Теорема 3.1.Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое.

Пусть Gk , где k Î N — открытые множества.

Докажем, что — открытое множество.

3Выберем любую точку хоÎG. По определению объединения множеств точка хо принадлежит одному из множеств Gk . Поскольку Gk – открытое множество, то существует e — окрестность точки хо, которая целиком лежит в множестве Gk : U( xo, e) Ì Gk Þ U( xo,e) Ì G.

Получили, что любаю точка хоÎG – внутренняя, а это значит, что G – открытое множество. 4

Теорема 3.2.Пересечение конечного числа открытых непустых множеств– множества открытое.

Докажем, что — открытое множество.

Получили, что хо – внутренняя точка множества G, а это значит, что G – открытое множество. 4

Замечание 3.1.Пересечение бесконечного множества открытых множеств может и не быть открытым множеством.

Пример 3.1. Пусть в пространстве R Gk = (2 – 1/k; 4+1/k), где k=1,2,…,n,…. G1=(1;5), G2(1,5;4,5), Отрезок [2;4] Ì Gk и не является открытым множеством, точки 2 и 4 не являются внутренними.

Теорема 3.3. Пересечение любой совокупности замкнутых непустых множеств – замкнутое множество.

Пусть Fk — замкнутые множества.

Докажем, что множество замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.

3Пусть хо – предельная точка множества F. Из определения пересечения множеств следует, что в любой e — окрестности точки хо находится бесконечно много точек каждого из множеств Fk, а это значит, что хо – предельная точка каждого множества Fk . В силу замкнутости множеств Fk точка

хоÎ Fk "k Þ хоÎ F. Поскольку точка хо выбрана произвольно, то все предельные точки принадлежат множеству F, а это значит множесто F замкнутое. 4

Теорема 3.4. Объединение конечного числа замкнутых множеств – множество замкнутое.

Пусть каждое множество Fk замкнутое.

Докажем, что множество замкнутое, т.е., если хо – предельная точка множества F, то хоÎ F.

3Пусть хо – любая предельная точка множества F, тогда в любой e — окрестности точки хо существует бесконечно много точек множества . Поскольку количество множеств Fk конечное, то хо принадлежит хотя бы одному из множеств Fk, т.е. хо – предельная точка для этого множества.

В силу замкнутости Fk точка хо принадлежит Fk , а поэтому и множеству . Поскольку точка хо выбрана произвольно, то все предельные точки принадлежат множеству F, а это значит множество F замкнутое. 4

Замечание 3.2. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым.

F1 = [3;4]; F2= [2,5;4,5]; …. Интервал (2;5) – открытое множество.

Примем без доказательства теоремы 3.5 и 3.6, связанные с дополнением множества Е до множества Х: СхЕ=СЕ.

Теорема 3.5. Если множество Е замкнутое, то его дополнение СЕ открытое множество.

Теорема 3.6.Если множество Е открытое, то его дополнение СЕ замкнутое множество.

§6. Теоремы об открытых и замкнутых множествах

Теорема 1. Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое.

Пусть G k – открытые множества.

Докажем, что – открытое множество.

Возьмем любую точку х о  G . По определению объединения множеств точка х о будет принадлежать хотя бы одному из множеств G k . Т.к. G k – открытые множества, то существует  — окрестность точки х о , которая полностью принадлежит множеству G k :

Получили, что любая точка х о  G – внутренняя, а это означает, что G – открытое множество. 

Теорема 2 . Пересечение конечного числа открытых непустых множеств – множество открытое.

Пусть G k ( k = 1,2, …, n ) – открытые множества.

Докажем, что – открытое множество.

Возьмем любую точку х о  G . По определению пересечения множеств х о принадлежать каждому из множеств G k . Т.к. множества G k открытые, то в любом множестве G k существует  k — окрестность точки х о : U ( x o ,  k )  G k . Множество чисел <  1 ,  2 ,…,  n >конечное, поэтому   = min <  1 ,  2 ,…,  n >. Тогда  — окрестность точки х о принадлежит каждой  k — окрестности точки х о :

Получили, что х о – внутренняя точка множества G , а это значит, что G – открытое множество. 

Замечание 1. Пересечение бесконечного числа открытых множеств может и не быть аоткрытым множеством.

Пример 1 . Пусть в пространстве R где k = 1,2,…, n , ….

Теорема 3 . Пересечение бесконечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество.

Пусть F k – замкнутые множества.

Докажем, что множества замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.

Теорема 4. Объединение конечного числа замкнутных непустых множеств– замкнутое множество.

Пусть множества F k – замкнутые.

Докажем, что множество замкнутое, т.е., если х о – предельная точка множества F , то х о  F .

Замечание 2. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым.

Пример 2 . В пространстве R : F k = [2 — 1 / k ; 5-1 / k ]

Теорема 5 . Если множество Е замкнутое, то его дополнение до множества Х: С х Е=СЕ – открытое множество.

Пример .3 . Е= [2,5] , C R E =

Теорема 6 . Если множество Е открытое, то его дополнение до множества Х: С х Е=СЕ – замкнутое множества.

Пример 4 . Е= (2,5) , C R E =

§7. Последовательности точек метрического пространства

Определение 1 . Последовательностью точек метрического пространства ( Х,  ) называется отображение f множества натуральных чисел N в множество Х : f : N X .

Значение этого отображения в точке n  N называется n -м членом последовательности точек метрического пространства и обозначается x n = f ( n ) . Последовательность будем обозначать ( x n ) или ( х 1 ,х 2 ,…, х n … ).

Пример 1. В пространстве R 2 : х n = (1  n , n + 1 / n )) ;

Пример 2 . В пространстве С [a,b] : ( х n = (1 / nx + n 2 x )) где  a ,b не содержит 0.

Определение 2 . Пусть ( x n ) – последовательность точек метрического пространства ( Х,  ), ( k 1 , k 2 ,…, k n ,… ) – возрастающая последовательность натуральных чисел. Тогда последовательность ( x kn ) называется подпоследовательностю последовательности ( x n ) .

Пример 3. Последовательность (1 / n 2 ) – подпоследовательность последовательности (1 / n ) .

Определение 3 . Пусть ( x n ) – последовательность точек метрического пространства ( Х,  ), Последовательность ( x n ) называется ограниченной , если существует замкнутый шар с центром а и конечным радиусом R, который содержит все члены последовательности, т.е. .

Замечание 1 . Панятие монотонной последовательности можно ввести не во всех метрических пространствах.

Определение 4. Пусть ( x n ) – последовательность точек метрического пространства ( Х,  ). Точка а  Х называется пределом последовательности ( x n ) если:

  (    N   n   (  , n  N    x n , a   

или, что тоже самое, числовая последовательность (   x n , a )) — бесконечно малая (стремится к 0), при n  ,т.е.

по метрике  или , при n  .

Если последовательность ( x n ) имеет конечный предел, то она называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

Если ( x n ) – последовательность точек метрического пространства ( Х,  ) сходится к точке а  Х , то а – предельная точка последовательности ( x n ) .

Обратное не всегда имеет место.

Замечание 2 . Одна и та же последовательность в разных метрических пространствах может как сходиться, так и расходиться

Пример 4. Последовательность (1 / n ) сходится в пространстве R, но расходится в пространстве ( Х ,  ) , где  ( x , y ) =  х  у , т.к. 0 .

Для сходящихся последовательностей справедливы теоремы.

Теорема 1. Если ( x n ) – сходящаяся последовательность метрического пространства ( Х,  ), то её предел единственный.

  x n ,a   0 и    x n ,b   0 .

По аксиомам метрики 0    a , b     x n , a  +   x n , b . Переходим к пределу, при n  , Получим   a , b  = 0  a = b . 

Теорема 2 . Если ( x n ) – последовательность точек метрического пространства ( Х,  ) – сходящаяся, то она ограниченная.

Теорема 3 . Если ( x n ) – последовательность точек метрического пространства ( Х,  ) сходится к точке а  Х , то любая её подпоследовательность сходится к а .

Пусть – любая подпоследовательность последовательности ( x n ). По условию . Это означает, что:        n      x n ,а    .

Т.к. k n  n , то для всех n > N верно k n > N и поэтому  .

Таким образом мы доказали, что     n    , это означает, что .

§8. Свойства сходящихся последовательностей в некоторых

Теорема 1 ( о покоординатной сходимости последовательности в м. пр. R m ). Для того, чтобы последовательность точек метрического пространства R m

( х n = ( х 1 ( n ) ,х 2 ( n ) ,…, х m ( n ) ) сходилась к точке а = ( а 1 ,а 2 ,…, а m ) этого пространства необходимо и достаточно чтобы числовые последовательности ( х 1 ( n ) ) , ( х 2 ( n ) ) ,…, ( х m ( n ) ) (соответствующих координат) стремились соответственно к числам а 1 ,а 2 ,…, а m , т.е.

Если выполняются равенства (1), то говорят, что последовательность ( х n ) сходится к точке а покоординатно.

1. Пусть в м.пр. R m . (2)

Докажем, что выполняются равенства (1).

В силу равенства (2) (по определению предела последовательности) в м.пр. R m будем иметь:

где  — метрика метрического пространства R m :

2. Пусть выполняются равенства (1).

Докажем, что (2) в метрическом пространстве R m .

Пусть  — любое положительное число рассмотрим число . Тогда

Пример 1 . Найти предел a = ( a 1 , a 2 ) последовательности

в пространстве R 2 .

Таким образом, = (1/4;3) .

Теорема 2 ( Больцана-Вейерштрасса в м.пр. R m ). Из всякой ограниченной последовательности пространства R m можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Чвстный случай этой теоремы для пространства R 1 был доказан на первом курсе.

Теорема 3 . Для того, чтобы последовательность ( x n ) точек м.пр. С [ a , b ] с чебышёвской метрикой сходилась к элементу х этого м.пр., необходимо и достаточно, чтобы функциональная последовательность ( x n ) равномерно сходилась к х на [ a , b ] .

Докажем с помощью критерия равномерной сходимости.

Известно, что фукциональная последовательность ( x n ) равномерно сходится да предельной фукции х тогда и только тогда, когда

С учётом определения метрики в м.пр. С [ a , b ] получаем равенство

(см. опр. 4 §7) по метрике  в м.пр. С [ a , b ] . 

Пример 2. x n ( t ) = t n  t  ;   n  N . известно, что на ;/2 фукциональная последовательность x n ( t ) = t n равномерно сходится да предельной фукции x ( t ) = 0. Таким образом  t  ; последовательность ( x n ) сходится к функции х = 0 в м.пр. С [0;1/2] .

Теорема 4. Если а – предельная точка множества Е метрического пространства ( X ,  ), то существует последовательность ( x n ) , члены которой принадлежат Е и не равны а , причём ( x n ) , сходится к а в этом метрическом пространстве.

Доказатьельство аналагично доказатьельству в пространстве R .

Замечание 1. Поскольку любая норма задает метрику,

то в нормированном пространстве А также можно определить предел последовательности элементов нормированного пространства.

Замечание 2. Поскольку предгильбертовое пространство является нормированным пространством с нормой , то в предгильбертовом пространстве также можно определить предел последовательности элементов предгильбертового пространства.

§9. Полные метрические пространства

Определение 1 . Последовательность ( x n ) метрического пространства ( Х,  ) называется фундаментальной, если

Примером фундаментальной последовательности является любая сходящаяся последовательность точек метрического пространства.

В пространстве R любая фундаментальная последовательность – сходящаяся. Но для любого м.пр. не всякая фундаментальная последовательность метрического пространства ( Х,  ) сходится в этом пространстве.

Пример 1 . В м.пр. Х = ( Q ;  =  х  у ) последовательность – фундаментальная, но с 1 курса известно, что но е  X (е  I ).

Определение 2 . Метрическое пространство называется полным метрическим пространством , если любая фундаментальная последовательность точек этого пространства сходится в нем.

Пример 2 . Метрическое пространство R – полное метрическое пространство, т.к. любая фундаментальная последовательность сходится к числу, из пространства R . Это следует из критерия Коши (см. 1 курс).

Пример 3 . Докажем, что пространство R m — полное метрическое пространство.

Пусть последовательность ( x n = x 1 ( n ) , x 2 ( n ) ,…, x m ( n ) ) (1)

любая фундаментальная последовательность пространства R m . Покажем, что эта последовательность сходящаяся и её предел принадлежит пространству R m .

Па определению фундаментальной последовательности и определению метрики в пространстве R m

0  N(  )  N  p,n >N   ( x p ,x n )  

Согласно доказатьельству теоремы 1 §8 Таким образом, была доказана фундаментальност числовых последовательностей ( x 1 ( n ) ) , ( x 2 ( n ) ) ,…, ( x m ( n ) ), а значит и их сходимость (по критерию Коши).

Рассмотрим точку а = ( а 1 , а 2 , …, а m ). Т.к. а 1 , а 2 , …, а m  R , то а  R m . По теореме 1 §8 получаем, что в м.пр. R m последовательность ( x n ) сходится к а  R m . Это означает, что пространство R m полное метрическое пространство. 

Пример 4 . Докажем, что метрическое пространство С [ a , b ] является полным.

Пусть ( x n ) – любая фундаментальная последовательность в м.пр. С [ a , b ] , её члены – непрерывные на [ a , b ] фукции.

Докажем, что последовательность ( x n ) сходится в метрическом пространстве С [ a , b ] . Сначала покажем, что она сходится к предельной фукции х на отрезке [ a , b ].

По определению фундаментальной последовательности

Это означает, что  t  [ a , b ] (фиксируем t ) фундаментальной является числовая последовательность ( x n ( t ) ). Значит она имеет предел, который обозначим через для каждого фиксированного t  [ a , b ].

Покажем, что предельная фукция x ( t ) непрерывная на [ a , b ]. Для этого в неравенстве (2) §прейдём к пределу при m  . Получим

 x ( t )  x n ( t )    n>N   t  [ a,b ] .

Таким образом, мы доказали, что

0 N  N  m,n > N  x ( t )  x n ( t )    t  [ a,b ].

А это значит, что последовательность ( x n ) равномерно сходится к фукции х на [ a , b ]. Т.к. все члены последовательности ( x n ) непрерывные на [ a , b ] фукции, то предельная фукция также непрерывная на этом отрезке, т.е является элементом метрического пространства С [ a , b ]. По теореме 2 §8 в этом пространстве последовательность ( x n ) сходится к х . Значит пространство С [ a , b ] – полное метрическое пространство. 

Определение 3. Полное нормированное пространство называется Банохав ым пространство м .

Банохавыми пространствоми, являются пространства:

l 2 с нормой векторов x = ( x n ) = ( x 1 , x 2 , … )

C [ a , b ] с нормой функций x ( t ) .

А пространство C 1 [ a , b ] с нормой не является баноховым.

Определение 2 . Полное предгильбертовое пространство относительно нормы (2) §3 называется гильбертовым пространством .

Примерами гильбертовых пространств являются перечисленные пространства из примеров §4. Предгильбертовое пространство из примера 3 §4 не является полным относительно нормы (2) и поэтому не является гильбертовым.

Определение. Множество всех точек $x$пространства $mathbb^n$, таких, что $| x- x_0| 0$, называется открытым шаром с центром в точке $x_0$ и радиусом $
ho$. Этот шар также называется $
ho$-окрестностью точки $x_0$ и обозначается $B(x_0,
ho)$.

Определение. Зададим подмножество $E$ пространства $mathbb^n$. Точка $x_0$ множества $E$ называется внутренней точкой множества, если существует $B(x_0,
ho)$, содержащийся в $E$. Иными словами, $x_0$ является внутренней точкой множества $E$, если она входит в $E$ вместе с некоторой окрестностью.

Определение. Множество $E subset mathbb^n$ называется открытым, если любая его точка будет внутренней в $E$. Условимся также считать пустое множество $varnothing$ открытым.

Свойства открытых множеств

Обозначим через $A$ множество индексов, и каждому элементу $alpha in A$ поставим в соответствие множество $E_<alpha>$. Тогда $left\right>_<alpha in A>$ называется семейством множеств

Теорема. Открытые множества в пространстве $mathbb^n$ обладают такими свойствами:

  1. Пустое множество $varnothing$ и всё пространство $mathbb^n$ открыты;
  2. Пересечение всякого конечного числа открытых множеств также открыто;
  3. Объединение всякого семейства $left\right>_<alpha in A>$ открытых множеств также открыто

Доказательство.

  1. Пустое множество $varnothing$ является открытым по определению, а пространство $mathbb^n$, очевидно, открыто, так как всякий шар содержится в $mathbb^n$.
  2. Пусть $E_1,…,E_n$ – открытые множества,$E=igcap _< i=1 >^< n >_ $. Предположим, что $x in E$. Тогда $x in E_i$ для любого $i=1,…,n$. Но все множества $E_i$ являются открытыми, так что для любого $i=1,…,n$ найдется открытый шар $B(x,
    ho_i) subset E_i$. Среди всех этих шаров выберем шар с наименьшим радиусом $B(x,
    ho)$, где $r=min(
    ho_1,…,
    ho_n)$. Тогда $E(x,
    ho) subset E_i$ при каждом $i=1,…,n$, а значит, $B(x,
    ho) subset E$, и тем самым доказано, что множество $E$ открыто.
  3. Пусть $E=igcup_<alpha in A>E_<alpha>$, где все множества $E_<alpha>$ открыты. Докажем, что множество $E$ также открыто. Предположим, что $x in E$. Тогда $x$ принадлежит хотя бы одному из множеств $_<<alpha>_<0>>$. Так как это множество $_<<alpha>_<0>>$ открыто, то найдется окрестность $B(x,
    ho) subset     _<<alpha>_<0>> subset E$. Таким образом, $E$ – открытое множество.$square$

Замечание. Пересечение бесконечного семейства открытых множеств не обязательно будет открытым. К примеру, пусть $B_k$ – открытый шар с центром в нуле и радиусом $frac<1>(k=1,2,…)$. Тогда $igcap_^<infty>B_k = left<0
ight>$. Но множество $left<0
ight>$, состоящее из одной точки, не является открытым, поскольку оно не содержит в себе ни одного шара.