Интеграл лебега примеры решений

ВОЛОГОДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Курсовая работа на тему:

Выполнила: студентка 3мфА

Проверила: Панфилова Т. Л.

1.2.ИнтегралЛебега от простых функций.

2. Определение интнгралаЛебега.

3. Основные свойства интеграла.

4. Предельный переход под знаком интеграла.

5. Сравнение интегралов Римана и Лебега.

Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют «не слишком много» точек разрыва. Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где они определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что для них понятие непрерывности просто не имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной. Вместе с тем для таких функций имеется весьма совершенное и гибкое понятие интеграла, введенное Лебегом.

Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что здесь, в отличие от интеграла Римана, точки х группируются не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках. Это сразу же позволяет распространить понятие интеграла на весьма широкий класс функций.

Кроме того, интеграл Лебега определяется совершенно одинаково для функций, заданных на любых пространствах с мерой, в то время как интеграл Римана вводится сначала для функций одного переменного, а затем уже с соответствующими изменениями переносится на случай нескольких переменных. Для функций же на абстрактных пространствах с мерой интеграл Римана вообще не имеет смысла.

Всюду, где не оговорено противное, будет рассматриваться некоторая полная s-аддитивная мера m, определенная на s-алгебре множеств с единицей X. Все рассматриваемые множества А ÌХ будут предполагаться измеримыми, а функции f( x) — определенными для x Î Х и измеримыми.

1.1. Простые функции.

Определение 1. Функция f( x), определенная на некотором пространстве Х с заданной на нем мерой, называется простой, если она измерима и принимает не более, чем счетное число значений.

Структура простых функций характеризуется следующей теоремой.

Теорема 1. Функция f( x), принимающая не более чем счетное число различных значений

измерима в том и только том случае, если все множества

Доказательство. Необходимость условия ясна, так как каждое A_n есть прообраз одноточечного множества <y_n >, а всякое одноточечное множество является борелевским. Достаточность следует из того, что в условиях теоремы прообраз f -1 ( B) любого борелевского множества есть объединение

Использование простых функций в построении интеграла Лебега будет основано на следующей теореме.

Теорема 2. Для измеримости функции f( x) необходимо и достаточно, чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сходящейся последовательности простых измеримых функций.

Доказательство. Для доказательства необходимости рассмотрим произвольную измеримую функцию f( x) и положим f_n (х)= m/п, если т/п

Рассмотрим одно из центральных понятий математического анализа — интеграл Лебега.

Понятие интеграла Лебега

Чтобы понять принцип устройства этого интеграла, рассмотрим следующий пример. Пусть имеется большое количество монет различного достоинства и требуется сосчитать общую сумму денег, заключенную в этих монетах. Это можно сделать двумя способами. Можно откладывать монеты подряд и прибавлять стоимость каждой новой монеты к общей стоимости всех ранее отложенных. Однако можно поступить и иначе: сложить монеты стопочками так, чтобы в каждой стопочке были монеты одного достоинства, затем сосчитать число монет в каждой стопочке, умножить это число на стоимость соответствующей монеты, а затем сложить полученные числа. Первый способ счета денег соответствует процессу интегрирования Римана, а второй — процессу интегрирования Лебега.

Переходя от монет к функциям, мы можем сказать, что для вычисления интеграла Римана производится деление на мелкие части области задания функции (оси абсцисс, рис. 2а), а для вычисления интеграла Лебега производится деление области значений функции (оси ординат, рис. 2б). Последний принцип применялся практически задолго до Лебега при вычислении интегралов от функций, имеющих колебательный характер, однако Лебег впервые развил его во всей общности и дал его строгое обоснование при помощи теории меры.

Рассмотрим, как связаны между собою мера множеств и интеграл Лебега. Пусть — какое-либо измеримое множество, расположенное та некотором отрезке . Построим функцию равную 1 для , принадлежащих , и равную 0 для , не принадлежащих . Иными словами, зададим функцию

Функцию принято называть характеристической функцией множества . Рассмотрим интеграл

Мы уже привыкли считать, что интеграл равен площади фигуры , ограниченной осью абсцисс, прямыми и кривой . Так как в данном случае "высота" фигуры отлична от нуля и равна 1 для точек и только для этих точек, то (согласно формуле, площадь равна длине, умноженной на ширину) её площадь должна быть численно равна длине (мере) множества . Итак, должно быть равно мере множества

Именно так и определяет Лебег интеграл от функции .

Мы должны твердо уяснить себе, что равенство (1) является определением интеграла как интеграла Лебега. Может случиться, что интеграл не будет существовать в том смысле, как это понималось для интеграла Римана, т. е. как предел интегральных сумм. Даже если это последнее имеет место, интеграл как интеграл Лебега существует и равен .

В качестве примера подсчитаем интеграл от функции Дирихле , равной 0 в рациональных точках отрезка [0, 1] и равной 1 в иррациональных точках этого отрезка. Так как, согласно (5), мера множества иррациональных точек отрезка [0, 1] равна 1, то интеграл Лебега равен 1. Нетрудно проверить, что интеграл Римана от этой функции не существует.

Пусть теперь — произвольная ограниченная измеримая функция, заданная на отрезке . Покажем, что всякую такую функцию можно сколь угодно точно представить в виде линейной комбинации характеристических функций множеств. Чтобы убедиться в этом, разобьем отрезок оси ординат между нижней и верхней гранями значений функции и точками , на отрезки длины меньшей , где — произвольное фиксированное положительное число. Далее, если в точке

а если в точке б то положим . Построение функции показано на рис. 3.

Согласно построению функции , в любой точке отрезка

Кроме того, так как функция принимает лишь конечное число значений , то её можно записать в виде

где — характеристическая функция того множества, где , т. е. (в каждой точке лишь одно слагаемое в правой части формулы (2) отлично от нуля!).

Определение интеграла Лебега

Переходим к определению интеграла Лебега от произвольной ограниченной измеримой функции. Так как функция мало отличается от функции , то в качестве приближенного значения интеграла от функции можно принять интеграл от функции . Но, замечая, что функции являются характеристическими функциями множеств, и пользуясь формально обычными правилами вычисления интеграла, получаем

где есть мера множества тех , для которых выполняется неравенство .

Итак, приближенным значением интеграла Лебега от функции является интегральная сумма Лебега

В соответствии с этим интеграл Лебега определяется как предел интегральных сумм Лебега , когда

что соответствует равномерной сходимости функций к функции .

Можно показать, что интегральные суммы Лебега имеют предел для любой ограниченной измеримой функции, т. е. любая ограниченная измеримая функция интегрируема по Лебегу. Интеграл Лебега можно также распространить на некоторые классы неограниченных измеримых функций, но мы не будем этим заниматься.

Свойства интеграла Лебега

Интеграл Лебега обладает всеми хорошими свойствами обычного интеграла, именно, интеграл от суммы равен сумме интегралов, постоянный множитель можно выносить за знак интеграла и т. д. Однако интеграл Лебега обладает еще одним замечательным свойством, которым обычный интеграл не обладает : если измеримые функции ограничены в совокупности:

для любого и любого из отрезка и последовательность сходится почти всюду к функции , то

Иными словами, интеграл Лебега допускает безотказный переход к пределу. Именно это свойство интеграла Лебега делает его весьма удобным, а часто и неизбежным инструментом во многих исследованиях. В частности, интеграл Лебега совершенно необходим в теории тригонометрических рядов, в теории функциональных пространств и других разделах математики.

Приведем пример. Пусть — периодическая функция с периодом и

Если, например, функция непрерывна, то, как нетрудно показать,

Это тождество носит название равенства Парсеваля .

Рассмотрим такой вопрос: для какого класса периодических функций справедливо равенство Парсеваля (3)? Ответ на этот вопрос гласит: равенство Парсеваля (3) выполняется в том и только в том случае, если функция измерима на отрезке и функция интегрируема по Лебегу на этом отрезке.

1. Определение и существование интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции.

2. Основные свойства интеграла Лебега.

3. Вычисление интеграла Лебега.

4. Сравнение интегралов Римана и Лебега.

5. Критерий интегрируемости по Риману ограниченной функции.

См. список литературы: [4, гл. 6.4]; [5, гл. 5.1 – 5.4].

Краткие теоретические сведения

1. Интеграл Римана.При определении интеграла Римана от ограниченной на отрезке [a; b] функции f(x), этот отрезок разбивается на части точками

а) Если А ≤ f(x) ≤ B, то А× mЕ ≤ (L) ≤ B× mE.

б) Если множество Е = , где E_i – попарно непересекающиеся измеримые множества, то (L) = (полная аддитивность интеграла Лебега).

в) Если две функции f(x) и g(x) равны почти всюду на множестве Е, т.е. mE(f g) = 0, то (L) = (L) .

4. Связь интегралов Римана и Лебега.

Если функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a; b], то на нем она интегрируема по Лебегу и (L) = (R) .

107. Доказать, что всякая функция с ограниченным изменением (см. задачу № 102) интегрируема по Риману на [a; b].

108. Доказать, что функция Дирихле не интегрируема по Риману на отрезке [0; 1]. Проинтегрировать ее по Лебегу на этом отрезке.

109. Доказать, что (L) = 0, если mE = 0. Найти (L) , где Р₀ – множество Кантора.

110. Cоставьте интегральные суммы Лебега для функции f(x) = [x], проведя все подсчеты для отрезка [0; 5]. Убедитесь в том, что предел их сумм при λ → 0 совпадает с (R) .