисел с одинаковыми знаками — число положительное (примеры 1, 2), а частное двух чисел с разными знаками— число отрицательное (примеры 3, 4).

Правила деления отрицательных чисел

Чтобы найти модуль частного, нужно разделить модуль делимого на модуль делителя.

Итак, чтобы разделить два числа с одинаковыми знаками, надо:

модуль делимого разделить на модуль делителя;
перед результатом поставить знак « + ».

Примеры деления чисел с одинаковыми знаками:

Чтобы разделить два числа с разными знаками, надо:

модуль делимого разделить на модуль делителя;
перед результатом поставить знак « − ».

Примеры деления чисел с разными знаками:

Для определения знака частного можно также пользоваться следующей таблицей.

Правило знаков при делении

При вычислении «длинных» выражений, в которых фигурируют только умножение и деление, пользоваться правилом знаков очень удобно. Например, для вычисления дроби

Можно обратить внимание, что в числителе два знака «минус», которые при умножении дадут «плюс». Также в знаменателе три знака «минус», которые при умножении дадут «минус». Поэтому в конце результат получится со знаком «минус».

Сокращение дроби (дальнейшие действия с модулями чисел) выполняется также, как и раньше:

Частное от деления нуля на число, отличное от нуля, равно нулю.

Делить на ноль НЕЛЬЗЯ !

Все известные ранее правила деления на единицу действуют и на множество рациональных чисел.

а : 1 = a
а : (−1) = −a
а : a = 1

, где « а » — любое рациональное число.

Зависимости между результатами умножения и деления, известные для положительных чисел, сохраняются и для всех рациональных чисел (кроме числа нуль):

если a · b = с; a = с : b; b = с : a;
если a : b = с; a = с · b; b = a : c

Данные зависимости используются для нахождения неизвестного множителя, делимого и делителя (при решении уравнений), а также для проверки результатов умножения и деления.

Пример нахождения неизвестного.

Знак «минус» в дробях

Разделим число « −5 » на « 6 » и число « 5 » на « −6 ».

Напоминаем, что черта в записи обыкновенной дроби — это тот же знак деления, поэтому можно записать частное каждого из этих действий в виде отрицательной дроби.

Таким образом знак «минус» в дроби может находиться:

перед дробью;
в числителе;
в знаменателе.

При записи отрицательных дробей знак «минус» можно ставить перед дробью, переносить его из числителя в знаменатель или из знаменателя в числитель.

Это часто используется при выполнении действий с дробями, облегчая вычисления.

Пример. Обратите внимание, что после вынесения знака «минуса» перед скобкой мы из большего модуля вычитаем меньший по правилам сложения чисел с разными знаками.

Используя описанное свойство переноса знака в дроби, можно действовать, не выясняя, модуль какого из данных дробных чисел больше.

В данной статье дадим определение деления отрицательного числа на отрицательное, сформулируем и обоснуем правило, приведем примеры деления отрицательных чисел и разберем ход их решения.

Деление отрицательных чисел. Правило

Напомним, в чем суть операции деления. Данное действие представляет собой нахождение неизвестного множителя по известному произведению и известному другому множителю. Число с называется частным от деления чисел a и b , если верно произведение c · b = a . При этом, a ÷ b = c .

Правило деления отрицательных чисел

Частное ои деления одного отрицательного числа на другое отрицательное число равно частному от деления модулей этих чисел.

Пусть a и b — отрицательные числа. Тогда

Данное правило сводит деление двух отрицательных чисел к делению положительных чисел. Оно справедливо не только для целых чисел, но также для рациональных и действительных чисел. Результат деления отрицательного числа на отрицательное есть всегда положительное число.

Приведем еще одну формулировку данного правила, подходящую для рациональных и действительных чисел. Она дается с помощью взаимно-обратных чисел и гласит: для деления отрицательного числа a на число undefined умножить на число b — 1 , обратное числу b .

Это же правило, сводящее деление к умножению, можно применять также и для деления чисел с разными знаками.

Равенство a ÷ b = a · b — 1 можно доказать, используя свойство умножения действительных чисел и определение взаимно обратных чисел. Запишем равенства:

a · b — 1 · b = a · b — 1 · b = a · 1 = a .

В силу определения операции деления, данное равенство доказывает, что есть частное от деления числа на число b.
Перейдем к рассмотрению примеров.

Деление отрицательных чисел. Примеры

Начнем с простых случаяв, переходя к более сложным.

Пример 1. Как делить отрицательные числа

Разделим — 18 на — 3 .
Модули делителя и делимого соответственно равны 3 и 18 . Запишем:

— 18 ÷ — 3 = — 18 ÷ — 3 = 18 ÷ 3 = 6 .

Разделим — 5 на — 2 .
Аналогично, записываем по правилу:

— 5 ÷ — 2 = — 5 ÷ — 2 = 5 ÷ 2 = 5 2 = 2 1 2 .

Такой же результат получится, если использовать вторую формурировку правила с обратным числом.

— 5 ÷ — 2 = — 5 · — 1 2 = 5 · 1 2 = 5 2 = 2 1 2 .

Деля дробные рациональные числа удобнее всего представлять их в виде обыкновенных дробей. Однако, можно делить и конечные десятичные дроби.

Пример 3. Как делить отрицательные числа

Разделим — 0 , 004 на — 0 , 25 .

Сначала записываем модули этих чисел: 0 , 004 и 0 , 25 .

Теперь можно выбрать один из двух способов:

Разделить десятичные дроби столбиком.
Перейти к обыкновенным дробям и выполнить деление.

Разберем оба способа.

1. Выполняя деление десятичных дробей столбиком, перенесем запятую на две цифры вправо.

Ответ: — 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 0 , 016

2. Теперь приведем решение с переводом десятичных дробей в обыкновенные.

0 , 004 = 4 1000 ; 0 , 25 = 25 100 0 , 004 ÷ 0 , 25 = 4 1000 ÷ 25 100 = 4 1000 · 100 25 = 4 250 = 0 , 016

Полученные результаты совпадают.

В заключение отметим, что если делимое и делитель являются иррациональными числами и задаются в виже корней, степеней, логарифмов и т.д., результат деления записывается в виде числового выражения, приблизительное значение которого вычисляется в случае необходимости.

Пример 4. Как делить отрицательные числа

Вычислим частное от деления чисел — 0 , 5 и — 5 .

— 0 , 5 ÷ — 5 = — 0 , 5 ÷ — 5 = 0 , 5 ÷ 5 = 1 2 · 1 5 = 1 2 5 = 5 10 .

Урок 37. Математика 6 класс

Конспект урока "Деление"

Деление отрицательных чисел имеет тот же смысл, что и деление положительных чисел. Напомним, что деление – это действие, обратное умножению.

Как известно, разделить число на а на число b – это значит найти такое число с, которое при умножении на b даёт а.

Разделим число –8 на число –2. Т.е. надо найти такое число х, которое при умножении на –2 даст число –8.

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.

Найдите частное чисел: 1) -70 и -14; 2) -9,8 и -1,4; 3)

Запомните! Частное двух отрицательных чисел – это положительное число.

Делить отрицательные числа мы научились. Рассуждая аналогичным образом, давайте разберёмся, как делят числа с разными знаками.

Чтобы разделить числа с разными знаками, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя и перед полученным числом поставить знак «минус».

Найдите частное чисел: 1) -240 : 15; 2) 46,5 : (-1,5); 3) .

Обратите внимание, что не имеет значение перед делимым или делителем стоит знак «минус». Частное двух чисел с разными знаками – это отрицательное число.

Рассмотрим ещё, как ведут себя числа, если один из компонентов деления 1, -1 или 0.

Вам хорошо известны свойства числа 1, записанные следующими формулами:

Эти свойства сохраняются и когда а – отрицательное число. Убедимся в этом.

Запомните! Если делитель равен -1, то частное равно числу, противоположному делимому.

Если делимое равно -1, то частное противоположно числу, обратному делителю, и обратно числу, противоположному делителю.

Если делимое равно 0, а делитель – любое число, отличное от 0, то частное равно 0.

Не забывайте, что на 0 делить нельзя!

Модуль частного двух чисел равен частному их модулей.

А знак частного зависит от знаков делимого и делителя: если делимое и делитель имеют одинаковые знаки (т.е. оба положительны или оба отрицательны), то частное положительно, а если разные – отрицательно.

Рассмотрим таблицу, которая наглядно показывает зависимость знака частного от знаков делимого и делителя:

Запомнить эту таблицу очень легко. Смотрите, при делении чисел с одинаковыми знаками получается положительное число, а при делении чисел с разными знаками – отрицательное.

Упражнение: определите знак произведения и частного.

Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, нужно модуль делимого разделить на модуль делителя.

Частное двух отрицательных чисел – это положительное число.

Частное двух чисел с разными знаками – это отрицательное число.

«>