Из двух математиков и десяти экономистов

Задание 1. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами А, В, С, если известно, что:

и и

, С пересекается с В, но не пересекается с А.

и и

, С пересекается с В, но не пересекается с А.

Задание 2. Будут ли следующие формулы равносильны (определить с помощью таблиц истинности):

а) X → Y и истинно

в) Х→ (Y→ Z) и (X→ Y) → Z истинно

Задание 3. Записать следующие рассуждения в виде последовательности формул логики высказываний.

Таможенные чиновники обыскивают всякого, кто въезжает в страну, кроме высокопоставленных лиц. Некоторые люди, способствующие провозу наркотиков, въезжали в страну и были обысканы исключительно людьми, также способствовавшими провозу наркотиков. Никто из высокопоставленных лиц не способствовал провозу наркотиков. Следовательно, некоторые из таможенников способствовали провозу наркотиков.

Пусть даны предикаты P1(x):=«x — таможенный чиновник», P2(x,y):=«x обыскивает y», P3(y):=«y въезжает в страну», P4(y):=«y – высокопоставленное лицо», P5(y):=«y способствует провозу наркотиков». Тогда формальная запись суждения имеет вид:

Задание 4. На полке в случайном порядке стоят 15 учебников, причем 5 из них в твердой обложке. Из полки наугад берут 3 учебника. Найти вероятность того, что хотя бы один из них будет с твердой обложкой.

Пусть А – событие, состоящее в том, что по крайней мере один из четырех взятых учебников будут в твердой обложке. Это событие можно представить как сумму четырех несовместных событий

где А₁ – один учебник в переплете, А₂ – два учебника в переплете, А₃ – три учебника,.

Найдем вероятности этих событий.

Число всех возможных исходов этого опыта:

Для события А₁ число благоприятных исходов

для события А₂ число благоприятных исходов

По теореме сложения для несовместных событий:

Задание 5. Из двух математиков и десяти экономистов надо составить комиссию в составе восьми человек. Сколькими способами может быть составлена комиссия, если в нее должен входить хотя бы один математик?

В указанной комиссии может быть либо один математик, либо два математика и шесть экономистов.

Выбор одного математика из двух возможен двумя способами, а семи экономистов из десяти – C₁₀ 7 способами. По правилу произведения число способов выбора комиссии из одного математика и семи экономистов равно 2 . C₁₀ 7 .

Выбор двух математиков из двух возможен 1 способом, а выбор шести из десяти возможен способами C₁₀ 6 . По правилами произведения число способов выбрать комиссию изз двух математиков и шести экономистов равно 2C₁₀ 6 .

Р (А) = 2 . C₁₀ 7 + 2 . C₁₀ 6 = =

Таким образом, всего возможно 450 способов.

Указанная комиссия может быть выбрана 450 способами.

Возможно и другое решение данной задачи.

Всего комиссий по восемь человек из 12 человек можно составить:

способами.

Эта комиссия может быть разбита на два типа: а) к одному типу относится комиссия, состоящая только из экономитов; б) к другому типу относится комиссия, в которую входит хотя бы один математик.

Так как число способов выбрать комиссию в составе восьми человек из десяти равно

способами,

то число способов составить комиссию из восьми человек, в которую входит хотя бы один математик, равно 495 – 45 = 450 способов.

Задание 6. Директор фирмы имеет 2 списка с фамилиями претендентов на работу. В первом списке — фамилии 5 женщин и 2 мужчин. Во втором списке оказались 2 женщины и 6 мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фамилия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Если предположить, что эта фамилия принадлежит мужчине, чему равна вероятность того, что из первого списка была извлечена фамилия женщины?

Случайный выбор не значит, что вероятность равна 1/2.

При случайном выборе из 7 вариантов, среди которых есть 5 женских и 2 мужских, вероятность вытянуть женский больше.
Гипотеза 1 A1 — из первого списка во второй перенесена женская фамилия P(A1)=5/7
Гипотеза 2 A2 — из первого списка во второй перенесена мужская фамилия P(A2)=2/7
Событие B — после перенесения из второго списка вытянута (случайным образом) мужская фамилия
При осуществлении гипотезы A1 во втором списке окажется 3 женщин и 6 мужчин, поэтому P(B|A1)=6/9
При осуществлении гипотезы A2 во втором списке окажется 2 женщины и 7 мужчин, поэтому P(B|A2)=7/9
P(B)=P(B|A1)P(A1)+P(B|A2)P(A2)=

И наконец по теореме Байеса
P(A1|B)=P(B|A1)P(A1)/P(B)= .

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Задача 1

Из 2 математиков и 10 экономистов надо составить комиссию из 10 человек. Сколько есть способов сделать это при условии, что в комиссии должен участвовать хотя бы 1 математик?

Рассмотрим два случая:

1. В комиссии будет один математик.

Существует 2 способа выбрать 1 математика из 2. Из 10 экономистов нужно выбрать 9 человек; количество способов выбрать из 10 человек 9 – это . Следовательно, всего способов:

Однако можно посчитать иначе: выбирать не 9 экономистов из 10, а выбрать 1 экономиста из 10, который не попадет в комиссию, то есть:

2. В комиссии будет более одного математика, то есть 2.

Существует 1 способ выбрать 2 математиков из 2. Оставшиеся восемь человек комиссии должны быть экономистами. Количество способов выбрать 10 человек 8 – это . Следовательно, всего способов:

3. Складываем количество способов в первом и во втором случае:

Ответ: 65 способов.

Задача 2

Сколько есть способов составить ожерелье из 5 одинаковых красных бусинок и 2 одинаковых синих бусинок?

Ожерелье может быть замкнутым и незамкнутым.

1. Если ожерелье замкнутое, то между синими бусинками может находиться или 0, или 1, или 2 красных бусинок (если между синими находятся 3, 4 или 5 красных, то это тоже самое, что и 0, 1, 2, только с другой стороны) (см. Рис. 1). Следовательно, существует три варианта расположения 2 синих и 5 красных бусинок на замкнутом ожерелье.

Рис. 1. Иллюстрация к задаче

2. Если ожерелье незамкнутое (см. Рис. 2), тогда количество вариантов определяется также положением синих бусинок. Количество способов выбрать 2 места из 7 – это .

Рис. 2. Иллюстрация к задаче

Ответ: 1. Если ожерелье замкнутое, то существует три способа составить ожерелье; 2. Если ожерелье незамкнутое, то существует 21 способ составить ожерелье.

Задача 3

План города имеет вид прямоугольника (см. Рис. 3). Его улицы идут строго параллельно сторонам. На каждом перекрестке водитель имеет право ехать либо вправо, либо вверх. Сколько существует различных маршрутов добраться из нижнего левого угла в правый верхний?

Рис. 3. Иллюстрация к задаче

Движение водителя задается последовательностью движений вправо (П) и вверх (В). Например: если водитель использует схему движения, показанную на рисунке 4, то он 10 раз (10 клеточек) едет вправо (П), а затем 5 раз (5 клеточек) вверх (В):

Рис. 4. Иллюстрация к задаче

Если водитель использует схему движения, показанную на рисунке 5, то он едет 1 раз вверх (В), 1 раз вправо (П), 1 раз В, 1 П, 1 В, 1 П, 1 В, 1 П, 1 В, 6 П:

Рис. 5. Иллюстрация к задаче

Таким образом, каждый маршрут водителя задается последовательностью из 15 символов В и П, при этом водитель каждый раз смещается на 10 единиц вправо и на 5 единиц вверх. Следовательно, из 15 символов 5 будут символами В, а 10 будут символами (П). Поэтому для решения задачи необходимо найти количество способов выбрать 5 мест из 15, в которых водитель поедет вверх. Это будет .

Ответ: маршрутов.

Задача 4

Даны 2 слова: «интегрирование» и «суперкомпьютер». Вася посчитал, сколько получается слов из слова «интегрирование», если вычеркнуть в нем 2 произвольные буквы (получившиеся слова не обязательно осмысленные). Маша сделала то же самое для слова «суперкомпьютер». У кого слов получилось больше?

В данных словах одинаковое количество букв (по 14), поэтому вычеркнуть две буквы из каждого из них можно одинаковым количеством способов. Заметим, что при вычеркивании двух букв из слова «суперкомпьютер» все полученные слова будут различны, а при вычеркивании букв РИ и ИР из слова «интегрирование» получается одно и то же слово «интегрование». Поэтому, у Маши получится на одно слово больше.

Количество способов выбрать 2 буквы из 14 – это Задача 5

Сколько существует способов рассадить за круглый стол 5 юношей и 5 девушек так, чтобы они чередовались?

На рисунке 6 изображен стол, на котором для удобства пронумерованы места.

Рис. 6. Иллюстрация к задаче

Предположим, что на месте номер 1 сидит юноша. Тогда все юноши садятся через 1 от этого места (на нечетные места), а девушки – на четные. Количество способов усадить 5 юношей на 5 кресел (количество перестановок) – это

Ответ: способов.

Задача 6

В стране есть 20 городов, которые соединены между собой 172 авиалиниями. Предположим, что между двумя городами есть только одна авиалиния. Докажите, что из любого города можно попасть в любой город, возможно, с пересадками.

Докажем от противного.

Предположим, что есть города

Рис. 7. Иллюстрация к задаче

Следовательно, отсутствует авиалиния В стране 20 городов, следовательно, всего теоретически возможно провести авиалиний.

Тогда если из 190 возможных авиалиний 19 отсутствуют, то присутствует всего:

авиалиния

Однако это противоречит условию:

Следовательно, исходное предположение неверно, а из любого города можно попасть в любой.

Пример

Задача 7

Дано слово «логарифм». Сколько существует способов поменять местами буквы в этом слове так, чтобы в полученном буквосочетании согласные были упорядочены по алфавиту слева направо?

Например, нам подойдут следующие буквосочетания: ОАИГЛМРФ или ГОАЛИМРФ, или ГЛМАИРОФ. В каждом буквосочетании согласные идут в определенном порядке по алфавиту (ГЛМРФ), следовательно, общее количество вариантов таких буквосочетаний определяется только 3 гласными. Поэтому достаточно определить 3 места из 8 для гласных, после чего все буквы расставляются однозначно. А это будет способов.

Ответ: 336 способов.

Список литературы

1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа 10-11 кл. В. 2 ч. Ч. 1: Учебник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.

3. М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова. Алгебра. Начала математического анализа. Профильный уровень: задачник для 10-11 классов. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009.

4. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа 10-11 кл. В. 2 ч. Ч. 2: Задачник для общеобразоват. учреждений. – М.: Мнемозина, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Интернет-сайт «Математический тандем» (Источник)

2. Интернет-сайт YouTube (Источник)

3. Интернет-сайт «МатБюро» (Источник)

Домашнее задание

1. Глава 20, задания 56, 67, 82 (стр. 382–386) – М.И. Шабунин, А.А. Прокофьев, Т.А. Олейник, Т.В. Соколова. Алгебра. Начала математического анализа. (Источник).

2. У Васи дома живут 4 кота.

а) сколькими способами можно рассадить котов по углам комнаты?
б) сколькими способами можно отпустить гулять котов?
в) сколькими способами Вася может взять на руки двух котов (одного на левую, другого на правую)?

3. Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?

4. Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?

Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

Вопрос по алгебре:

Из трех математиков и пятнадцати экономистов надо составить комиссию из десяти человек. Сколькими способами можно составить комиссию, если в нее должен входить хотя бы один математик?

Ответы и объяснения 1

Число вариантов когда будет всего 1 математик:
3*C(15,9) ,поскольку всего 3 математика и можно сувать любого из трех.(a,b,c)
Когда в группе будет 2 математика,удивительно, но тоже 3 варианта как всунуть их (ab,bc,ac).Откуда тут число вариантов 3*С(15,8).
Когда 3 математика только (abc): C(15,7)
Откуда общее число вариантов: N=3*(C(15,9)+C(15,8))+C(15,7)
А там сами досчитаете по известной формуле: С(n,k)=n!/k!*(n-k)!

Знаете ответ? Поделитесь им!

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Алгебра.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!

Алгебра — раздел математики, который можно нестрого охарактеризовать как обобщение и расширение арифметики.

«>